第04讲 充分条件与必要条件（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：充分条件与必要条件 知识点02：充要条件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的真假 题型02：指出命题的条件和结论 题型03：判断命题的充分不必要条件 题型04：根据充分不必要条件求参数 题型05：判断命题的必要不充分条件 题型06：根据必要不充分条件求参数 题型07：根据充要条件求参数 题型08：既不充分也不必要条件 题型09：充要条件的证明 题型10：探求命题为真的充要条件 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 【例1】已知p：，q：，判断： （1）p是q的什么条件； （2）q是p的什么条件。 解：第一步：判断p能否推出q 若，一定可以推出，即成立； 根据定义：p是q的充分条件。 第二步：判断q能否推出p 若，无法推出（例如x=1满足x>0，但不满足x>2），即； 因此p不是q的必要条件。 第三步：反向判定q对p的条件 因为，所以是成立必不可少的前提，q是p的必要条件； 又，故q不是p的充分条件。 答（1）充分不必要条件；（2）q是p的必要不充分条件。 【知识点02】充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 【例2】判断命题p：，命题q：，补充一个命题r，使得r是q的充要条件，并证明。 解：第一步：写出等价命题r 令r：，接下来证明r是q的充要条件。 第二步：证明充分性（r⇒q） 若，移项计算可得，即，充分性成立。 第三步：证明必要性（q⇒r） 若，代入可得，即，必要性成立。 第四步：下结论 因为且，满足双向互推，故r：x-2=0是q：x=2的充要条件。 【题型01】判断命题的真假 【典例1-1】（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据定义直接判命题的真假. 【详解】对于命题，易知，而非， 为假命题，则为真； 对于命题，易知满足，所以为真命题； 故选：B. 【变式1-2】分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是________，真命题的序号为________． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由． (1)，则； (2)若，则； (3)若，则且； (4)若，则． 【答案】(1)假，理由见解析(2)真(3)真(4)真 【分析】（1）根据等式的性质判断； （2）根据等式的性质判断； （3）根据等式的性质判断； （4）根据等式的性质判断； 【详解】（1），则或，原命题错误； （2）若，两边同乘以得，原命题正确； （3）若，则且，否则若或时，原命题正确； （4）若，等式两边同乘以得则．原命题正确． 【题型02】指出命题的条件和结论 【典例2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【详解】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 【变式2-1】指出下列命题的条件和结论： (1)两直线平行，内错角相等； (2)已知，当时，． 【答案】(1)条件：两直线平行，结论：内错角相等． (2)条件：，结论：． 【分析】根据命题的形式求解. 【详解】（1）条件：两直线平行，结论：内错角相等． （2）“已知”为大前提，该命题的条件：，结论：. 【变式2-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 【变式2-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【题型03】判断命题的充分不必要条件 【典例3-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式3-1】（25-26高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 【变式3-3】（25-26高一·全国·寒假作业）设，则“”是“”的_________条件． 【答案】充分不必要 【分析】由，得到，再通过举例说明必要性不成立即可. 【详解】当，充分性成立； 但时，．必要性不成立， 故答案为：充分不必要 【题型04】根据充分不必要条件求参数 【典例4-1】（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知集合A是集合B的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集， 且，，可得， 所以m的取值范围是. 故选：A. 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 【变式4-3】（26-27高一·全国·暑假作业）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将充分条件转化为子集关系，再结合集合的子集关系，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【题型05】判断命题的必要不充分条件 【典例5-1】（25-26高一下·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 【变式5-1】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由推不出，比如，则充分性不成立； 当时，由于，则，所以，则必要性成立. 则p是q的必要不充分条件. 故选：B 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】应用必要充分条件定义转化为真子集判断各个选项. 【详解】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 【变式5-3】（24-25高一上·山东淄博·阶段检测）命题“”是命题“”的____条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【题型06】根据必要不充分条件求参数 【典例6-1】（25-26高一上·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 【变式6-2】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 【答案】 【分析】根据是的必要不充分条件得出根的情况，由韦达定理求解. 【详解】由可得或， 由是的必要不充分条件可知， 方程有相等实根或， 即或， 解得， 故实数的值为. 【题型07】根据充要条件求参数 【典例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 【变式7-3】（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【题型08】既不充分也不必要条件 【典例8-1】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】不能推出，如， 不能推出，如， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，若，则，因此不能推出； 当时，若，则，因此不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式8-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】不等式，取，满足，而， 反之，，而， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式8-3】（24-25高一上·吉林四平·期中）若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【详解】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 【题型09】充要条件的证明 【典例9-1】（25-26高一上·安徽·期中）“，且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】若，且，则且成立， 即“，且”是“且”的充分条件； 反之，若“”，则，且或，且．而，且时，，不满足，所以，且. 所以“，且”是“且”的必要条件 因此“，且”是“且”的充要条件． 故选：C． 【变式9-1】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 【变式9-2】（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）“”是“”的______（填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 【答案】充要条件 【分析】看“”与“”之间的推出关系，结合充分条件，必要条件定义得解. 【详解】解得，则“”是“”的充要条件. 故答案为：充要条件. 【变式9-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【题型10】探求命题为真的充要条件 【典例10-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 【变式10-2】方程有实根的充要条件为___________. 【答案】 【分析】由可得结果. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【变式10-3】“”可作为下列结论______的充要条件． ①；②；③或；④或． 【答案】③ 【分析】根据充要条件的定义判断即可 【详解】由“”可推得或，反之也成立． 所以“”是③的充要条件． 故答案为：③ 知识点01前置知识：命题与推出关系 1. 推出符号定义 一般地，设两个条件为 ： 若由条件可以推出条件成立，记作： 若由条件不可以推出条件成立，记作： 2. 通俗理解 ：有p就一定有q，p是q的有效依据。 知识点02核心概念：充分条件、必要条件、充要条件 1. 基础定义（必考核心） 推出关系 结论 通俗理解 是的充分条件；是的必要条件 充分：有之即可；必要：无之不可 且 是的充分不必要条件 p够用，但是离不开q 且 是的必要不充分条件 p不够用，但是必须要有p 是的充要条件（充分必要条件） 互相推出，二者完全等价 且 既不充分也不必要条件 两者无任何逻辑推出关系 2. 关键公式 双向推出符号：，代表同时 知识点03解题万能方法：集合关系判断法（做题最快技巧） 1. 集合设定 设满足条件的元素构成集合 设满足条件的元素构成集合 2. 集合与逻辑条件对应关系 ⇔ 是的充分不必要条件 ⇔ 是的必要不充分条件 ⇔ 是的充要条件 且 ⇔ 既不充分也不必要条件 秒杀口诀：小范围推大范围，小充分，大必要 知识点04高频易错点（避坑总结） 易错1：分不清谁推谁，记住：谁在前，谁推出 易错2：证明充要条件只证一步，考试直接扣分，必须分开证充分性、必要性 易错3：集合判断搞反大小，牢记：小集合是充分条件 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，当时，恒成立，故B正确；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，若，则不成立，故D错误. 2．（24-25高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 4．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】，即或， 即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 7．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南·阶段检测）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 10．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”的充分不必要条件是“” D．“为整数”是“为整数”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐一判断. 【详解】则有，反之，时满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，A正确； 等价于且，则“”是“”的充分不必要条件，B错误； 若，则，反之不成立，则“”的充分不必要条件是“”，C正确； “为整数”则“为整数”；当时为整数， 故“为整数”是“为整数”的充分不必要条件 ，D错误. 故选：AC 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意得，分，两种情况讨论，可得答案． 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·陕西商洛·期中）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2026高一·全国·专题练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据必要条件的性质可得两个集合的包含关系，进而可得所求值的范围. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【详解】（1）当时，， 所以或， 因为， 故或. （2）因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 17．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：充分条件与必要条件 知识点02：充要条件 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题的真假 题型02：指出命题的条件和结论 题型03：判断命题的充分不必要条件 题型04：根据充分不必要条件求参数 题型05：判断命题的必要不充分条件 题型06：根据必要不充分条件求参数 题型07：根据充要条件求参数 题型08：既不充分也不必要条件 题型09：充要条件的证明 题型10：探求命题为真的充要条件 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 【例1】已知p：，q：，判断： （1）p是q的什么条件； （2）q是p的什么条件。 【知识点02】充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 【例2】判断命题p：，命题q：，补充一个命题r，使得r是q的充要条件，并证明。 【题型01】判断命题的真假 【典例1-1】（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【变式1-1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式1-2】分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是________，真命题的序号为________． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由． (1)，则； (2)若，则； (3)若，则且； (4)若，则． 【题型02】指出命题的条件和结论 【典例2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【变式2-1】指出下列命题的条件和结论： (1)两直线平行，内错角相等； (2)已知，当时，． 【变式2-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【变式2-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【题型03】判断命题的充分不必要条件 【典例3-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一·全国·寒假作业）设，则“”是“”的_________条件． 【题型04】根据充分不必要条件求参数 【典例4-1】（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【变式4-3】（26-27高一·全国·暑假作业）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【题型05】判断命题的必要不充分条件 【典例5-1】（25-26高一下·河北衡水·期中）若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·山东淄博·阶段检测）命题“”是命题“”的____条件． 【题型06】根据必要不充分条件求参数 【典例6-1】（25-26高一上·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【变式6-2】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【变式6-3】（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 【题型07】根据充要条件求参数 【典例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【变式7-3】（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【题型08】既不充分也不必要条件 【典例8-1】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-3】（24-25高一上·吉林四平·期中）若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【题型09】充要条件的证明 【典例9-1】（25-26高一上·安徽·期中）“，且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】（24-25高一上·广西来宾·阶段检测）“”是“”的______（填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 【变式9-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【题型10】探求命题为真的充要条件 【典例10-1】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-1】（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【变式10-2】方程有实根的充要条件为___________. 【变式10-3】“”可作为下列结论______的充要条件． ①；②；③或；④或． 知识点01前置知识：命题与推出关系 1. 推出符号定义 一般地，设两个条件为 ： 若由条件可以推出条件成立，记作： 若由条件不可以推出条件成立，记作： 2. 通俗理解 ：有p就一定有q，p是q的有效依据。 知识点02核心概念：充分条件、必要条件、充要条件 1. 基础定义（必考核心） 推出关系 结论 通俗理解 是的充分条件；是的必要条件 充分：有之即可；必要：无之不可 且 是的充分不必要条件 p够用，但是离不开q 且 是的必要不充分条件 p不够用，但是必须要有p 是的充要条件（充分必要条件） 互相推出，二者完全等价 且 既不充分也不必要条件 两者无任何逻辑推出关系 2. 关键公式 双向推出符号：，代表同时 知识点03解题万能方法：集合关系判断法（做题最快技巧） 1. 集合设定 设满足条件的元素构成集合 设满足条件的元素构成集合 2. 集合与逻辑条件对应关系 ⇔ 是的充分不必要条件 ⇔ 是的必要不充分条件 ⇔ 是的充要条件 且 ⇔ 既不充分也不必要条件 秒杀口诀：小范围推大范围，小充分，大必要 知识点04高频易错点（避坑总结） 易错1：分不清谁推谁，记住：谁在前，谁推出 易错2：证明充要条件只证一步，考试直接扣分，必须分开证充分性、必要性 易错3：集合判断搞反大小，牢记：小集合是充分条件 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高一上·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南·阶段检测）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 10．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”的充分不必要条件是“” D．“为整数”是“为整数”的充要条件 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江西·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 13．（25-26高一上·陕西商洛·期中）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 14．（2026高一·全国·专题练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 17．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $