第17讲：对数函数【十大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第17讲：对数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 知识点四　反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 【例题详解】 题型一、对数函数的概念及应用 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 题型二、与对数函数有关的定义域 4．（24-25高二下·北京通州·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域及根式有意义列式得出定义域即可. 【详解】函数有意义得出且，所以 函数的定义域是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江西赣州·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】由题意有或， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·周测）已知. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性. 【答案】(1)； (2)奇函数. 【分析】（1）根据对数的真数大于0列不等式可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据函数奇偶性的定义计算判断即可. 【详解】（1）由题意，，则，即，，解得， 故的定义域为. （2）由（1）可知，的定义域关于原点对称， 又， 函数是奇函数. 题型三、对数函数的图象问题 7．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】分析指数函数和对数函数的特征，得到答案. 【详解】指数函数（其中且）恒过点，且与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 对数函数（其中且）恒过点，与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 可以看出②过点，与轴有交点，不合要求，其他均满足要求. 故选：B 9．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 题型四：对数函数的复合单调性问题 10．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 【答案】BCD 【分析】本题已知函数，得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质. 【详解】由题，令,解得,故A错误；函数在上单调递增，在单调递增，所以函数的增区间是,故B正确；由选项B的分析可得，当时，函数取到最小值，,故C正确；因为,所以恒成立，即函数图象恒在轴上方.故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 11．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令且，解得，可知函数的定义域为， 因为，且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性知，函数在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 12．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得. 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 题型五：由对数函数的单调性求参数 13．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 14．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】{或} 【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域且单调递增， 若， 则， 解得或. 故答案为：{或}. 15．（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断的定义域关于原点对称，然后再证明； （2）由、的单调性判断复合函数的单调性，为函数单调减区间的子集，列不等式求解即可. 【详解】（1）证明：由题得， 故，则的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数． （2）因为， 当时，单调递减，且在定义域上为增函数， 故在区间上单调递减， 同理可得在区间上单调递减． 因为在区间上单调递减， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 题型六：由对数函数的单调性解不等式 16．（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性进行判断. 【详解】， ①；②. 所以实数a的取值范围为. 故选：A 17．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别分析两个不等式和，再取它们的交集. 【详解】分析， 即，根号下的数需非负：， 两边平方：， 结合对数函数的底数要求得：. 分析， 当时，对数函数单调递增，此时可转化为， 因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：， 结合前提，此情况的解为：； 当时，函数单调递减，此时，可转化为， 因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：， 结合前提，此情况的解为：； 综合以上信息可知当时，同时满足两个不等式. 故答案为：. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】函数在上为减函数， 由得解得， 即的取值范围是． 故答案为： 题型七、比较大小 19．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 20．（24-25高一下·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数的运算法则，把分别转化为，再利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且在单调递增， 所以，即. 故选：D 21．（24-25高二下·江西·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数单调性得到，从而比较出大小. 【详解】因为，所以． 故选：A 题型八、对数函数的最值问题 22．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求的定义域，再判断在区间上的单调性即可求最大值. 【详解】由已知可得，解得定义域为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，即函数在区间内单调递增， 所以在区间内的最大值为． 故选：B. 23．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】． 【分析】设，利用在上的单调性来求解． 【详解】设，当时取等号. ∵，∴． 又∵在上为减函数，， ∴的最小值为． 故答案为：. 24．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 题型九、对数函数的应用 25．（2025高三·全国·专题练习）若，则的不可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性得出不等式组，解之可得． 【详解】依题意且，，所以， 由于，所以，解得， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A 26．（24-25高二下·河南新乡·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，则，根据函数的单调性，结合不等式的性质以及指数函数的单调性即可得到结论. 【详解】因为，所以， 令函数，则． 因为在上都是增函数 所以是定义在上的增函数， 所以，即， 从而． 故选：A. 27．（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数，若且，则以下错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性判断A；根据对数的运算法则可判断B；直接代入函数解析式判断是否相等即可判断C；由及对数函数的单调性可判断D. 【详解】对A，因为在上单调递增，所以对且，均有成立，A正确； 对B，，B正确； 对C，，C错误； 对D，因为对且，， 所以，D正确. 故选：C 题型十、对数函数综合问题 28．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 29．（23-24高三上·四川·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】研究函数的奇偶性及当时，函数值的符号即可判断. 【详解】由题意知的定义域为， 又，所以为奇函数，故排除C项，D项. 又当时，，，所以.故排除B项. 故选：A. 30．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； (2)若不等式的解集为，求的值. 【答案】(1)是奇函数；单调性见解析 (2)或 【分析】（1）先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断的奇偶性；利用复合函数的单调性判断的单调性，从而得解； （2）利用（1）中结论，分类讨论并转化的等价条件，从而得解. 【详解】（1）对于， 有，解得，故的定义域为， 又 ，故是奇函数； 因为， 易得在上单调递增， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，且为奇函数， 则等价于，即， 则，得； 当时，在上单调递减，且为奇函数， 则等价于，即， 则，得； 综上，或. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在区间为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案. 【详解】在区间为减函数； 在区间为减函数； 在区间为增函数； 在区间为减函数. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数的定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数、幂函数性质比较大小. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 5．（24-25高二下·江西·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出. 【详解】因函数在上是减函数，故． 故选：D． 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案. 【详解】在上单调递增，又， 故. 故选：A 7．（2024·甘肃张掖·一模）已知命题；命题．则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性判断命题p，再根据时，判断即可选择. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以当时，，故命题是真命题； 由指数函数的性质可知，所以当时，， 所以．故命题是真命题． 故选:A. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】作出函数与的图象，如图， 由图象可知，当时，恒成立，则的解集为； 当时，， 图象的交点坐标为、，结合图象知，的解集为. 所以不等式的解集为. 故选：C. 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上的值域包含，可知函数在上单调递增，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，即函数在上的值域为， 由题意可知，函数在上的值域包含， 即函数在上单调递增，所以，， 且，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 10．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件， 故选：B. 11．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 12．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，求得，即可求得目标式的结果. 【详解】，则，； . 故选：D. 二、多选题 13．（24-25高二下·山东烟台·期末）下列不等关系成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数性质逐一分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，又， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：AC 14．（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A求即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对于A：由，所以的定义域为，故A正确； 对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确； 对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误； 对于D：由是奇函数且在是减函数，由得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 15．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（    ） A．是函数的图象 B．是函数的图象 C．是函数的图象 D．是函数的图象 【答案】BC 【分析】中，令，解得或，同理中，令，解得或，故，再图象中，画出，确定是函数的图象，是函数的图象. 【详解】中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 同理中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 因为，所以， 作出直线，如下： 显然，是函数的图象，是函数的图象. 故选；BC 16．（2025·河北保定·二模）若函数，则（      ） A．为减函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BC 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等式，即可判断选项B，D. 【详解】因为，， 所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确； ，故选项正确； ，故选项错误. 故选：BC. 三、填空题 17．（2023高一上·全国·专题练习）如图是对数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应于的a的值依次是 .    【答案】，，， 【分析】 当底数大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，底数大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)；或者由，得(即交点的横坐标等于底数)，比较即可. 【详解】 方法一：的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)，所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，. 方法二：如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，    由，得(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以对应的a值分别为，，，. 故答案为：，，，. 18．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】. 【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）方程的解集为 . 【答案】 【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原方程解集为即可. 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为， 所以， 则， 由对数函数性质得 在上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为. 故答案为： 20．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 21．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数为奇函数，求出当时的解析式，进而求出. 【详解】因为当时，， 所以. 因为是奇函数，所以，所以当x<0时，， 则，所以. 故答案为： 22．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 四、解答题 23．（20-21高一上·陕西延安·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)，定义域为 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到解析式，再根据对数的真数大于得到不等式组，求解即可； （2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以，即，解得. 故, 令，解得, 故的定义域为. （2）因为，， 又，在上单调递增，在上单调递减， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 24．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入得，再根据对数的基本运算及对数函数的性质求解即可； （2）由题意可得在上的最大值为，分和，分别求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，即为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为：； （2）解：由复合函数的性质可知在上单调递增， 所以函数在上的最大值为， 若，则，解得或， 又因为，，所以此时无解； 若，则， 又因为， 所以，解得， 但此时，矛盾，故舍去； 综上. 25．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由过定点求出，再由真数大于零求出定义域，根据复合函数的单调性可得答案； （2）由题意可知可以取到的任何数，令，然后分、、讨论可得答案. 【详解】（1）由过定点，则， 即，解得，所以， 由得函数的定义域是：， 因为在上单调递增，在上单调递减， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是； （2）若值域为，则可以取到的任何数， 令， 当时，，显然可以取到的任何数，故成立； 当时，开口向上，只需要其， 即，即，解得，又，故； 当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合； 综上可知，的取值范围是. 26．（21-22高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数. (1)解不等式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数函数的定义域及单调性列出不等式组，即可解出的范围； （2）由知，可求出的取值范围. 【详解】（1）由， 则， 即， 所以； （2）因为， 由知， ，且，， 故， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲：对数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 知识点四　反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 【例题详解】 题型一、对数函数的概念及应用 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 3．（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 题型二、与对数函数有关的定义域 4．（24-25高二下·北京通州·期末）函数的定义域是 ． 5．（24-25高二下·江西赣州·期末）函数的定义域为 . 6．（24-25高一上·全国·周测）已知. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性. 题型三、对数函数的图象问题 7．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四：对数函数的复合单调性问题 10．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 11．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）函数的单调增区间为 . 12．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 题型五：由对数函数的单调性求参数 13．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围． 题型六：由对数函数的单调性解不等式 16．（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知，且，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 题型七、比较大小 19．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·云南·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·江西·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型八、对数函数的最值问题 22．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 24．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九、对数函数的应用 25．（2025高三·全国·专题练习）若，则的不可能取值是（ ） A． B． C． D． 26．（24-25高二下·河南新乡·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数，若且，则以下错误的是（   ） A． B． C． D． 题型十、对数函数综合问题 28．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 29．（23-24高三上·四川·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   30．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； (2)若不等式的解集为，求的值. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在区间为增函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·甘肃张掖·一模）已知命题；命题．则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数则的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 10．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 11．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 12．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 13．（24-25高二下·山东烟台·期末）下列不等关系成立的有（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数是奇函数 C．函数是增函数 D．若，则 15．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（    ） A．是函数的图象 B．是函数的图象 C．是函数的图象 D．是函数的图象 16．（2025·河北保定·二模）若函数，则（      ） A．为减函数 B． C．的值域为 D． 三、填空题 17．（2023高一上·全国·专题练习）如图是对数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应于的a的值依次是 .    18．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）方程的解集为 . 20．（24-25高一下·云南保山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 21．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 . 22．（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 四、解答题 23．（20-21高一上·陕西延安·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 24．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值. 25．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数：，. (1)若过定点，求的单调递增区间； (2)若值域为，求的取值范围. 26．（21-22高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数. (1)解不等式； (2)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$