第15讲 指数函数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第15讲 指数函数 【人教A版2019】 模块一 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数的定义即可判断. 【解答过程】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】运用指数函数的概念判断即可. 【解答过程】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 故选：D. 【变式1.2】（2025高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【解答过程】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【解题思路】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【解题思路】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【解答过程】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的定义求解即可. 【解答过程】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数的定义即可求解. 【解答过程】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C. 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【解答过程】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二上·安徽·期中）已知函数的图象过点，则 （    ） A．3 B．-3 C． D． 【解题思路】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可. 【解答过程】由题意可知， 所以. 故选：C. 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【解答过程】设（且），则， 解得，故. 故选：D. 模块二 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个数的大小． 【解答过程】函数在上减函数；又，故，即， 函数在上为增函数；又，故，即， 故. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数单调性及中间量即可判断. 【解答过程】由单调递减可得：， 且，又， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数、幂函数的性质来求得正确答案. 【解答过程】，函数在上单调递增，所以. 在上单调递增，所以. 所以. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【解题思路】利用指数函数、幂函数的单调性比较大小逐个判断即可. 【解答过程】对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误； 对②，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递增，所以， 所以，②正确； 对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确； 对④，因为指数函数单调递减，所以， 又因为幂函数在单调递减，所以， 即，④错误； 故选：C. 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的单调性，解不等式. 【解答过程】单调递减， 所以，解得：. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【解答过程】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（为常数，且），且. (1)求的値； (2)解不等式. 【解题思路】（1）把点代入函数解析式可得答案； （2）利用指数函数单调性可得答案. 【解答过程】（1）因为函数，又， 所以，即. （2）由（1）知，，不等式即， 所以，所以的解集为. 【变式5.3】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 【解题思路】（1）由偶函数的性质可得，可求得的值，然后利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式，即可得答案； （2）分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则. 综上所述，. （2）当时，，则函数在上为增函数，且， 由可得，所以，，解得或. 因此，不等式的解集为. 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【解答过程】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果. 【解答过程】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【解答过程】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域，并判断函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，由，可得， 故函数的定义域为，排除BD选项； 因为， 故函数为奇函数，排除A选项， 故选：C. 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求函数的定义域，然后结合指数函数、幂函数的单调性，根据复合函数单调性法则判断即可. 【解答过程】由解得， 所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增， ，的开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复合函数的单调性可得答案. 【解答过程】因为是 开口向下、对称轴为的抛物线，且是增函数， 由复合函数的单调性判断可知，，解得， 故选：A. 【变式7.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）； (3)已知不等式，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用奇函数的性质，由求出值并验证得答案. （2）借助指数函数单调性判断函数的单调性. （3）利用函数的单调性与奇偶性的解不等式即得t的范围. 【解答过程】（1）由函数是R上的奇函数，得，解得， 此时，其定义域为R，且， 则是奇函数，所以. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， 则函数在R上单调递减，所以函数在R上单调递减. （3）由已知及（2），得函数是R上单调递减的奇函数， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【变式7.3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【解题思路】（1）根据，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域； （3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集. 【解答过程】（1）因为是定义域为R的奇函数，故， ，即， 故，解得； （2）由（1）知，，在R上单调递增， 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 又， 所以，即， 所以在R上单调递增， ，变形得到，解得， 故的值域为； （3）因为是定义域为R的奇函数， 故， 由（2）知，在R上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 不等式的解集为. 【题型8 指数函数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【解题思路】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【解答过程】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一上·全国·课后作业）放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解. 【解答过程】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据给定的函数关系式及已知可得，再由求参数. 【解答过程】由题设，可得， 由，则，可得. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可计算出的值，代入表达式即可计算结果. 【解答过程】由题意知，则， 故5年后该种群数量是起始数量的倍． 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案. 【解答过程】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B. 2．（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断函数的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确. 【解答过程】由可知函数的定义域为，因， 则函数是奇函数，故排除B项； 又由可排除C项； 又，即，故可排除D项. 故选：A. 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合指数函数的性质即可得解. 【解答过程】，故函数恒过点. 故选：A. 4．（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据指数函数的定义，进行求解即可. 【解答过程】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间. 【解答过程】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 6．（24-25高一上·四川泸州·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小即得. 【解答过程】对于A，，函数在R上递增，则，A错误； 对于B，，函数在R上递减，则，B错误； 对于C，函数在R上递减，函数在上递增，则，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 7．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）指数函数在R上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的性质求解． 【解答过程】由题意，即， 故选：B. 8．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）已知 是奇函数，则不正确的是（    ） A． B．上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【解题思路】利用函数的奇偶性求出即可判断A；利用复合函数的单调性即可判断B；利用反函数法求出函数的值域即可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D. 【解答过程】A：由，得，即函数的定义域为， 由为奇函数，得， 即，整理得， 又，所以，解得.故A正确； B：由选项A知， 当时，.又函数在上为增函数， 所以在上为减函数，故B错误； C：令，得，解得或， 所以的值域为，故C正确； D：因为在上为减函数，且为奇函数， 所以在上为减函数，且， 由得，解得， 即原不等式的解集为，故D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【解答过程】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【解题思路】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项. 【解答过程】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则正确的是（   ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 【解题思路】A选项，根据得到值域；B选项，利用指数函数单调性解不等式，得到解集；C选项，中，用代替得，C正确；D选项，同一坐标系内画出的图象，数形结合得到答案. 【解答过程】A选项，，故，即值域为，A正确； B选项，， 故，解得，故的解集为，B错误； C选项，中，用代替得， 故的图象与的图象关于轴对称，C正确； D选项，同一坐标系内，画出的图象，如下： 其中，当趋向于时，趋向于1， 关于的方程有且仅有一实根，故的图象交点个数为1， 则或，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 【解题思路】根据指数函数的概念求解. 【解答过程】由题意设，且， ∵的图象过点，∴，解得， 则的解析式为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【解题思路】函数可化为，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域. 【解答过程】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 14．（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 【解题思路】根据二次函数以及指数函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解. 【解答过程】令，则， 由于函数在单调递减，而在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性的原则可知：的单调递减区间为 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和． 【解题思路】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解. 【解答过程】因为且的图象经过点，所以， 解得（负根舍去），于是． 所以，． 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知指数函数，且过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，由求解； （2）利用函数在R上递减，将不等式转化为求解. 【解答过程】（1）解：因为指数函数，且过点， 所以，解得， 所以函数的解析式为； （2）由（1）知函数在R上递减， ，转化为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 . 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，且，且. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由解出即可求解； （2）由指数函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，所以 （2）由（1）得，则函数是上的增函数. 由，得， 解得，即的范围是. 18．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【解题思路】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【解答过程】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 19．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义在R上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若. ①试判断函数的单调性（不需要证明）； ②当在上有解时，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可. （2）①求出参数值得函数，再利用指数函数单调性判断即可；②由①求出在上的值域，进而求出范围. 【解答过程】（1）函数为奇函数， 对任意，都有，， 所以为奇函数. （2）①由，得，解得，则， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减. ②由①知，函数在上单调递减，， 则函数在上的值域为， 由在上有解，得在上有解， 而，则， 所以实数m的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 指数函数 【人教A版2019】 模块一 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1.3】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【变式2.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·安徽·期中）已知函数的图象过点，则 （    ） A．3 B．-3 C． D． 【变式3.3】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 模块二 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）下列大小关系正确的是（    ） ①    ② ③    ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数（为常数，且），且. (1)求的値； (2)解不等式. 【变式5.3】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)解不等式：. 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性（不需要过程，只需写出结果）； (3)已知不等式，求实数的取值范围． 【变式7.3】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【题型8 指数函数的实际应用】 【例8】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【变式8.1】（24-25高一上·全国·课后作业）放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2．（24-25高一上·广东梅州·阶段练习）函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川泸州·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）指数函数在R上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津宝坻·阶段练习）已知 是奇函数，则不正确的是（    ） A． B．上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 二、多选题 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 11．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则正确的是（   ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为 . 13．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 14．（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和． 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知指数函数，且过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，且，且. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 19．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义在R上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若. ①试判断函数的单调性（不需要证明）； ②当在上有解时，求实数m的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$