第19讲 用二分法求方程的近似解（思维导图+2知识点+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第19讲 用二分法求方程的近似解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件； 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解. 知识点 1 二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、二分法要点辨析： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点 2 二分法求零点近似值 1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 考点一：判断二分法的适用条件 例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ） A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 考点二：二分法的具体步骤 例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 考点三：二分法次数的确定 例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 考点四：用二分法求零点近似值 例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: 则方程的近似解(精确度)可取为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数. (1)求证：在上为增函数. (2)若，求方程的正根（精确度为0.01）. 一、单选题 1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（    ） A． B．2，3 C． D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 三、填空题 9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ． 10．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 四、解答题 12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 用二分法求方程的近似解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件； 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解. 知识点 1 二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、二分法要点辨析： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点 2 二分法求零点近似值 1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 考点一：判断二分法的适用条件 例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数， 在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C 【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（    ） A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 【答案】C 【解析】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个， 所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C 【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点， 且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B. 【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A项，设， 则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线. 根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确； 对于B项，设，则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.. 根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确； 对于C项，设，则，， 所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.. 根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确； 对于D项，设， 因为恒成立，不存在函数值异号区间， 所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC. 考点二：二分法的具体步骤 例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即.故选：B. 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以.故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小， 时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.故选：C 考点三：二分法次数的确定 例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（    ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故需，解得，所以至少需要操作7次.故选：C 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半， 经过次后，区间长度变成，则，即， 故对区间只需要分4次即可．故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【解析】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【解析】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 考点四：用二分法求零点近似值 例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为 可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C. 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项．故选：ABD． 【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: 则方程的近似解(精确度)可取为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由函数在上单调递增， 要使得精确度为，结合表格可知： ，， 此时， 所以方程的近似解在区间内.故选：AB. 【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数. (1)求证：在上为增函数. (2)若，求方程的正根（精确度为0.01）. 【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375 【解析】（1）证明：设， ， ，，，，； ，且，，， ，即， 函数在上为增函数； （2）由（1）知，当时，在上为增函数， 故在上也单调递增，因此的正根仅有一个， 以下用二分法求这一正根，由于，， 取为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点 中点函数值 0.5 0.732 0.25 0.375 0.322 0.3125 0.124 0.28125 0.021 0.265625 0.2734375 由于， 原方程的根的近似值为0.2734375，即的正根约为0.2734375. 一、单选题 1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，且，可得， 所以，根据零点的存在性定理， 可得方程的近似解落在区间为.故选：A. 2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算，故选：C． 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（    ） A． B．2，3 C． D． 【答案】A 【解析】由函数， 根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在至多有一个零点， 又由依次确定了零点所在区间为， 可得，即，解得.故选：A. 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以， 所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：.故选：C. 5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【解析】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，， 精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C 6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，在上单调递增， 且，可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增， 且，可以使用二分法，故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误.故选：C 二、多选题 7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或.故选：BD. 8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【解析】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确； ，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01， 则近似解不可取为1.4375，D错误.故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ． 【答案】1 【解析】第一次经计算可知， 说明该函数在区间内存在零点，下次计算，. 故答案为：1 10．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 【答案】 【解析】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 【答案】4 【解析】，，，所以，满足， 开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n此操作后，区间长度变为， 故有，即，则，所以至少需要操作4次. 故答案为：4. 四、解答题 12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析；(2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【解析】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解， 比如2.6是方程在上的一个近似解． 13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$