山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期末数学自编模拟卷

**基本信息** 以现实情境为载体，融合概率统计、数列、函数等核心知识，通过分层设问考查数学思维与应用能力，如台灯近视调查、产品定价回归分析等情境题，体现用数学语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/74|统计案例（独立性检验）、数列证明与求和、概率分布、函数导数应用、复杂摸球概率|第19题综合概率递推与期望证明，考查逻辑推理；第15题结合频率估计概率，体现数据观念|

菏泽一中期末考前模拟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知函数，则(    ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2.的展开式中，的系数为     A. B. C. 6 D. 15 3.已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则     A. B. C. 16 D. 18 4.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是(    ) A. B. C. D. 5.将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列时，五张牌的排法总数为(    ) A. 8 B. 10 C. 13 D. 16 6.函数的零点个数为(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7.设函数是R上的增函数，且关于x的不等式恒成立，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若数列，均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是    A. 存在等差数列，使得是的“M数列” B. 存在等比数列，使得是的“M数列” C. 存在等差数列，使得是的“M数列” D. 存在等比数列，使得是的“M数列” 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.设随机事件A，B满足，，，则    A. B. A，B相互独立 C. D. 10.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量单位：千件与售价单位：元/件的情况如下表所示.则     售价元/件 10 11 12 13 14 月销售量千件 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③ 参考数据：，，， A. y关于 x的线性回归方程为： B. 相关系数小数点后保留两位 C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 11.已知函数，则    A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.设正项数列，，，则的前n项和为          . 13.已知函数，令，当时，的所有零点之和为        ，有3个零点则k的取值范围为        . 14.现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换.每一次变换有p的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数.设轮变换后黑板上的数字为已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则          . 四、解答题：本大题共5小题，共74分。 15.台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； 用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 16.已知数列中， 求证：数列是等比数列； 求数列的前2n项和 17.某学校有A，B两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为，设第n天选择在A餐厅用餐的概率为，已知王同学第1天选择的是在A餐厅用餐. 求； 若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设X为王同学前5天在A餐厅用餐的次数，求X的分布列和数学期望. 18.已知函数， 求曲线在点的切线方程； 若，求的极值； 设直线l是曲线在点处的切线，且与y轴交于点为坐标原点．是否存在点P，使的面积为？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 19.盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中，直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记P为第n次摸球后游戏结束的概率. 求P，P； 求P； 若摸球2n次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量X 证明：EX 菏泽一中期末考前模拟 1.D  2.D  3.B  4.C  5. D  6. D  7. B  8.C  9.ABD  10.ABD  11. AD  12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】  【解析】设A为“第1轮变换前后数字之差为1”，B为“” 由题意，，当B发生时，若A发生，第1轮后数字为，续两轮需使结果： 情况一：第2轮加，第3轮必须乘：概率 情况二：第2轮乘，第3轮必须乘：概率 故 若A不发生时，第1轮后数字为： 情况一：第2轮加，第3轮乘：概率 情况二：第2轮乘，第3轮任意或：概率 故A不发生时 因此 由，代入得： ，化简得到，即，解得 15.【答案】解：零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. 使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为X，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得 16.【答案】解：依题意，， 因此， 即，又，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列. 由得，即，又， 则， 因此， 则， 所以数列的前2n项和为 17.【解析】解：由题意可知，，，所以； 王同学前5天在哪个餐厅用餐可能情况如下： 第一天 第二天  第三天  第四天  第五天  X A A B A A  4 B  3 B A  3 B A A B  3 B A  3 B  2 B A A  3 B 2 所以X可取值为2，3，4， ， ， ， 即X的分布列为： X 2 3 4 P 18.【答案】解：由，得， 所以，又， 所以曲线在点的切线方程为，即； 函数的定义域为， 可得， 令，可得，解得或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为， 当时，函数取得极小值，极小值为 不存在点P，使的面积为，理由如下： 由，得，所以，又， 所以切线l的方程为， 令，得， 所以， 所以切线l与y轴的交点 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令， 所以， 所以， 由，得 所以，所以， 令， 所以 ， 所以无解，故不存在点P，使的面积为 19.【答案】解：， 若盒中有4个黑球，2个红球， 一次性摸出两个球，摸到0，1，2个红球的概率分别为若盒中有4个黑球，1个红球， 一次性摸出两个球，摸出0，1个红球的概率分别为则摸球n次，记第i次和第n次分别各摸到一个红球的概率为， 则， 摸球n次，记第n次摸到两个红球的概率为， 则 设摸球2n次， 在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为， 记， 则， 的可能取值为1，2，且， 所以  第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $