山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期末考前模拟数学试题

**基本信息** 菏泽一中高二数学期末模拟卷聚焦概率统计、导数等核心知识，通过乒乓球比赛、零件质量检测等真实情境设计综合性问题，考查数学思维与应用能力，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|正态分布、导数图像、排列组合|结合注记提示（题1），注重概念辨析（题2导函数图像分析）| |多选题|3题|条件概率、三次函数拐点|多选项分层（题9条件概率计算，题11拐点与切线综合）| |填空题|2题|二项式系数、函数与圆综合|跨知识融合（题13以PQ为直径的圆与函数图像结合）| |解答题|5题|概率综合、导数应用、数列递推|情境真实（题15乒乓球比赛概率，题17零件质量检测），综合应用（题19口袋交换问题概率分布与期望）|

· 菏泽一中高二数学期末考前模拟 5.16 一、单选题 1．如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 2．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 3．某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 4．在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 5．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为（   ） A． B． C． D． 7．曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 8．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（   ） A．5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B．每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 11．三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题 12．已知，则________． 13．已知函数 的图象上存在点 P，Q，使得以线段PQ 为直径的圆经过坐标原点O，且圆心在y轴上，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 15．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． (1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； (2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 16．已知函数在处取得极小值，． (1)求和的值； (2)对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 17．某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 18．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若为函数的三个零点，且满足， ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 19．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为. (1)写出的分布列并计算； (2)某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值； (3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 · 《菏泽一中高二数学期末考前模拟》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C D C B C ACD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13．. 14． 1 13.【详解】不妨令，，因为PQ为直径，圆心在y轴上，故PQ中点横坐标为， 根据中点坐标公式可知， 又圆过原点，故，即，代入计算得，又点 P，Q在函数图象上，当时，则均在图像上，将点 P，Q代入方程得，化简为，无实数解，故必在不同分支上，即 故，，代入整理得 令，则，令，解得 当，单调递增，值域为，故； 当，在取最大值，值域为，故， 综上，的取值范围是. 15．【详解】（1）（ⅰ）前4局甲乙各胜2局，最后1局甲胜．； （ii）甲赢得比赛分三种情况： ①，；②，； ③，由（1）已得； 所以甲赢得比赛的概率为． （2）由（1）可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为； 而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况： ①，；②，； 所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率， 因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利 16．【详解】（1）由已知，则，又函数在处取得极小值， 则，解得，所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即此时满足函数在处取得极小值，所以，； （2）由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为，当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得，所以， 解得，即实数的取值范围是． 17．【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，，所以， 因为，当时，， 当时，，所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3，，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 18．【详解】（1），所以 ，可得点 ，所以 ，所以切线方程为. （2）①因为， 若，则恒成立，故在上递增，不可能有三个零点，不合题意. 若，则有两个不相等的实数根，记为，且， 故在上递增，在上递减，因为，所以， 又因为当时，，令，则， 所以在上递增，且， 同理，所以在和上各有一个零点，又显然是的一个零点. 综上，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为. ②，因为，所以，，所以， 由，可得 ， 又因为 ，根据区间单调性，可得 ， 所以， 又因为，当且仅当，即时等号成立，所以. 19．【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球. 从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作， 记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 即； （2）根据题设可得不可能同时为1，故， 由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球， 即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换， 这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时， 之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则， 我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则， 这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50； （3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率， 则，， ，， 所以 ，由上可得期望的递推关系：， 变形构造为：，由(1)得，所以， 即数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，即， 所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为. 答案第4页，共5页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $