考点培优练03 复合函数及嵌套函数 7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03 复合函数及嵌套函数7大考点 考点预览 考点01 复合函数单调性与含参范围问题 1 考点02 复合函数的最值（值域）问题 8 考点03 复合函数奇偶性、图像特征及参数问题 11 考点04 复合函数相关不等式综合问题 15 考点05 内外自复合型的零点问题 20 考点06 内外双函数复合型的零点问题 25 考点07 二次复合函数的零点问题 31 考点通关 考点01 复合函数单调性与含参范围问题 四步标准流程：① 优先求总定义域，所有单调区间必须在定义域内； ② 拆分复合结构：，拆为外层、内层； ③ 分别分析内外层在定义域内的单调区间；④ 依据同增异减判定整体单调性。 含参单调问题 1.外层 / 内层含参时，对参数分类讨论，再结合单调性列不等式； 2.函数在区间上单调：保证内层值域落在外层某一个单调区间内； 3.函数在区间上不单调：内层极值点落入给定区间内部。 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当的定义域为时，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数定义域的特点，结合，可求的值，再利用奇函数的定义验证可得的值． （2）先分析函数在区间上的单调性，利用函数的单调性把函数不等式转化为代数不等式求解． 【详解】（1）若，则函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数， 所以，函数的定义域为， 所以，解得， 故， 经检验，， 所以函数为奇函数． 故为所求． （2）由题意知，当时，． 令，设， 则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 所以不等式可化为， 解得，即不等式的解集为． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 2．（2025·江苏盐城·三模）(多选题)已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项. 【详解】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 3．（2026·陕西榆林·三模）(多选题)已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的单调性及奇偶性判断即可. 【详解】由题意知， 当时，易得函数在上单调递增， 又， 所以为奇函数，所以在上单调递增． 又是定义在上的偶函数，所以. 因为，所以是奇函数，故A正确； 因为，所以是偶函数．故B正确； 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以．所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确． 4．（2026·重庆万州·模拟预测）(多选题)函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若，则函数在上单调递减 B． C．方程可能无解 D．若为奇函数，则 【答案】ABD 【分析】本题可根据复合函数的单调性、函数的奇偶性、方程的解等知识，对选项逐一进行分析. 【详解】选项A： 当 时， ，则 ， 令 ，对 变形可得 ， 对于函数 ，当 时，单调递增， 单调递减， 所以 在 上单调递减. 又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A正确； 选项B： 已知 ，则 . . 令 ，则 ，故B 正确； 选项C： 方程 即 ，变形可得 ； 令 ，则. 再令，，则. 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 所以在处取得最小值，即 恒成立，所以 在 上单调递增； 又因为当 时，；当时，， 所以对于任意的 ，方程 都有解，即方程 总有解，故C错误; 选项D： 若 为奇函数，则 ，即 ，所以 ； 由 ，则 ，化简得 ，所以 ， 又因为为奇函数，其定义域需关于原点对称，由 的解集关于原点对称可得 . 则 ，所以 ，故D正确. 综上，答案是ABD. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性的判断方法求参数的取值范围. 【详解】设（且），， 因为在上是减函数， 所以或. 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 6．（2026·江苏·一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先根据奇偶性求得，，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单调性法则分析函数的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可． 【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称， ，即， 的解集关于原点对称，即， 为奇函数， ， ，则，解得， ，定义域， 当时，，则， 当时，，则， 又在和单调递增， 在和单调递减， 在和单调递减， 即， 即， 或或 解得或或， 故不等式的解集为． 故答案为：． 考点02 复合函数的最值（值域）问题 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． 【典例2】（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练】1．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 2．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 3．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件函数的新定义结合函数的定义域和值域分析判断选项. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 故的定义域, 令，则或， 所以函数可转化为， 函数的对称轴为， 当时，；当时，， 故的值域为． 故选：D 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 考点03 复合函数奇偶性、图像特征及参数问题 核心考法：①多层复合函数奇偶性判断（内偶则偶、两奇为奇规则应用）；②已知复合函数为奇 / 偶函数，逆向求解参数值；③结合奇偶性、单调性综合判断函数图像、对称中心 / 对称轴；四则运算型函数与复合函数结合的奇偶性综合题。解题通法： 基础前提：函数定义域必须关于原点对称，不对称则直接非奇非偶。 复合函数奇偶性核心规则设： 内层为偶函数一定是偶函数（内偶则偶）；内层为奇函数，外层为奇函数 为奇函数（两奇为奇）；内层奇、外层偶为偶函数。 【典例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 【跟踪训练】1．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 3．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）(多选题)已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 4．（2026高三下·全国·专题练习）(多选题)已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先利用奇函数与偶函数的定义，求出与，将不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为，由基本不等式求解最值，即可得出的可能取值. 【详解】由， 则， 解得，， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 可得对恒成立， 又， 当且仅当时取等号，所以． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 6．（2026·河南濮阳·模拟预测）若偶函数在上单调递减，且对，，请写出满足条件的一个函数________. 【答案】答案不唯一， 【分析】结合偶函数及单调性写出一个即可. 【详解】满足条件的函数可以为， 因为，函数为偶函数， 当时，，函数单调递减， ，所以, 故满足所有条件. 考点04 复合函数相关不等式综合问题 抽象复合不等式解法已知单调： 增函数：；减函数：； 奇偶性简化技巧偶函数：，去掉绝对值、避免分类讨论； 奇函数：利用转化负自变量。恒成立 / 有解不等式转化为复合函数最值问题： 恒成立。 【典例4】（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将 转化为自变量到对称轴的距离关系 ，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可. 【详解】因为 所以 由于 ，则 恒成立，因此： 当 时，，故 ， 在 上单调递减， 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 函数在 处取得最小值，图象关于直线 对称，且开口向上， 由函数性质可知：若，则， 令 ，，代入得：， 即：，所以， 化简得，所以. 所以 的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性得，再结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）(多选题)已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 5．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 考点05 内外自复合型的零点问题 1. 基础型、分段型函数f(f(x))零点个数计数； 2. 已知f(f(x))零点个数（2个/ 3个/多个），逆向求参数取值范围； 3. 结合函数值域、极值分析零点临界情况。 解题通法（换元拆分法，核心通用） 1. 令，则； 2. 第一步：解方程，求出所有根； 3. 第二步：分别解方程，统计每个方程实根个数； 4. 所有根的总数，即为的零点个数。 【典例5】（2025·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称轴为，分类讨论当时和当时，分别作出函数的图象，借助图象判断根的个数，或列出恰有三个根的条件即可求解. 【详解】由题意知，的对称轴为， 当即时，的图象如图1，此时令，可得， 观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；    当即时，的图象如图2，此时令，可得或， 因为和均为的根， 所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，． 当时，的对称轴为， 则，解得， 故．    综上，的取值范围为． 故选：A. 【跟踪训练】1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数则方程f(f(x))+3=0的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】确定函数的性质，作出函数的图象，解方程时，先确定的解，并确定解的范围，然后再研究的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用． 【详解】作出函数的图象，时，（时取等号），上递增，上递减，上递增，由图象可知有三个解，不妨设，由于，因此， 于是有3个解，有1个解，有一个解，共5个解． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查方程的根与函数零点个数问题，解题方法是用换元法把方程的解的个数转化转化为函数图象与直线交点个数，转化是解决这类问题的关键． 2．（2026高三·全国·专题练习）(多选题)已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 4．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是__________；函数的零点个数是__________. 【答案】 【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解. 【详解】作出大致图象如下： 若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是； 令，则，可得， 且， 结合图象可知方程的一个根，另一个根， 当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根， 当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根， 综上所述：共有4个零点. 故答案为：；4. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 考点06 内外双函数复合型的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【典例6】（25-26高三上·四川宜宾·阶段检测）(多选题)已知函数，，，则下列结论中正确的有（    ） A．当时有1个零点 B．当时有4个零点 C．当有6个不同零点时，实数m的取值范围为 D．当的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3，ln4] 【答案】BC 【分析】转化为方程的解的个数，令，画出，的图象，数形结合，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的零点个数等价于关于的方程的解的个数， 令，画出，的图象如下： 当时，的解为，令，结合图象可知，有2个解， 故时，有2个零点，A错误； B选项，当时，有2个解，设为， 令，解得或，不妨设， 其中对应两个解，对应两个解， ，共四个解，当时有4个零点，B正确； CD选项，当时，有3个解，分别为， 易得， ，均有2个解， 当或时，有2个解，此时有6个解， 故或， 当有6个不同零点时，实数m的取值范围是，C正确； 最多有4个解，所以最多有8个解， 当有4个解时，则，即， 即当的零点个数最多时，m的取值范围为，D错误. 故选：BC 【跟踪训练】1．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以， 由①得，则， 将④代入②得：⑤ 又由③得⑥， 由⑤⑥可知，所以. 故答案为：． 2．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然， 则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3．已知函数，，则函数的零点个数为 个． 【答案】 【分析】令，得，再令，根据的解析式再分类讨论，即可求出，即或或，再画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】令，得， 令，得或， 解得或或， 所以或或， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知有个解，有个解，有个解， 所以共有个零点. 故答案为：. 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 【答案】 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题. 【详解】函数的定义域为，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为． 令，则，由，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4． 考点07 二次复合函数的零点问题 ①形如的复合方程实根个数统计；②因式分解后转化为两个简单嵌套方程，综合计数； ③给定方程解的个数，逆向求参数取值范围（压轴高频）；④结合分段函数、极值分析多重临界。 解题通法 1. 整体换元：令，原方程化为一元二次方程； 2. 解一元二次方程，得到根（含重根、不等根、无解三种情况）； 分类讨论： 1. 方程无解：原复合方程无零点； 2. 有一/两个实根：分别求解，统计根的总数； 3. 含参问题：结合值域、极值，分析与的交点个数，锁定参数。 【典例7】（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先分析函数的图象与取值范围，结合方程及的根的个数，方程的根的分布要求，确定的取值范围，分析条件求解参数的取值范围； 【详解】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 【跟踪训练】1．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数，关于的方程在上有四个不同的解，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可得或，做出的图象，即可知道，，，的关系，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】(※)， ，即或， 作出的图象如图所示， 当时，方程(※)无解，故只有时方程(※)有四个不同的解，且， 由余弦函数的性质知关于直线对称，故①， ② 为方程，即0的两个实根，③， 当时，或，由可得. 把①②③代可得 即故对任意恒成立， ，当且仅当时等号成立， ，即， 故答案为：. 【点睛】本题为含参的不等式恒成立问题，这类题通常的解法是：利用图象的性质将多变量转化为单变量，然后参变分离求最值. 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 3．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 复合函数及嵌套函数7大考点 考点预览 考点01 复合函数单调性与含参范围问题 1 考点02 复合函数的最值（值域）问题 3 考点03 复合函数奇偶性、图像特征及参数问题 4 考点04 复合函数相关不等式综合问题 5 考点05 内外自复合型的零点问题 6 考点06 内外双函数复合型的零点问题 7 考点07 二次复合函数的零点问题 8 考点通关 考点01 复合函数单调性与含参范围问题 四步标准流程：① 优先求总定义域，所有单调区间必须在定义域内； ② 拆分复合结构：，拆为外层、内层； ③ 分别分析内外层在定义域内的单调区间；④ 依据同增异减判定整体单调性。 含参单调问题 1.外层 / 内层含参时，对参数分类讨论，再结合单调性列不等式； 2.函数在区间上单调：保证内层值域落在外层某一个单调区间内； 3.函数在区间上不单调：内层极值点落入给定区间内部。 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当的定义域为时，解不等式． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·三模）(多选题)已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 3．（2026·陕西榆林·三模）(多选题)已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 4．（2026·重庆万州·模拟预测）(多选题)函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若，则函数在上单调递减 B． C．方程可能无解 D．若为奇函数，则 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 6．（2026·江苏·一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 考点02 复合函数的最值（值域）问题 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． 【典例2】（2026·山东威海·一模）已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 考点03 复合函数奇偶性、图像特征及参数问题 核心考法：①多层复合函数奇偶性判断（内偶则偶、两奇为奇规则应用）；②已知复合函数为奇 / 偶函数，逆向求解参数值；③结合奇偶性、单调性综合判断函数图像、对称中心 / 对称轴；四则运算型函数与复合函数结合的奇偶性综合题。解题通法： 基础前提：函数定义域必须关于原点对称，不对称则直接非奇非偶。 复合函数奇偶性核心规则设： 内层为偶函数一定是偶函数（内偶则偶）；内层为奇函数，外层为奇函数 为奇函数（两奇为奇）；内层奇、外层偶为偶函数。 【典例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【跟踪训练】1．（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D．. 3．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）(多选题)已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4．（2026高三下·全国·专题练习）(多选题)已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 6．（2026·河南濮阳·模拟预测）若偶函数在上单调递减，且对，，请写出满足条件的一个函数________. 考点04 复合函数相关不等式综合问题 抽象复合不等式解法已知单调： 增函数：；减函数：； 奇偶性简化技巧偶函数：，去掉绝对值、避免分类讨论； 奇函数：利用转化负自变量。恒成立 / 有解不等式转化为复合函数最值问题： 恒成立。 【典例4】（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________． 【跟踪训练】1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）(多选题)已知是奇函数，则不等式的解集是______. 5．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 考点05 内外自复合型的零点问题 1. 基础型、分段型函数f(f(x))零点个数计数； 2. 已知f(f(x))零点个数（2个/ 3个/多个），逆向求参数取值范围； 3. 结合函数值域、极值分析零点临界情况。 解题通法（换元拆分法，核心通用） 1. 令，则； 2. 第一步：解方程，求出所有根； 3. 第二步：分别解方程，统计每个方程实根个数； 4. 所有根的总数，即为的零点个数。 【典例5】（2025·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2025·安徽滁州·一模）已知函数则方程f(f(x))+3=0的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026高三·全国·专题练习）(多选题)已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 4．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是__________；函数的零点个数是__________. 考点06 内外双函数复合型的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【典例6】（25-26高三上·四川宜宾·阶段检测）(多选题)已知函数，，，则下列结论中正确的有（    ） A．当时有1个零点 B．当时有4个零点 C．当有6个不同零点时，实数m的取值范围为 D．当的零点个数最多时，实数m的取值范围为[ln3，ln4] 【跟踪训练】1．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 2．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则函数的零点个数为 个． 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 考点07 二次复合函数的零点问题 ①形如的复合方程实根个数统计；②因式分解后转化为两个简单嵌套方程，综合计数； ③给定方程解的个数，逆向求参数取值范围（压轴高频）；④结合分段函数、极值分析多重临界。 解题通法 1. 整体换元：令，原方程化为一元二次方程； 2. 解一元二次方程，得到根（含重根、不等根、无解三种情况）； 分类讨论： 1. 方程无解：原复合方程无零点； 2. 有一/两个实根：分别求解，统计根的总数； 3. 含参问题：结合值域、极值，分析与的交点个数，锁定参数。 【典例7】（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【跟踪训练】1．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数，关于的方程在上有四个不同的解，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $