重难点专训02 指、对、幂数比较大小问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦指对幂数比较大小，构建“基础方法-高阶技巧-分层训练”三阶体系，以天津高考高频题型为载体，系统提炼单调性法、构造函数等六大解题策略，逻辑递进且迁移性强。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|6种核心方法|涵盖单调性法（同底/同指/同真数）、作差作商法（结构相近式）、构造函数法（同构模型）、放缩法（临界区间）等，明确“先区间再单调性后构造放缩”解题顺序|从指对幂函数单调性基础，到中间值过渡，再到构造函数、放缩等高阶技巧，形成从易到难的逻辑链条| |题型通法及变式提升|4题型（各含2典例+2变式）|每种题型匹配专属解法，如单调性法解同形式数值，构造函数法解零散结构，放缩法解压轴题|题型与方法一一对应，典例精选天津模拟题，覆盖基础到压轴考法| |分层过关练|巩固10题+创新10题|分层设计适配一轮复习，巩固题强化通法，创新题融合函数性质与导数应用|从基础应用到综合创新，落实数学抽象、逻辑推理核心素养|

重难点专训02 指、对、幂数比较大小问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 利用函数的单调性比较大小 2 题型2 作差法、作商法比较大小 3 题型3 构造函数法比较大小 5 题型4 放缩法比较大小 7 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 指对幂比较大小是天津高考高频基础题型，核心有四种通用解题方法，适配各类选填考题。基础方法为单调性法，利用指数、对数、幂函数的固有单调性，结合定义域、底数范围，可直接判断同形式数值的大小关系，是最常用的基础解法。 作差、作商法适用于结构相近、无法用单调性直接判断的式子，作差判断正负、作商判断与 1 的大小，精准区分数值差距较小的指对幂数。构造函数法为重难点技巧，针对结构零散、无统一规律的式子，通过构造专属函数，利用导数判断单调性，解决复杂非常规比大小问题。 放缩法多用于压轴型题型，依托常用放缩公式，将数值放缩至 0、1 等临界区间，快速划分数值范围。解题需遵循 “先区间、再单调性、最后构造放缩” 的顺序，灵活搭配方法，高效解题。 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 题型通法及变式提升 题型1 利用函数的单调性比较大小 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 又函数在上单调递增，， 所以，所以. 利用函数单调性比大小是指对幂、抽象函数通用基础方法。做题先统一函数结构，化为同底指数、同真数对数或同指数幂函数；再判断底数、指数范围，确定单调增减。自变量不在同一单调区间时，借助奇偶、周期转化到同一区间，再比较自变量大小。遇到分段、抽象函数，先判定单调性，再去掉外层函数符号。优先划分 0、1 临界区间快速筛序，复杂题型搭配其他方法，规范转化自变量，避免直接凭图像主观判断出错。 【典例1-2】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， ， ，即， ． 【变式1-2】（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 题型2 作差法、作商法比较大小 【典例2-1】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 作差法核心：两式相减，整理因式分解，根据差的正负判断大小。适合多项式、对数混合型，能直观区分正负，常结合定义域、因式符号分析。作商法适用于正数比较，两式相除，判断商与 1 的大小，多用于指数、幂次结构，约分简化运算。解题前提注意符号：作差无正负限制；作商必须保证两数均正。两种方法常搭配使用，无法直接用单调性时优先选用，避开图像判断误区，步骤严谨，适合结构相近、难以统一底数指数的指对幂题型。 【典例2-2】（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 【变式2-1】（2026·山西临汾·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数在定义域内单调递减，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 又， ，， 所以，即，所以. 综上，. 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， ，所以， 又，，故，所以. 综上，. 故选：D. 题型3 构造函数法比较大小 【典例3-1】（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 构造函数是天津高考指对幂比大小的压轴常用方法，适合形式零散、无法统一底数指数的式子。观察代数式结构，提取相同部分构造单一函数，借助导数判定单调性，再对比自变量大小。常见模型(ln x/x)、(x.ln x)、(ax-x)等。做题先变形统一结构，再定义域求导判断增减，若自变量不在同一区间，结合奇偶、放缩转换。此法能解决常规单调性、作差作商难以处理的复杂数值，是突破难题的核心思路。 【典例3-2】（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为在上单调递减，所以，即， 在上单调递增，所以，即， ，因为在上单调递增，所以，所以， 所以 【变式3-1】（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 【变式3-2】（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 题型4 放缩法比较大小 【典例4-1】（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则， 即，综上可得， 故选：B. 放缩法是天津高考指对幂比大小压轴提速技巧，适用于无法用单调性、构造函数快速求解的非常规数值。核心思路是借助常用不等式，将复杂对数、指数式子向 0、1、2 等临界值靠拢。常用手段为对数放缩、指数放缩，通过放大或缩小原式，锁定数值所在区间，实现跨类型数快速比大小。做题遵循 “先定区间、再微调放缩幅度”，无需精确计算，可快速排除选项，是解决混型指对幂大小比较难题的最简方法。 【典例4-2】（2026·天津·二模）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则. 当时，有，所以， 所以，在上恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以，，即，所以. 令，则在时恒大于零，故为增函数， 所以，而，所以， 所以， 故选：C 【变式4-1】（2026·天津·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 设，则有，单调递减， 从而，所以，故，即， 而，故有． 故选：A． 【变式4-2】（2026·天津·一模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【答案】B 【详解】令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在 处取得极大值，极大值为. 所以，即， 所以，即，即. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以， 即，即，即，即. 综上所述，. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 2．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 3．（2026·天津宝坻·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以 4．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上为增函数，所以. 在上为增函数，所以. 当时，，，此时； 当时，，，此时； 又在上为减函数，在上为增函数， 所以方程的解应在之间，即. 综上， 5．（2026·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，底数，指数，因此 又因为且所以 再看利用换底公式， 由于所以从而 综上可得 因此 6．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 7．（2026·天津红桥·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，， 所以． 8．（2026·天津南开·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的单调性可知： ，即, 又,故. 9．（2026·天津·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 10．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 创新提升 1．（2026·天津和平·一模）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，而，则， 而，所以. 2．（2026·天津河东·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以. 3．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， 所以. 故选：B. 4．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 5．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以的大小关系为. 6．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 7．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且， 所以，， 因为，所以，，， 可得，所以， 即，所以. 8．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 9．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 10．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 指、对、幂数比较大小问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 利用函数的单调性比较大小 2 题型2 作差法、作商法比较大小 3 题型3 构造函数法比较大小 3 题型4 放缩法比较大小 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 指对幂比较大小是天津高考高频基础题型，核心有四种通用解题方法，适配各类选填考题。基础方法为单调性法，利用指数、对数、幂函数的固有单调性，结合定义域、底数范围，可直接判断同形式数值的大小关系，是最常用的基础解法。 作差、作商法适用于结构相近、无法用单调性直接判断的式子，作差判断正负、作商判断与 1 的大小，精准区分数值差距较小的指对幂数。构造函数法为重难点技巧，针对结构零散、无统一规律的式子，通过构造专属函数，利用导数判断单调性，解决复杂非常规比大小问题。 放缩法多用于压轴型题型，依托常用放缩公式，将数值放缩至 0、1 等临界区间，快速划分数值范围。解题需遵循 “先区间、再单调性、最后构造放缩” 的顺序，灵活搭配方法，高效解题。 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 题型通法及变式提升 题型1 利用函数的单调性比较大小 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 利用函数单调性比大小是指对幂、抽象函数通用基础方法。做题先统一函数结构，化为同底指数、同真数对数或同指数幂函数；再判断底数、指数范围，确定单调增减。自变量不在同一单调区间时，借助奇偶、周期转化到同一区间，再比较自变量大小。遇到分段、抽象函数，先判定单调性，再去掉外层函数符号。优先划分 0、1 临界区间快速筛序，复杂题型搭配其他方法，规范转化自变量，避免直接凭图像主观判断出错。 【典例1-2】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 作差法、作商法比较大小 【典例2-1】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 作差法核心：两式相减，整理因式分解，根据差的正负判断大小。适合多项式、对数混合型，能直观区分正负，常结合定义域、因式符号分析。作商法适用于正数比较，两式相除，判断商与 1 的大小，多用于指数、幂次结构，约分简化运算。解题前提注意符号：作差无正负限制；作商必须保证两数均正。两种方法常搭配使用，无法直接用单调性时优先选用，避开图像判断误区，步骤严谨，适合结构相近、难以统一底数指数的指对幂题型。 【典例2-2】（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山西临汾·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型3 构造函数法比较大小 【典例3-1】（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 构造函数是天津高考指对幂比大小的压轴常用方法，适合形式零散、无法统一底数指数的式子。观察代数式结构，提取相同部分构造单一函数，借助导数判定单调性，再对比自变量大小。常见模型(ln x/x)、(x.ln x)、(ax-x)等。做题先变形统一结构，再定义域求导判断增减，若自变量不在同一区间，结合奇偶、放缩转换。此法能解决常规单调性、作差作商难以处理的复杂数值，是突破难题的核心思路。 【典例3-2】（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型4 放缩法比较大小 【典例4-1】（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 放缩法是天津高考指对幂比大小压轴提速技巧，适用于无法用单调性、构造函数快速求解的非常规数值。核心思路是借助常用不等式，将复杂对数、指数式子向 0、1、2 等临界值靠拢。常用手段为对数放缩、指数放缩，通过放大或缩小原式，锁定数值所在区间，实现跨类型数快速比大小。做题遵循 “先定区间、再微调放缩幅度”，无需精确计算，可快速排除选项，是解决混型指对幂大小比较难题的最简方法。 【典例4-2】（2026·天津·二模）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·天津·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·天津·一模）已知实数，，则a，b，c的大小关系为（   ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津宝坻·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津红桥·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津南开·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 创新提升 1．（2026·天津和平·一模）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河东·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津西青·三模）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $