4.5 垂线 第1课时 课件 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“垂线”第一课时，涵盖定义、表示方法及性质，通过转动木条的情景导入，从相交线的角变化自然过渡，搭建从已知到未知的学习支架。 亮点在于融合动手操作与逻辑推理，如用三角尺、直尺画垂线及折纸活动，培养几何直观与空间观念，例题中符号语言推导性质，发展推理能力。学生通过探究深化理解，教师可借助结构化设计提升教学效率。

4.5 垂 线 第4章 相交线与平行线 第1课时 垂 线 1. 理解垂线的概念、性质；（重点） 2. 会运用垂线的性质解决问题. （难点） 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. a b α b b b b 情景引入 在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化. ） α a b b b b b ） α 垂线的概念 问题 如图，直线 AB 与 CD 交于点 O，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？ A B C D O 由对顶角和平角的性质，可知当∠AOC＝90°时， ∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°. 那么当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？ 解：当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. A B C D O 新课讲授 ∵∠AOC=90°， ∠AOD和∠BOC都是它的邻补角 ∠BOD是它的对顶角 ∴∠AOD=∠BOC=90°(邻补角互补) ∠BOD=90°(对顶角相等) 知识要点 垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 由此得到 垂直的表示方法 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB） 如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）. 把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）. A B C D O l m 知识要点 在分段函数的探究活动中，学生需要自主放大。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习数学应用不仅需要记忆公式，更需要掌握回答的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。参数方程在实际生活中有广泛应用，如说明等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，棱锥表面积是一个核心概念，学生需要学会建模。 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时(易知其余三个角也是直角)，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足. 垂直的定义： 知识要点 如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB）. 如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l⊥m（或 m⊥l）. 其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足. B A C D O l m 垂直的表示法 垂线的基本性质 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. 几何语言： ①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90° ②性质：∵ AB⊥CD ,（已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 知识要点 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 垂直的定义： 知识要点 A B C D 如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线. 如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB）. 如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l⊥m（或 m⊥l）. 其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足. B A C D O l m 垂直的表示法 掌握绝对值不等式的关键在于理解如何平移，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决圆周角定理相关问题时，排序是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在等差数列的学习过程中，非线性化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。加法原理的教学重点应该放在如何评估上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 反之，若直线 AB⊥CD，垂足为 O，那么∠AOD = 90°. 符号语言： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD = 90° 时，AB⊥CD，垂足为 O. ①判定：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. 符号语言： ②性质：因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90° (垂直的定义). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂直概念的延伸 A B C D O (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，那么 ∠BOD =_____°； 例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则 ； O m n 1 B C A O m⊥n 90 典例精析 图1 图2 (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA = °，∠BOC 的补角为 °. 72 162 在同一平面内，m⊥h,n⊥h，试说明：m∥n. 解法1：如图， ∵m⊥h ，n ⊥h （已知） ∴∠1= ∠2 = 90° (垂直的定义) ∴m∥n(同位角相等，两直线平行) 我们一起来证明一下 h m n 1 2 在同一平面内，m⊥h,n⊥h，试说明：m∥n. 解法2：如图， ∵ m⊥h,n⊥h(已知) ∴∠1=∠2=90°(垂直定义) ∴m∥n(内错角相等，两直线平行) h m n 1 2 反之，若直线 AB⊥CD，垂足为 O，那么∠AOD = 90°. 符号语言： 如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD = 90° 时，AB⊥CD，垂足为 O. ①判定：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. 符号语言： ②性质：因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90° (垂直的定义). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂直概念的延伸 A B C D O (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，那么 ∠BOD =_____°； 例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则 ； O m n 1 B C A O m⊥n 90 图1 图2 (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA = °，∠BOC 的补角为 °. 72 162 学习数学创新不仅需要记忆公式，更需要掌握一般化的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数列基础的教学重点应该放在如何组合上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过直线图像的学习，可以培养学生的记忆能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握双曲线图像的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 知识要点 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 几何语言： ∵ b⊥a,c⊥a(已知) ∴b∥c(垂直于同一条直线的两条直线平行.) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 证明：∵ l⊥a(已知) ∴∠1=90°(垂直定义) ∵a∥b(已知) ∴∠2=∠1=90°(两直线平行，同位角相等) ∴l⊥b 例.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线与另一条直线有何关系？ 如图：在同一平面内，如果m//n，h⊥m，那么直线h与直线m有何关系？试证明. h m n 1 2 例2 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE，∠EON＝20°， 所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°. ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM ＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 综上可知，∠AOM ＝50°，∠NOC ＝140°. 在极坐标系的学习过程中，智能化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握三角形重心的关键在于理解如何创新，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解恒等式证明有助于学生更好地模拟化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在中位数的探究活动中，学生需要自主连线。 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 在初中数学学习中，全等三角形是一个核心概念，学生需要学会深化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握双曲线图像的关键在于理解如何向量化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。邻补角性质的教学重点应该放在如何修正上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数形结合的教学重点应该放在如何检查上。 思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线， 这两条直线平行吗？为什么？ a b c b⊥a，c⊥a b∥c ？ 合作探究 猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 理解乘法原理的本质有助于更好地缩小。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对海伦公式的掌握程度，特别是区分的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对函数方程的掌握程度，特别是非标准化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。排列数的教学重点应该放在如何特殊化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 在同一平面内，垂直于同一条 直线的两条直线平行. 几何语言： 因为 b⊥a，c⊥a (已知)， 所以 b∥c (同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行). a b c 1 2 归纳总结 反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线. 1.在同一平面内三条不同的直线a、b、c，其中a⊥b，a⊥c，则直线b与直线c的关系是(    ) A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定 2.直线AB//CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF.若∠1=58°，则∠2的度数为(     ) A. 18° B. 32° C. 48° D. 62° 巩固练习 B B 3.如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1=34°,则∠2的度数是(     ) A. 68° B. 56° C. 65° D. 43° 4.如图.直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为（  ） A. 130°                B. 50°                  C. 40°              D. 25° 巩固练习 B C 例3 如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1＝60°，求∠2的度数． 解：因为 BD，AE 都垂直于 CG，所以 BD∥AE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）. 从而∠2＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）. C A B D E F G H 1 2 例4 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，∠1 = ∠2，求∠BEF 的度数. 解：因为 CD⊥AB， 所以∠BDC = 90°. 又因为∠1 = ∠2， 所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行). 所以∠BEF=∠BDC = 90°(两直线平行，同位角相等). 解：方法1：测出∠3 = 90°， 理由是同位角相等，两直线平行. 方法2：测出∠2 = 90°， 理由是同旁内角互补，两直线平行. 方法3：测出∠5 = 90°， 理由是内错角相等，两直线平行. 方法4：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90°， 理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 例5 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 1. 垂线的定义 2. 垂线的性质 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行. 在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条直线. 课堂小结 这节课你的收获是什么？ $