26.2025年全国中考真题重组山东模式卷(四)-【正大中考】2025年山东省中考数学试题汇编

.AC2=AD·BC 【方法应用】①证明：△ADE由△ABC旋转得到， .∴.AB=AD. 令∠B=,则∠ADB=a, ∴.∠BAD=180°-2a. 由旋转，得DE=BC,AE=AC,∠ADE=∠B=a 又.AC=BC,.EA=ED .·.∠DAE=∠ADE=a, .∴.∠E=180°-2a,.∴.∠E=∠BAD, .四边形ABDE为双等四边形.……7分 ②解：存在.作AH⊥BC于点H,如图1. 则cosB=明. 3 AB'cos B=3 5AB=5, ∴.BH=3,∴.AH=4. 设CH=x,则AC=BC=x+3. 在Rt△AHC中，：C+A=AC2, 7 即x2+42=(x+3)2,解得x= 6 CH=7 BC=AC=2 25 61 第一种情况：当∠ACB=∠D=∠CAD,CA=CD时，CD= AC-25 第二种情况：当LACB=∠D=∠ACD,AD=AC时， D=4C=名 作AM⊥CD于点M,如图2， .∴.CM=DM, 7 AC=cosLACM=cos LACB= CM 67 525 H C 6 图2 7257 ∴.CM 251C=25×66, 7 CD=2CM=3 第三种情况：当LD=∠ACB,DA=DC时，如图3， ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ABC, .∴.△DAC∽△CAB. 25 CD AC CD 6 125 H C BCAB心25=5CD= 36 图3 6 或7或25 25 综上所述，满足条件时，CD= …11分 6 3 36 26.2025年全国中考真题重组山东模式卷（四） 苔案速查 题号 1 2 3 4 5678910 答案DDB C 2025 11.x≠-312.-313.(-1.5,5)14.√1315. W5-1 全解全析 1.D【解析】A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意. B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意 C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意」 D.是中心对称图形，故本选项符合题意.故选D. 2.D【解析】观察数轴，可知-2<a<-1,0<b<1,lal>1bl, a+b<0,a-b<0,故选项D正确.故选D. 3.B【解析】40317000=4.0317×10.故选B. 4.D【解析】m+m=2m,(mn2)=m3n,m3·m2=m3,m8÷ m2=m,∴.选项D正确.故选D. 5.A【解析】如图所示，组成该几何体所需小正方体的个数最 少是1+1+1+2+2=7.故选A. 22 6.A【解析】质地均匀的正方体共6个面，向上一面出现数 1 1 字1的概率为2，出现数宇2的概率为3， .数字1有3个，数字2有2个，则数字3只有1个， 选项A中数字3有2个，符合题意.故选A 7.A【解析】设快马用x天追上慢马，则快马的总路程为 240x里，慢马的总路程为150(x+12)里.根据题意，得240x= 150(x+12).故选A. 8.A【解析】根据题意，可得AP平分∠BAD,即∠BAG=∠DAG ,'AD∥BC,∴.∠DAG=∠BGA, ∴.∠BAG=∠BGA,∴.BA=BG=6. .'BC=10,∴.CG=BC-BG=4.故选A 9.D【解析】如图，过点A作MW∥x轴，交y轴于点N,过点B 作BM⊥MN,垂足为点M,则∠M=∠ANO=90°， ∴.∠MBA+∠MAB=90°. .∠A0B=∠AB0=45°， ∴.AB=A0,∠BA0=90°， △AOB是等腰直角三角形，∠MAB+ M,- ∠NA0=90°， 0 .∴.∠MBA=∠NAO 在△BMA和△ANO中， I∠MBA=∠NAO, ∠BMA=∠ANO,∴.△BMA≌△ANO(AAS), AB=AO, .AN=BM.ON=AM. :,点A的横坐标为-1，.A(-1,-k), ∴.AN=BM=1,ON=AM=-k,∴.B(-1+k,-k-1). 点A,B在反比例函数的图象上， .k=(-1+k)(-1-k)=1-k2,整理，得2+k-1=0, 条释=：生合减：5故选以 10.C【解析】根据图象可知，抛物线的开口向下，交y轴于正 半轴，∴.a<0,c>0. 又：抛物线的对称轴在y轴右侧，=2a>0, .b>0,∴abc<0,故结论①正确. 2 由函数的图象，可得当x=-2时，y<0,即4a-2b+c<0, .4a+c<2b,故结论②错误. 二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A,B两点， 点A(-1,0),点B(n,0), 关于x的方程ar2+bx+c=0的解是x=-1,=n,2 )”,故结论③④正确.综上，结论正确的有3个.故选C 11.x≠-3【解析】由题意，得x+3≠0，解得x≠-3. 解法指导 (1)当函数解析式是整式时，自变量取全体实数 (2)当函数解析式的分母中含有自变量时，自变量的取值 要使分母不为零」 (3)当函数解析式是二次根式时，自变量的取值必须使被 开方式不小于零 12.-3【解析】：x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0 的两个实数根，x1+x2=-2. x1=1,x2=-3. 13.（-1.5,5)【解析】如图，设正方形ABCD的边长为a,CD 与y轴相交于G, 则四边形BOGC是矩形， ∴.OG=BC=a,CG=B0,∠EGF=90° 由折叠的性质，得AD=AF=a,DE=FE. 点B的坐标为(1,0)，点F的坐标为 (0,3), A ∴.B0=1,F0=3, ∴.A0=AB-B0=a-1. 在Rt△AOF中，：A02+F02=AF2, .(a-1)2+32=a2,解得a=5, .FG=0G-OF=2,GE=CD-CG-DE=4-DE 在Rt△EGF中，.·GE2+FG2=EF2, .(4-DE)2+22=DE2, 解得DE=2.5,∴.GE=1.5, .点E的坐标为(-1.5,5) 14.√13【解析】.四边形DAEF为平行四边形， ∴.EF=AD,DF=AE :E为线段AC上的动点， ∴.可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平 运动， 如图，则，点B的运动轨迹为线段MN,作点E关于线段MN 的对称点E, 由对称性，得BE=BE', ...GD ∴.BE+BF=BE'+BF≤E'F, 当且仅当E,B,F依次共线时，BE+ BF取得最小值EF,此时如图，设N AC与BD交于点O,EE交MN于点 H,延长EE交FD延长线于，点G :在菱形ABCD中，AC=4,BD=2, A0=4C=2,0=0=80=1,AC1D 易得AC∥MN, 由对称性，可得EH⊥HB,EH=HE,∴.AC⊥GH, .∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°， ∴.四边形EOBH是矩形，∴EH=OB=1. .·四边形DAEF为平行四边形， .DF=AE,DF∥AC,.∴.GD⊥D0 .∠GD0=∠D0E=∠GE0=90°， .四边形D0EG是矩形，.GD=E0,GE=D0=1, ...GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE'=GE+EH+E'H=3, .E'F=√CF2+GE2=√22+32=√13， 即BE+BF的最小值为√I3. 15.5-1 2025 2 【解析】：在△ABC中，AC=BC,CD⊥AB于点 D,AB=DC=2, .AD=BD=1,∠ACD=∠BCD,∴.AC=BC=√12+22=√5. 以点B为圆心，DB的长为半径画孤，交BC于点E1, .BE1=BD=1,.CE1=BC-BE1=5-1. 以点C为圆心，CE1的长为半径画孤，交CD于点D1, .CD=CE1=5-1. 过点D1作DF,⊥DC交AC于点F1, .ADDF,.△CDF△CDA, 、c00,g_cB5-1DE_CR CD AD AC' 2151 n5,c55 以点F为圆心，FD,的长为半径画孤，交AC于点F2, R=-P6-5c-m-R=5 :以CF2的长为半径画孤，交DC于点D2, .CD2=CF2=3-5. 过点D2作D2E2⊥DC交BC于点E2, ∴.∠CD1F1=LCD2E2=90° ∠F,CD1=∠D2CE2, .△CD2E2n△CD1F1, 02等%- ’5-15-1 2 同理可得n(n&-(5, 0@长5 16.解：(1)原式=9-22+22-2=7.…4分 (2)原式=a2-1+a+1.(a-3)2 a+1 a-3 =2+0.(a-3)2=a(a+1),(a-3)2 a+1a-3a+1a-3 =a(a-3)=a2-3a.…6分 当a=2时，原式=22-3×2=4-6=-2.…8分 17.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=BC. .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, .BE=BF.…3分 3 ∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS), .AF=CE。…8分 18.解：(1)：在平面直角坐标系x0y中，函数y=x+b(k≠0)的 图象经过点(1,3)和(2,5)， (k+b=3,獬得 =2, 2k+b=5, …4分 b=1. (2)2≤m≤3…8分 [提示]由(1)可得函数y=x+b(k≠0)的解析式为y=2x+1, 函数y=x+k的解析式为y=x+2. 当mx<2x+1时，则(m-2)x<1, 当mx<x+2时，则(m-1)x<2. :当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既 小于函数y=kx+b的值，也小于函数y=x+k的值， ∴.m-2≥0，且m-1≥0，∴.m≥2 当m=2,x<1时，2x<2x+1和x<2恒成立，故m=2符合 题意； 2 当m>2时，则x< ,且xKm m-2 m-1 当1 ≥2时，则2≥1 -2产m- m-1 第不等式之品03 解不等式2 ≥1，得m≤3，∴.2<m≤3 m-1 当1<2时，则1≥1， m-2m-1 m-2 第不等式科a, 解不等式之1，得m≤3，此时不符合题金 综上所述，2≤m≤3. 19.解：(1)402543……4分 [提示]a=5+6+10+14+5=40. 3小时人数所占的百分比为 ×100%=25%,∴.m%=25%. 40 .∴.m=25. 在该组数据中4出现的次数最多，∴众数为4. :中位数为从小到大排序后的第20位和21位数据的平均 数，第20位，第21位数据分别为3,3， 中位数为343=3. 2 +5×5=3.2, 40 40 40 40 这组数据的平均数是3.2.…7分 (3)在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h 的学生占35%， .根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿 服务的时间是4h的学生约占35%，有1000×35%=350， .估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数为 350.…10分 20.解：(1)0在线段AB上CD=BD…2分 [提示]∠ACB是直角，∴AB为直径 O为圆心，O在线段AB上 D为BC的中点，.CD=BD,.CD=BD. (2)补图如图1，△DEF为等腰三角 形.…4分 理由如下：连接0D,如图1. DE为⊙O的切线交AB的延长线 于点E, ∴.∠0DE=90°， 图1 ∴.∠AD0+∠EDF=90 OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, ∴.∠DAO+∠EDF=90. .AE⊥EF,∴.∠F+∠DAO=90°， .∠F=LEDF,.ED=EF, .△DEF是等腰三角形.…6分 (3)如图2，过点D作DH⊥AB于点H. ⊙0的半径为3，DE=4, ∠0DE=90°， .0E=√32+4=5. 1 So0=2 0DxDE=2 DHxOE, 2 图2 1 .。×3×4=7×5xDH ∴.DH= 5..OH=0D-DF-9 12 96 ∴.BH=3- 5=5, ·BD=VBH+Dm_6,5 ， CD=BD=6/5 …10分 51 21.解：(1)①039 …4分 [提示]①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此 时∠CMN有最小值0°； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM= 6°，此时∠CMN有最大值. .·∠CNWM=6°，∠BCD=135°， .∠CMN=180°-6°-135°=39°，即∠CMN有最大值为39. ②C…6分 [提示]由题意，可得MN=60cm,BM=CN. 如图，过点N作NG⊥BC交BC延长线于点G. ∠BCD=135°，.∠DCG=45°. 设BM=CN=xcm,则MC=BC-BM= E (60-x)cm, ON/ 2 2*cm, A< PD saaw=ZMc·G= 1 2(60-x). B MC G √2 4<0, .当x=30时，S△cww取最大值225√2；当x<30时，S△cMv随 以 x的增大而增大；当x>30时，SACMN随x的增大而减小 .△CMN面积的变化情况是先增大后减小故选C. (2)如图，当∠CMN=30r时，NG=MN=30em, .MG=√MW2-WG=303cm. ∠NCG=45°，.CG=NG=30cm, .MC=MG-CG=(303-30)cm, Smw=2CM·NG=2(30w5-30）×30=(4505- 450）Cm2.…9分 22.解：(1)18x0=-x2+42x+100…4分 [提示]若开设3条安检通道，安检时间为x分钟， 则已人场人数为18x,若排队人数为0， 则0与x的函数表达式为w=y-18x=-x2+42x+100, (2)0=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,-1<0, .当x=21时，wmm=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541. 7分 (3)可开设7条安检通道.…8分 理由如下：设可开设m条安检通道， 则0=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100, .对称轴为直线x=3(10-m). .·排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ÷0≤3(10-m）)≤10，即20 ≤m≤10. 20 又：最多可开放9条安检通道，“3≤m≤9， m为正整数，.m的最小值为7， .最少可开设7条安检通道.…11分 23.解：(1)相等（或CD'=BD)相等（或LAD'C=∠ADB)… …4分 [提示]：将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD', ∴∠DAD'=90°，AD=AD' .∠BAC=90° ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠D'AC. 又.AB=AC, .△DAB≌△D'AC(SAS), ..CD'=BD,∠AD'C=∠ADB (2)证明：.四边形ABCD是正方形， .∴.∠DCB=90°，BC=DC. .:CE绕点C逆时针旋转90°得到CE', .∴.∠ECE'=90°，CE=CE'. .·∠DCB=∠ECE=90°， ∴.∠DCB-LBCE=LECE'-LBCE,即LDCE=LBCE', ∴.△BCE'≌△DCE(SAS),∴.∠BE'C=∠DEC=90°. ∠CED+∠CEF=180°，∴.∠CEF=90°， ∴.∠BEC=∠ECE'=∠CEF=90°. .四边形CEFE是矩形. 又，CE=CE,.四边形CEFE是正方形. …7分 (3)3v28 …9分 55 [提示]：CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', .∠ECE'=90°，CE=CE. .CC=4.CG 4 CEF3心CE3 .·四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4 ∴.∠BCD=∠ABC=90°，CD=AB=3,AD=BC=4, BC 4 CG BC 4 CD-3CE-CD3 ∠DCB=∠ECE=90°， ∴.LDCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE,即∠DCE=∠BCE', ∴.△BCG∽△DCE,∴.∠BGC=∠DEC=90, .·∠CED+∠CEF=180°，∴.∠CEF=90°， .∴.∠BGC=∠ECG=∠CEF=90° .四边形CEFG是矩形，.∠GFE=90°， 如图1，连接AC,BD交于点O,连接OF, A D FC,则AC=BD,O是AC,BD的中点， 3在m△Dr中，0F=号60， .OF=AC=0A=0C=0D=0B, E .A,F,B,C,D共圆， 图1 ∴.∠AFC=∠ABC=90°. AD=BC=4,..AD=BC,..LGFC=LACD 在Rt△ADC中，AD=4,DC=3,.AC=√AD2+DC=5, ios∠ACD=CD3 3 -AC=5cosLCFC=5 在Rt△AFC中，：AF=2,.FC=√AC2-AF2=√2I, FG=FCcOsL CFG=32T 5 BC=BC,.∠BFC=∠BAC 又：LABC=∠G=90°，∠ACB=∠FCG, .LACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB,即∠ACF=∠BCG, sin LACF=AF_ AC=sin∠BCG=B C 2 BG 8 =4BG= 5BF=FG-BG-32T 8 551 (9 …11分 [提示]如图2，连接AC,BD交于点 0,连接0E. 四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°，AC=BD=2A0=2OB .·AD=3W2,AB=√6， E .AC=BD=√AB2+AD2=26, 图2 ∴.A0=OB=AB=6, .△AOB是等边三角形，则∠0AB=∠AOB=60° 线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE', .AE=AE,∠EAE=60°，.∠OAB=∠EAE=60°， ∴.∠OAB-∠OAE=∠EAE'-∠OAE,即∠E'AO=∠EAB. 又OA=BA,EA=EA, .△E'AO≌△EAB(SAS),.∠AOE'=∠ABE=90°， .∴.E在OE'上运动，且E0⊥AC, .当DE⊥OE时，DE取得最小值. ∠A0B=60°，.∠A0D=120°. 又∠A0E=90°，∴.∠E'0D=30°， 当DE10E时，DE=00=0-5 226.2025年全国中考真题重组山东模式卷（四） 数学试题 (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求。 1.(2025·山西)科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创 新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是 ) B C D 2.(2025·北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 -2a-1 0612 A.a>-1 B.a+b=0 C.a-b>0 D.lal>1bl 3.(2025·苏州)据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其 中，出口40317000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%.数据40317000用科学记数法可表示为 () A.0.40317×108 B.4.0317×10 C.40.317×106 D.40317×103 4.(2025·凉山州)下列运算正确的是 A.m+m=m2 B.(mn2)5=m3n7 C.m3·m2=m D.m8÷m2=m6 5.(2025·龙东)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示， 那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 () 主视图 俯视图 A.7 B.8 C.6 D.5 6.(2025·河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字)，若向上 面出现数字1的概率为。，出现数字2的概率为。，则该木块不可能是 () 3 B C D 7.（2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽 马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里， 跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则 可以列出的方程为 () A.240x=150(x+12)B.240x=150(x-12)C.150x=240(x+12)D.150x=240(x-12) 山东中考试题汇编·数学26-1 8.（2025·眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列步骤作图：①以点A为圆心， 适当长度为半径画弧，分别交AB,AD于E,F两点：②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径 画弧，两弧相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长为 () A.4 B.5 C.6 D.8 B B -1/01 G 0八龙 第8题图 第9题图 第10题图 9.(202·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线)=（k≠0)上，且点A在点B的 右侧，点A的横坐标为-1，∠AOB=∠AB0=45°，则k的值为 () A.√2 B C.5-1 2 D.5+1 2 10.（2025·广安)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象交x轴于A,B两点，点A的 坐标是(-1,0)，点B的坐标是(n,0),有下列结论：①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+ c=0的解是x二1，x,=n:④-2%=2·其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 1山.(2025·龙东)在函数y=1中，自变量x的取值范围是 x+3 12.(2025·苏州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1,则x2= 13.(2025·内江)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)， 点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3)，则点E的坐标为 D A 第13题图 第14题图 第15题图 14.（2025·连云港)如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平 行四边形，则BE+BF的最小值为 15.(2025·自贡)如图，在△ABC中，AC=BC,CD⊥AB于点D,AB=DC=2.以点B为圆心，DB的长为 半径画弧，交BC于点E,以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1,过点D1作DF1⊥ DC,交AC于点F;再以点F,为圆心，F,D1的长为半径画弧，交AC于点F2,以CF2的长为半径画 弧，交DC于点D2,过点D2作D2E2⊥DC,交BC于点E2;又以点E2为圆心…重复以上操作，则 D22sF225的长为 山东中考试题汇编·数学26-2 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(8分)(2025·德阳)(1)计算：（付-8+12-221. (2)先化简，再求值： a-1 《a+1+1×2二oa+y,其中a=2. 17.(8分)(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证： AF=CE. 18.（8分)(2025·北京)在平面直角坐标系x0y中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5). (1)求k,b的值 (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=x+b的值，也小于函数 y=x+k的值，直接写出m的取值范围. 山东中考试题汇编·数学26-3 19.（10分)(2025·天津)为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h),随机调查了该校a名 学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2. 5h12.5%1h12.5% 人数 2h 4h 15% 35% 3h m%o 3 4 图1 5时间/h 图2 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为 ,图1中m的值为 ,统计的这组学生每月参加志愿服务的时 间数据的众数和中位数分别为 和 (2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数 (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人 数约为多少？ 20.(10分)(2025·贵州)如图，在⊙0中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙0的切线交AB的 延长线于点E.连接CD,BD. (1)点0与AB的位置关系是 线段CD与线段BD的数量关系是 (2)过E点作EF⊥AE,与AD的延长线交于点F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明 理由. (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长 山东中考试题汇编·数学26-4 21.(9分)(2025·江西)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙， AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB=BC=CD=60cm,∠ABC=∠BCD=135°， MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M,N分别在BC,CD对应的轨道上滑动.当点N与点 C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 ∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 度，最大值为 度 ②△CMW面积的变化情况是 A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMW=30°时，求△CMN的面积 E M 图 图2 22.（11分)(2025·深圳)综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演 黑点表示观众 出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系 gg安检口a069g 0 【研究条件】 e 舞 多安检口08092 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场 安检口0 总人数-已入场人数； 通道未开放 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟 可安检6人 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足 关系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 ,排队人数w与安检时间x 的函数关系式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 山东中考试题汇编·数学26-5 (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支， 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检 流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性 23.（11分)(2025·齐齐哈尔)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运 用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”. (1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD',连接BD,CD',则CD'与BD的数量关系是 ∠AD'C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋 转90°得到线段CE',连接E'B,延长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形CEFE是正方形 (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE 绕点C逆时针旋转90得到线段C,延长cR至点G,使S子，连接GA,延长GB交D呱的延长 线于点F,连接AF,若AF=2,则BF= (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转 60°得到线段AE',连接DE',若AD=3√2，AB=√6，则DE的最小值为 图1 图2 图3 备用图 山东中考试题汇编·数学26-6