5.烟台市2025年初中学业水平考试数学试题-【正大中考】2025年山东省中考数学试题汇编

5.烟台市2025年初中学业水平考试 数学试题 (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答 案，其中有且只有一个是正确的) 1.1-31的倒数是 A.3 B C.-3 D.、1 3 2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆 祝.下列航天图案是中心对称图形的是 D 3.下列计算正确的是 A.2x2+x3=3x5 B.2x2·x3=2x5 C.2x3÷(-x2)=2x D.（2x2)3=2x6 4.如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是 公 D D 从正面看 第4题图 第5题图 5.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD,∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为 A.40° B.35° C.30° D.209 6.求一组数据方差的算式为：s2=】×[(6-x)2+(8-x)2+(8-x)2+(6-x)2+(7-x)2].由算式提供的信 息，下列说法错误的是 () A.n的值是5 B.该组数据的平均数是7 C.该组数据的众数是6 D.若该组数据加入两个数7,7，则这组新数据的方差变小 7.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则 每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为 () A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 8.如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3,反比例函数y=一(x>0)的图象过点C和菱形的 对称中心M,则k的值为 () A.4 B.42 C.2 D.22 山东中考试题汇编·数学5-1 -2F10 x=1 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的 坐标为(1，n).下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c;④若该二次 函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形，则=3其中所有正确结论的序号 是 A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出发，沿AB方向向点B运 动，连接CE,点F在BC上，且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y,若y关于x的函数图象过点(0,2- √2)，则该图象上最低点的坐标为 c.(2,3-2 0. ,3-2w2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”.国家林草局公布的最新 数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上.将数据56350000用科学记数法表示为 12.实数3√2的整数部分为 13.因式分解：2x2-12xy+18y2= 14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点0，以点0为圆心，以AB长为半径作圆心角为120° 的扇形，则图中阴影部分的面积为 120 3 0 2 1 B 0123456x B 第14题图 第15题图 第16题图 3 15.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为6,2△ABC的顶点A的坐标为(4,3).以点P为位似 中心作△A,B,C,与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作 △A2B2C2与△AB,C1位似，相似比为2，且与△AB,C,位于点P同侧…按照以上规律作图，点 A3的坐标为 16.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm.点M从点A出发，沿AC方向以1c/s的速度向 点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以W3c/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点 随之停止运动，连接AN,DM交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为 cm. 山东中考试题汇编·数学5-2 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：2+m+4):,m,其中m=(-1)2s m-23m-61 18.(本题满分7分) 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略 殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学 发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9,8,8,9,9,9,7,9,6,9,9,10,8,8,9,9,10,10 ②乙社团的平均成绩为6x8+7X12+8×6+9x10+10x4=7.75(分). 8+12+6+10+4 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数/人 口甲社团 14 12 口乙社团 9 10成绩分 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整. (2)成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前.（填“甲”或“乙”) (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展 史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率. 山东中考试题汇编·数学5-3 19.(本题满分7分) 如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称.（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长 20.（本题满分8分) 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳 能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共 需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价. (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过 计算设计一种购买方案，使所需费用最少 21.(本题满分9分) 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海 上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动： 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信息 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范 山东中考试题汇编·数学5-4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离， (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.（参考数据：si37°≈ 0.60,c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25) 北 一烟台山灯塔 22.(本题满分10分) 如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上，且BD=AB,连接AD. (1)求证：AD是⊙0的切线. (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长及⊙0的半径 23.(本题满分11分) 【问题呈现】 如图1，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA,A2+∠PA3A2=180°，探究PA1,PA2,PA3三条 线段的数量关系 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造△QA3A2与△PAA2全等，从而得出PA1+PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MA1A2与△NAA2全等，从而得出PA1+PA,与PA2的数量关系. -0 图1 图2 图3 山东中考试题汇编·数学5-5 (1)请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA,的数量关系 【类比探究】 (2)如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，PA1=11,PA3= 49,求PA2的长度.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cos54°≈0.59， c0s72°≈0.31) A P 图4 【拓展延伸】 A4 (3)如图5，若P是正十边形AA2A1。外一点，且满足∠PAA2+∠PA3A2=180°，则 A PA1,PA2,PA3三条线段的数量关系为 ·(结果用含有锐角三角函数的式子 A 表示) A1 P A10 图5 24.（本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,OA=2,OB= 6,D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F,连接CD. (1)求抛物线的表达式. (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度 ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存 在，请说明理由. (3)连接OE,将线段OE绕点0按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG 长度的最小值 备用图 山东中考试题汇编·数学5-6(2)解：延长GC交DE于点M,如图1. 在Rt△BAF中，根据勾股定理，得AB2=H BF2-AF2,…5分 ..AB2=(BF+AF)(BF-AF). .BF=FH,FA=FD, .BF+AF=FH+FD=HD,BF-AF=FH-AF= AH=HG,…6分 .AB2=HD·HG, 图1 ∴.S正方形AB5D=S矩形HGMD, ∴.S矩形CBEM=S正方形AHGC, …7分 .CB·BE=AC2,即CB·AB=AC2, BC AC ·ACAB 8分 (3)证明：半径0A=2,.0N=1,AN=√5， 过点K作KG⊥AN于点G, ·NK平分∠ONA,.OK=KG, .Rt△NOK≌Rt△NGK(HL), .N0=NG,.AG=5-1. 在Rt△KGA中，KG2+AG2=KA2, 设0K=x,则x2+(5-1)2=(2-x)2, 解得x5-1 2 …9分 ·0K=3-5 2 如图2，连接OB 在Rt△BK0中，BK2=OB2-OK, ·B=5+5 2 …10分 在Rt△BKA中，AB2=BK+AK2, .AB2=10-25, 图2 根据垂径定理，得BE=2BK, .BE2=4BK2=10+2√5. …11分 .p2 2·BE2=3- -×(10+2W5)=10-2W5,…12分 2 .AB2=p2·BE2 13分 5.烟台市2025年初中学业水平考试 答案速查 题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 答案 B D B D 115.635x10212.413.2(x-3y）214.16m-83 3 1s(10,) 1623m 3 全解全析 1B【解析】小：-31=3,3的倒数是 3 -3的每数是写故选B 2.D【解析】A.不是中心对称图形，不符合题意，选项错误. B.不是中心对称图形，不符合题意，选项错误 C.不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， D.是中心对称图形，符合题意，选项正确.故选D 3.B【解析】选项A:2x2+x3,合并同类项需满足相同底数和次 数，但x2与x3底数相同，次数不同，无法合并，结果应为2x2+ x3,故A错误. 选项B:2x2·x3,单项式乘法中，系数相乘(2×1=2)，变量部 分指数相加(x2*3=x),结果为2x5,故B正确. 选项C:2x3÷(-x2),单项式除法中，系数相除(2÷(-1)=-2)， 变量部分指数相减(x3-2=x),结果为-2x,但选项写为2x,符 号错误，故C错误」 选项D:(2x2)3,幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为 2=8,变量为x2x3=x6,结果应为8x,但选项写为2x,系数错 误，故D错误.故选B. 4.C【解析】如题图是社团小组运用3D打印技术制作的模型， 它的左视图是 故选C. 易错警示 (1)分不清主视图、左视图与俯视图的区别. (2)忽略看得见的线画实线，看不见的线画虚线。 5.A【解析】AB∥CD,∠1=30°，.∠A=∠1=30° ∠2=70°，∠2=∠3+∠A,.∠3=70°-30°=40°.故选A. 解法指导 平行线中的拐点问题 (1)四个基本模型（图中a仍） 2 3 1 30 b 1 ∠1+∠2+∠3=360° ∠3=∠1+∠2 52 -a 人2 b 2 b ∠2=∠1+∠3 ∠1=∠2+∠3 (2)处理策略 过拐点添加辅助线，运用平行公理推论来解答，亦可构造 三角形，运用内角和等量代换来解答 6.C【解析】A.算式中平方差项数为5，对应数据个数n=5,原 说法正确. B.平均数=6+8+8+6+7 =7，原说法正确. 5 C.数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，原 说法错误 D加入两个7后，载据更集中，方是由号08减小为号 0.571,原说法正确.故选C. 7.A【解析】设这款风扇每台的标价为x元 由题意，得0.6x+10=0.9x-95,解得x=350, .这款风扇每台的标价为350元.故选A 8.D【解析】菱形OABC的顶，点A在x轴正半轴上，OA=3, .AM=CM,OC=OA=BC=AB=3.A(3,0). 设C(x,)…M+3,）】 2,2 .y= 6 过点C作CH⊥A0于点H,如图， ∴.0H=1,.CH=√32-1'=22， .C(1,22),.k=1×22=22.故选D. 9.D【解析】：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴 交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴.a<0,b>0,c>0,.abc<0,故①符合题意. 顶点P的坐标为(1，n),a<0, 当x=1时，n=a+b+c最大. 当x=m时，y=am2+bm+c, ..a+b+c≥am2+bm+c, ..am2+bm-a-b≤0，故②不符合题意. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位 于(-2,0)和(-1,0)之间，对称轴为直线x=1, _b=1,a-btc>0, .2a 1 a=2b,-2b-b+c>0, .3b<2c,故③符合题意. 如图，：△PAB为等边三角形， .PA =AB PB,PH L AB,HA HB, ∠PAB=60°， .∴.PH=tan60°·AH=tan60°·BH. 记A,B的横坐标分别为x1,x2, -2-10 .n=√3(x2-1)=3(1-x1), .2n=√3(x2-x1） 令y=ar+bx+c=0,则xti,=- =2,x1x2= a a 4c x2-x=√(x1+)-4西=√4- a d3 Aa-de =5 ae-a-3e=-V3a-3ac ∴.n= 2 a a √3a2-3ac .n=a+b+c=c-a,..c-a=- .a(a-e)=3,.n=-V3a(a-e)=-3 a 故④符合题意.故选D. 10.B【解析】：∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平分线， ∴.∠CAB=∠CBA=45°，∴.∠CAD=∠BAD=22.5°. 设AC=BC=m, .AB=√AC+BC=√2m. 如图，在AC上取点Q,使AQ=DQ, ∴.∠QAD=∠QDA=22.5°， .∠CQD=45°=∠CDQ, .CQ=CD,AQ=QD=√2CQ, .√2CQ+CQ=m, 解得CD=CQ=(2-1)m. .:∠CEF=45o=∠CAB,∠CEF+∠BEF=∠ACE+∠CAE, .∠BEF=∠ACE,∴.△ACE∽△BEF, 小0品2前 .m=x .BF=(2m-) m DF=y=m-(2-1）m-（2m-x)x m =(2-2)m-（2m-x)x m y关于x的函数图象过点(0,2-√2)， .(2-√2)m=2-√2，解得m=1, ∴y=2-√2-(V2-x)x=x2-√2x+2-√2， 当=受-经时y取策小值，为=巨， 22 流国参上猴点份金旅为停》装速B 11.5.635×107【解析】56350000=5.635×107. 12.4【解析】32=√18,4<√18<5， .4<32<5,.实数32的整数部分为4. 13.2(x-3y)2【解析】2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+9y2)= 2(x-3y)2. 4168,3【解析】连接0M,0E,0P,过点0作0M⊥AF于 点M,如图所示. .·六边形ABCDEF为正六边形， .OA=OE=OF,∠AOF=∠E0F= 360° 0 60°，∠BAF=120°， 6 .△OAF和△OEF为等边三角形， ∠A0E=60°+60°=120°， ∴.∠0EF=∠0AF=60°，OA=AF=4. MLAFMFMAF=2, .0M=√42-22=2W3, Sau=74Px0M=7×42=-43 2 :∠BAF=120°，.∠0AG=120°-60°=60°， .∠OAG=∠OEH. .·∠G0A+∠AOH=∠AOH+∠E0H=120°， .∠GOA=∠EOH, .△C0A≌△H0E(ASA),.SACOA=S△H0E, .S△c0A+Sg边形AOIr=S△0E+Sg边形AOIr,， .S五边形Aeor=Sm边形M0Er=2S△AOP=8V3, .S阴影=S扇形-S五边形AGOH 120m×42 = -8√3 360 =16m-8w5 3 1s(0,) 【解析】依题意， 得AP=2P=264(=5, .A2P=2A1P=10,A3P=2A2P=20. 设直线AD的解折式为y=6(≠0)，代入(6,2)，(4,3)， 3 3 得26+b,解得 =- 3 4'y=-4+6, (3=4k+b,（b=6, 由题意，知A3在直线AP上， 3 .设A,m,-4m+6 7 (m-6+*6}=2 解得m1=-10,m2=22(舍去)， 1623m 3 【解析】如图，连接BD交AC于点J. K B 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm, .△ABD为等边三角形，∠DAC=30°=∠DCA,AJ=CJ= 3cm,BD⊥AC, .DJ=BJ=AJ·tan30°=√3cm, .AD=AB=BD=23=CD. 设运动时间为t,则AM=tcm,CN=√3tcm, 培源增器 AD CA .'.△ADM∽△CAN,.∠ADM=∠CAN, .∴.∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30° ∴.∠APD=180°-30°=150°. 如图，作等边三角形AD0,并以0为圆心，OD为半径作圆， 在圆上取点K,连接AK,DK, .∴.OA=OD=AD=23cm,∠AOD=60°， 六L40=X60=30, ∴.∠AKD+∠APD=180°， .P在⊙0上，且在AD上， 在此过程中，点P的运动路径长为60mx23_23m 180 3(cm. 17.解：2+m+4) m m-2)3m-6 -m2-4+4.3(m-2) m-2 m m23(m-2) m-2 m =3m。…4分 m=(-1)2025=-1,…5分 .原式=3×(-1)=-3.…6分 易错警示 (1)化简求值类题目一定要做到“先”化简，“再”求值 (2)通分时若有常数项，要记得给常数项乘最简公分母 (3)分式化简求值时，若有多个值，要注意代入的值能否 使分式有意义 18解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人；乙社 团7分的有12人.… …1分 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数人1 口甲社团 14 口乙社团 6 2 0 10成绩/分 …3分 (2)乙…5分 [提示]甲社团的成绩（单位：分）情况如下：6,6,6,6,6,6， 6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9, 9,9,9,9,9,9,10,10,10, .排在第20,21位的数据为8， 甲社团的成绩的中位数为×(8+8)=8（分）。 ·将乙社团的成绩从小到大排列后，排在第20,21位的数据 为7,8， 乙社团的成绩的中位数为2×(7+8)=75（分）， ∴.成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙， 画树状图如图。 开始 甲 丙 丙 甲 甲 乙…6分 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和 一名女生的结果有4种， 4 .所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为= 6 2 3 …7分 19.解：(1)如图1，△BED即为所求作的三角形 图1 …3分 (2)如图2，：四边形ABCD是矩形， E .AD=BC=2,AD∥BC,LA=90°， .∠ADB=∠CBD. ·△BED与△BCD关于直线BD成轴 对称， .LEBD=∠CBD,.∠FBD=∠FDB, 图2 .FB=FD. …5分 设AF=x,则DF=BF=2-x, 3 .12+x2=(2-x)2,解得x= 4 3 ∴.AF= …7分 4 20.解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x,y元.…1分 根据题意，得{ x+2y=220, 3x+140=4y, …2分 8 解得/x60, …3分 y=80. 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元.…4分 (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40-m)盏， 根据题意，得m≤ 3(40-m), 解得m≤10.…5分 设购买费用为n元，根据题意，得n=60m+80(40-m)= -20m+3200.…6分 ·-20<0,.当m取得最大值时，n取得最小值， .当m=10,40-m=40-10=30时，n最小，为n=3000, 即购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少. ………7分 答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少 …8分 21.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E.AE DC北 …1分 ,东 设BE=x. 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°， 60=103-5, .∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, .∴.EC=ED+DC=x+5.… …3分 在Rt△BCE中，EC=BE tan C tan37°0.753x, 4 六3x=x+5,解得x=15, ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里， …4分 (2)在Rt△ABE中， .'∠ABE=14°，BE=15, .AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， .AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75. 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30经过142.5分钟是16：52：30， .在17：30之前能到达， .不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A.… …9分 22.(1)证明：如图1，连接A0并延长交⊙0于点E,连接BE. …1分 BD=AB,.∠D=∠BAD, .∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D. …2分 又.·∠ABC=2∠C, .∠D=∠C, .∠BAD=LC. …3分 图1 AB=AB∠C=∠E, .∠BAD=∠E.…4分 :AE是⊙0的直径， .∴.∠ABE=90°， .∴.∠BAE+∠E=90° .∠BAD+∠BAE=90°，即AD⊥AE. AE是⊙0的直径， .AD是⊙0的切线.… …5分 (2)解：∠D=∠D,∠DAB=∠C, anls△C20册 …6分 .∠D=∠C,∴.AD=AC=8. 又DB=AB=5, 小c名得c受 39 …7分 如图2，过点A作AF⊥DC于点F .·AD=AC, .DF=FC=(DB+BC) 》 5 E .AF=√AD2-DF 图2 24 AF 5 3 ∴.sinD= D8=5 …9分 又∠E=∠D,∠ABE=90°，.sinE=sinD, .AE=AB=AB5 25 sin E sin D 3 3' ⊙0的半径为公] …10分 23.解：(1)PA1+PA3=√2PA2…2分 [提示]思路一：如题图2，在射线PA3上截取A,Q=PA1,连 接A2Q. :∠PA1A2+∠PA3A2=180°， ∠QA3A2+∠A2A3P=180°， .∠A2A1P=∠A2A3Q. 又：四边形A142A3A4是正方形， .A2A1=A2A3,∴.△QA3A2≌△PA1A2(SAS), ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q 又：四边形AA2A3A,是正方形， ∴.∠A1A2A3=90°，∴.∠PA2Q=90°， .△A2PQ是等腰直角三角形， ..PQ=PA+A Q=PA+PA=J2PA2. 思路二：如题图3，过点A2作A,M⊥AP交射线PA,于点M, 在PA3上截取A,N=A,M,连接A2N :∠PA1A2+∠PA3A2=180°，∠PA1A2+∠A2A1M=180°， .∠A2A1M=∠A2A3N. :四边形A1424A4是正方形， A142=A2A3,∠A1A243=90°， .△A1A2M≌△A3A2N(SAS), .∠A1A2M=∠A3A2N,MA2=A2N,LM=∠A2NA3=90°， ∴.∠MA2N=∠A1A2A3=90°， .∠M=∠MA,N=∠A2NP=90°， .四边形A2MPN为正方形， .A2P=√2PM=√2(PA1+MA1)=√2（PA1+AN),A2P= √2PN, ∴.2A,P=√2(PA1+A3N+PN)=√2(PA1+PA3), .√2A,P=PA1+PA3 9 (2)正五边形的一个内角的度数为5-2)×180 -=108°. …3分 如图1，在射线PA3上截取AQ=PA1,连接 A,Q,过点A,作A,T⊥PQ于点T. 同理，可得△QA3A2≌△PA1A(SAS), .∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q, .∠PA2Q=∠A1A2A3=108°， LPM,∠P40=4 图1 PA1=11,PA3=49, .PQ=PA3+A:Q=PA3+PA=60, PT=2P0=30, PT 30 .PA=sin 54 0.81 37.0.…6分 (3)PA,+PA,=2PA2·sin72°.…11分 [提示]如图2，在射线PA,上截取A3Q=PA1,连接A2Q,过点 A2作A2T⊥PQ于点T 同理，可得∠P%,Q=∠A44,=(10-2XI8_Q A3 10 144°，PA2=A2Q, A2 A P LPA2T=2 ∠PA,Q=72°， 图2 PT ∴.PA2= sin 720 P0=P%MQ=P%+APTP0=PM,+P PT 2(PA:+PA3) .PA2= in72°-sin72° 即PA1+PA3=2PA2·sin72°. 24.解：(1)：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在 点B左侧)，与y轴交于点C,0A=2,0B=6, ∴.A(-2,0),B(6,0), 1 4a-2b+3=0, 解得 a= 43…2分 36a+6b+3=0, b=1, 抛物线的表达式为y三-人x2+x+3.……3分】 1. (2)①对于抛物线的表达式y=-4。+x+3, 当x=0时，y=3,∴.C(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)， 1 则6+h=0解 k-2’ (b=3, b=3, .直线BC:y= 2+3. …5分 .DE⊥AB,点D的横坐标为t,点D在抛物线上，点E在直 线BC上， D,4+3,2+3 2 (0<6). ……6分 2 ②存在。…7分 cD=F+4+3-3)=P+(4*, c8=t3-,i=4r+,△ce是 等腰三角形， 当=时，号受 解得t=6-25或t=0(舍去)， 4+3=×6-2546-25+3=45-5, 1 .D(6-2W5,45-5). 当00e时r(’-(+2 整理，得(-t+1)=0,解得t=1或t=0(舍去)， +143- 1,》 …8分 当0=E时.（°（原， 理，得r(信+）=0， 解得t=2或t=6(舍去)或t=0(舍去)， *3=2423=4 .D(2,4). 综上，△cDE是等腰三角形时，D(2,4)或D(1,)或 D(6-25,45-5).…10分 (3)线段AG长度的最小值为25. …14分 [提示]在y轴负半轴上取点N(0,-6),连接NG并延长交 x轴于点M,连接AN,如图. 由旋转，得0E=0G,∠E0G=90 B(6,0),∴.OB=0N. .∠B0N=90°， .∴.∠1=∠2=90°-∠M0G, .△BOE≌△NOG(SAS), .∴.∠CBO=∠MWNO, .点G在线段MW上运动（不包括 端点)， .当AG⊥MW时，AG最小. '∠CBO=∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON, ∴.△COB≌△MON(ASA), ∴.0M=0C=3, .MN=√OM+0W=35. :当4G1MN时，Ss=24M.0N-MN·AC, 1 2×5x6=2×3,5x4C,AG=25, .线段AG长度的最小值为25. 解法指导 等腰三角形存在性问题 已知线段AB,在平面内找一点P,使得△ABP为等腰三 角形 (1)确定点的位置 ①以AB为腰：点P 在分别以点A,B为 B 圆心，AB长为半径 A 的圆上，AB直线上 的点除外； ②以AB为底：点P在AB的垂直平分线I上，AB直线上的 点除外 (2)求点P坐标的方法 方法一：代数法 分别表示出点A,B,P的坐标，再表示出线段AB,BP,AP的长 度，由①AB=AP,②AB=BP,③BP=AP分别列方程解出坐标. 方法二：几何法 作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建立等量关系。 6.威海市2025年初中学业考试 答案速查 题号12 3456789 10 答案BC C DB A 1-272-3183 14122 5 15② 162+3 2 全解全析 1.B【解析】根据表格数据可知，-19.8<-2.6<4.2<18.7， .平均气温最低的城市是哈尔滨.故选B 2.C【解析】几何体的左视图是 故选C 3.D【解析】A.b3与b2不是同类项，不能合并，原式计算错误， 不符合题意. B.(-2b2)3=-8b,原式计算错误，不符合题意 c6时2.b=6.b.b-2 ib a ‘。·。。,原式计算错误，不符合题意 D.(-b)3÷(-b2)=（-b3)÷(-b2)=b,原式计算正确，符合题 意.故选D 4.A【解析】.1皮秒=102秒， .400皮秒=400x10-2秒=(4×1010)秒.故选A 5.A【解析】如图所示. .∠ACB=90°，∠1=18°， B ∴.∠GCD=180°-∠ACB-∠1=72° .·CF∥DE,∴.∠CDE=∠GCD=72. ,∠A=30°，∴.∠2=∠CDE-∠A=42° 故选A 6.B【解析】△ABC的中线BE,CD交于点F, DE-BC,DE//BC.SA 1 △DEF~△CBF,△ADE∽△ABC,SaAG=SaAm=2S△Ac, 故D选项结论正确， 小F部分aw=x DF EF DE 1 2 Su-子5ag,3aw-号5aE=号5m故 1 A,C选项结论正确，B选项结论错误.故选B. 7.C【解析】小二次函数y=-(x-2)2+c的图象开口向下，对称 轴为直线x=2,离对称轴越近，函数值越大 点(-2，y1)与对称轴x=2的距离为|-2-2=4，点(3，y2) 与对称轴x=2的距离为|3-2=1，点(7，y3)与对称轴x=2 的距离为|7-2=5,1<4<5，y2>y1>y3.故选C. 解法指导利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 (1)代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的 横坐标代入解析式，求出各点的纵坐标，进而比较大小. (2)增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知 点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较 大小. (3)距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小，对于 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). ①当a>0时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的 函数值越小，如图1； ②当a<0时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的 函数值越大，如图2 d d di<d<d y<y<y d<d<d y>y2>y3 图1 图2 8.D【解析】A.BO=DO,AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD,AD=AB,CD=CB, .四边形ABCD是筝形. B.'AD=AB,∠DAC=∠BAC,AC=AC, .△ADC≌△ABC(SAS),.CB=CD, .四边形ABCD是筝形. C.:∠DAC=∠BAC,AC=AC,LDCA=∠BCA, .△ADC≌△ABC(ASA), ∴.AB=AD,CB=CD, 四边形ABCD是筝形. D.由∠ADC=∠ABC,BO=DO不能判断AB=AD,CB=CD,故 不能判断四边形ABCD是筝形.故选D. 9.B【解析】A种瓷砖的位置：(1,2)，(1,4)，(1,6)，…，(2， 1),(2,3),(2,5),…, B种瓷砖的位置：(1,1)，(1,3)，(1,5)，…，(2,2)，(2,4)， （2,6),…, 由此，可得A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单 数)，B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， (2024,2025)位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意。 (2025,2025)位置是B种瓷砖，故B选项符合题意. (2026,2026)位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意. (2025,2026)位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意.故 选B. 10.A【解析】·二进制数10112的各位权值从右到左依次为 2°，2,2,23， .对应数值为1×23+0×22+1×2+1×2°=8+0+2+1=1110，