13.枣庄市薛城区2025年初中学业水平考试第二次模拟数学试题-【正大中考】2025年山东省中考数学试题汇编

13.枣庄市薛城区2025年初中学业水平考试第二次模拟 数学试题 (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来.每小题3分，共 30分) 4 1在实数0，-33，-1中，最小的数是 A.3 C.0 D.-1 2.《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故日美.”这是古人对于对称美的一种定 义.这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致.下列航空公司的标志是轴对称图形的是 B D 3.维生素D在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种 疾病，维生素D都扮演着不可或缺的角色.因此，合理补充维生素D对于维护整体健康至关重要， 据科学验证，成年人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克，将数字0.0000046用科学记数法 表示为 A.4.6×10-5 B.4.6×10-6 C.4.6×10-7 D.0.46×10-5 4.已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是 5不等式组一的部集在数油上表示为 。 012 01 23 A B D 6.下列计算正确的是 A.2x4+x3=3x12 B.a10÷a3=a C.(ab3)2=a2b5 D.(a+b)2=a2+b2 7.“过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗.如图，欣欣从A,B,C 三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择A和C两个灯笼的概率为 () --- 悬挂点悬挂点 6 8.要说明命题“若a>b,则a2>ab”是假命题，能举的一个反例是 A.a=1,b=-2 B.a=2,b=1 C.a=4,b=-1 D.a=-2,b=-3 山东中考试题汇编·数学13-1 9.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内 接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积 S1来近似估计⊙0的面积S,设⊙0的半径为1，则S-S,的值为()（π≈3.14） A.0.14 B.0.2 C.0.5 D.1 10.现定义对于一个数a,我们把{a}称为a的“邻一数”.若a≥0，则{a}=a-1;若a<0,则{a}=a+1. 例如：{1}=1-1=0，{-0.5}=-0.5+1=0.5.下列说法，其中正确结论有()个 () ①若a≠b,则{a}≠{b}; ②当x>0,y<0时，{x}-1={y}+1,那么代数式x2+3y+y2-3x-2xy的值为4； ③方程m1+m+2=-2的解为m=-或m=或m=子 ④若函数y={-x2-3}+3{Ix+3},当y>0时，x的取值范围是-4<x<4. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.若式子1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 /3-x 12.若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0的两根为x1,x2且x1=2x2,则m的值是 13.如图，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A,B两点，以OB为边在y轴右侧作等边△OBC,将点C 向左平移，使其对应点C恰好落在直线AB上，则点C平移的距离CC'= G 0 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在矩形ABCD中，AD=4,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG,点B的对 应点E落在CD上，且DE=EF,则△GDF的面积为 15.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积 为 ·（结果保留π) 16.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫作点P的“相伴点”.已知点A1 的“相伴点”为A2,点A2的“相伴点”为A3,点A3的“相伴点”为A4,…,这样依次得到点A1,42, A3,…,An.若点A1的坐标为(2,3)，则点A22s的坐标为 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17.(本题满分8分) (1)计算：月-8+-5+m45 (2)先化简，再求值： 4 23,中x=子 +x-2÷ x+2 Γ2x2-4 山东中考试题汇编·数学13-2 18.(本题满分8分) 数学活动课上，小晨和小慧同学利用直尺和圆规分别进行了如下操作： (1)小晨操作：如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，①连接AC,分别以点A,C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点P,Q:②作直线PQ,分别交BC,AC,AD于点E,0,F,连接 CF.若∠BAD=120°，AE平分∠BAD,AB=8,求四边形AECF的面积， (2)小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆 心，任意长为半径画弧，分别交AB和BC于点P,Q:分别以点P,Q为圆心，大于PQ的长为半径 画，两弧交于点，作射线m交边AD于点E,分别以点A,B为圆心，大于)4E的长为半径画 弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交边AD于点F,连接CP,交BE于点G若CD=4DE,求 GR 的值 图1 图2 19.(本题满分8分) 【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全.我国目前轨道检测的主要方法是机械检 测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨 道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷.某校科创活动小 组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： ③① 光学成像设备 mmm 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的 阅读 光，并在光接收元件上成像.一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光 接收透视 理解 的角度也会改变，成像的位置也随之改变.可以通过成像的位移来计算激光发射器 物体实际的移动距离. ①③ 初始最终 位置位置 山东中考试题汇编·数学13-3 续表 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点 M与点N之间的距离.假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像. 接收透视 发现 光学成 0 像设备 原理 激光发射器物体初始位置物体最终位置 参考平面目标测量平面 如图，直线M'N'∥值线l,∥直线l2,直线MW垂直于L,和l2,垂足分别为M和N,线段MM'与线段NW交 于点O,线段NW'与直线L1交于点P,∠MMP=a 建立 模型 (1)在上图中作NH⊥MM'于点H,设MN=m,请用含m和a的式子表示HN的长度. 解决 (2)若M'N'=5,OM'=27,OM=140,求MW的长度.（结果精确到个位，参考数据：sina≈0.8，cos≈ 问题 0.6,tana≈1.33) 20.(本题满分10分) 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学 ↑频数（学生人数） 16---- 校各400名学生进人综合素质展示环节.从两校进入综合素质 展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成 12 10 绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出 了部分信息. 2 α.甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤ 405060708090100成绩/分 x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x<100) b.甲学校学生成绩在80≤x<90这一组的是：8080818282838384858686.587878888.589 c.乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校50名学生成绩的中位数为 优秀率为 .(85分及以上为优秀) 山东中考试题汇编·数学13-4 (2)甲学校学生A,乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素 质展示排名更靠前的是 .（填“A”或“B”) (3)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 .(至少从一个角度说明推断的合理性) (4)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至 少达到多少分才可以入选，并说明理由. 21.(本题满分8分) 如图，AB是⊙0的直径，D是⊙O上的一点，AC是∠DAB的平分线，AC交⊙O于点C,过点C作 CE LAD,垂足为E,连接OD. (1)求证：CE是⊙0的切线. (2)者CE3 012,求LA0D的度数 22.（本题满分10分) 在平面直角坐标系0中，点P是反比例函数y=名(>0)在第象限的图象上一点。 (1)如图，过点P的直线y7+1分别与x轴、y轴交于点A,B,且AB=B那 ①求反比例函数的表达式. ②点D为x轴正半轴上一点，点E在反比例函数图象上，若以点B,D,E,P为顶点的四边形为平行 四边形，求点E的坐标 (2)过定点P的直线y=mx-3m+2交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q,交y轴于点M,连 接OP,OQ,设△P0Q的面积为S1,△M0P的面积为S2,若2S1=S2,直接写出m的值. 备用图 山东中考试题汇编·数学13-5 23.（本题满分10分) 如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD上，点C在 线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明， (1)如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<a<90°)，连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成 立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由. (2)如图3，将△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若AB=AC= 23,CD=√6，求线段DE的长 (3)若P为DE的中点，连接BP,AB=AC=2√2，AD=AE=4√2，当△ADE绕点A逆时针旋转时，BP 的最大值为m,最小值为n,则mn的值为 图 图2 图3 24.（本题满分10分) 定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a,b),Q(c,d)若满足c-a=k(d-b),其中k为常数，且k≠0，则 称点P与点Q互为“k阶点”，例如点(2,3)与点(-1,4)互为“-3阶点”. (1)若抛物线y=x2+2x+c的顶点与点(1，-2)互为“4阶点”，求c的值. (2)对于动点P代，2}(：≠0)，若抛物线y=2+3x+1上只存在一个点与点P互为：阶点”，求1 的值 (3)已知点A,B是抛物线y=2-2x-1上的两点，且都与点(0,2)互为“阶点”（≥1），M是抛物 线的顶点，N是线段AB的中点，若M与N互为“s阶点”，求的最小值 山东中考试题汇编·数学13-6由旋转的性质得∠CDE=120°，CD=DE,∠MCN=120°， CM=CN, 设CD=DE=5x, CM :MD=3:2.CM-CN-CD- 如图2所示，过点D作DG⊥CE于点G, .·∠CDE=120°，CD=DE, ∠DCG=∠DBG=180°-LCDE-30e. 2 DGLCE,DG=2 DC=5 2*,CE=2CG. 在t△CGD中，由勾股定理得CG=√CD-DC_5 2t, .CE=5√3x. ∠DCE=30°，∠DCN=120°， .∴.∠ECN=120°-30°=90°. 在Rt△ECN中，由勾股定理得EN=CE2+CN2=(53x)+ (3x)2=84x2, .EN=2√2Ix或EN=-2√2Ix(舍去). .点D是AB上一个动点（点D不与A,B重合）， ∴.CH≤CD<AC,即2≤5x<4, 24.4√2I 821 -≤EN< …14分 5 5 解法指导同图形的平移与翻折一样，图形的旋转也是 全等变换，不改变图形的形状和大小，解决此类问题的关 键是要正确找到变换前后的对应角和对应线段.求线段的 长，常根据题中条件，利用勾股定理或锐角三角形函数或 相似三角形的性质构造方程模型求解。 13.枣庄市薛城区2025年初中学业水平 考试第二次模拟 答案速查 题号 123456789 10 答案B A BDDBC D A C 11.x<312.813.33+1482-8152m 2 16.(2,3) 全解全析 1.B【解析】根据“正数>0>负数”，可知3>0，且0大于 1，国此最小的数在-号和-1中， 4 子-=1子1. 4 号1故选B 2.A【解析】A.是轴对称图形，符合题意. B.不是轴对称图形，不符合题意 C.不是轴对称图形，不特合题意 D.不是轴对称图形，不符合题意.故选A. 3.B【解析】0.0000046=4.6×106.故选B. 4.D【解析】从左面看，可得选项D的图形.故选D. 5n【保标1仁0 解①，得x>2,解②，得x≥3，不等式组的解集为x≥3， 4 在数轴上表示为0】含3 工.故选D. 6.B【解析】A.2x4与x3不是同类项，不可以合并，故原计算 错误. B.a10÷a3=a?,故原计算正确. C.（ab3)2=a2b,故原计算错误 D.（a+b)2=a2+2ab+b2,故原计算错误.故选B. 7.C【解析】画树状图如图. 开始 B B C 共有6种等可能的结果，其中选择A和C两个灯笼的结果有 两种， .选择A和C两个灯笼的概率为 63故选C. 21 8.D【解析】当a=-2,b=-3时，a>b,而a2<ab, .命题“若a>b,则a2>ab”是假命题.故选D. 9.A【解析】小：⊙0的半径为1， ∴.⊙0的面积S=m. 圆的内接正十二边形的中心角为 12=30, 360° 过点A作AC⊥OB,如图所示， 1 六AC=20A=2, 圆的内接正十二边形的面积S=12x×1以了3， ∴.S-S1=T-3≈0.14.故选A. 10.C【解析】①当a=1.5,b=-0.5时，则{a}={1.5}=1. 5-1=0.5,1b}={-0.5}=-0.5+1=0.5,.{a}={b}, .若a≠b,则{a≠{b}错误，故①错误. ②当x>0,y<0时， {x}-1={y}+1, .x-1-1=y+1+1,即x-y=4, .x2+3y+y2-3x-2xy=(x-y)2-3(x-y）=42-3×4=4,故② 正确. ③.{m-1}+{m+2}=-2, 当m<-2时，m-1+1+m+2+1=-2,解得m=-与 2 当-2≤m<1时，m-1+1+m+2-1=-2,解得m=-2, 3 5m≥1时，m-1-1+m+2-1=-2,解得m=2,舍去！ 方程到m-1+m+2=-2的每为m=或m=,女国 错误 ④y={-x2-3}+3{|x+3}=-x2-3+1+3(|x+3-1)= -x2+3|x+4, 其图象如图， 6一 由图象，可得当y>0时，-4<x<4,故④正确 综上，正确的结论为②④，共2个.故选C. 1山.x<3【解析】：式子】在实数范国内有意义， 3-x ..3-x>0,解得x<3. 12.8【解析】由题意，得x1+x2= =6,x102= =m. x1=2x2,.2x2+x2=6, .x2=2,.x1=4,m=x1x2=2×4=8. 13.33+3 y 2 【解析】如图，过点C作x轴的 垂线，垂足为点M. 将x=0代入y=2x+6,得y=6, .B(0,6),.0B=6. :△OBC是等边三角形， .∴.0C=0B=6,∠B0C=60°， ∠c0M=30,.CM=l0C=3. 2 则0M=√62-32=33，.C(35,3). 将y=3代入y=2+6,解得=号 故C的横坐标为-2 则3-(》=3+ 6c0-38+号 14.82-8【解析】如图，过点D作EF的平行线，交AE于点 M,交FG于点N,则MN⊥AE,MN⊥FG 由旋转，可得AE=AB,EF=BC. .四边形ABCD为矩形， ∴.AD=BC,∠ADE=90°， ..AD=BC=EF=DE=4,MN=EF=4, .AE=AB=FG=V√AD+DE2=42,∠DAM=45°， .DM=AD·sin45°=4×2=22， .DN=MN-DM=4-22, △GDF的面积为2PG·DN=×47x(4-22)= 82-8. 15.27m【解析】由题意，得∠HAB=(8-2,x180°=135，AH= 8 8 AB=3, .S阴形= 135m×3227m 3608 16.(2,3)【解析】：点A1的坐标为(2,3)， .A2(-2,3),A3(-2,-1),A4(2,-1),A(2,3), … 以此类推，可知每4个点为一个循环组依次循环. 2025÷4=506…1, 点A2s的坐标与A1的坐标相同，为(2,3). -38+|-5|+tan45 =4-2+5+1…2分 =8.…4分 2(2-22 x2-4 4 =厂4，(x-2)(x+2)1 x(x-2) Lx+2 x+2 =4+2-4 J(-2)(x+2)*3 (43 2(x-2)(x+2)+3 x+2x(x-2) =x+3.…6分 231 当x)时，原式=+3=乙 2 …8分 18.解：(1)AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE. 四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC, .∠B=180°-LBAD=6O°，LDAE=LAEB,∠FA0=∠ECO, ∠BAE=LAEB,.AB=BE, .△ABE为等边三角形，…2分 .AE=AB=8,∠AEB=60 由作图可得，EF垂直平分AC, .A0=C0,EF⊥AC. .·∠AOF=∠COE,.△AOF≌△COE(ASA), .OE=OF,.四边形AECF为菱形， .∴.AE=CE,∴.∠EAC=∠ECA. :·∠EAC+∠ECA=∠AEB, .∠EAC=∠ECA=30°， 0B=78=4A0=va-0E=4w, .EF=8,AC=83, :四边形4CF的面积为4C.BF=×8x8=2 …4分 (2):四边形ABCD为平行四边形， .AB=CD=4DE,AD//BC,AD=BC, .∠AEB=∠CBE. 由作图，可得BE平分LABC,MW垂直平分AE, .LABE=∠CBE,AF=EF, .∠ABE=∠AEB, .AB=AE=CD=4DE,.EF=2DE,…6分 .BC=AD=5DE. AD∥BC,∴.△EFG∽△BCG, 0欲子 8分 19.解：(1)如图1，过点N作NH⊥MM'于点H,则∠NHM=90°， ∠CMH=ax. P M H 图1 MN⊥l1,.∠CMW=90°， .∴.∠CMH=90°-∠HMN=a 又，∠MNH=90°-∠HMN, .LMNH=∠CMH=a. 在Rt△MHW中，HW=MW·cos&=mcos o. …4分 (2)如图2，作N'D∥MN,交MM'于点D. 0 a N 图2 M'N'h1,MW⊥l1,.∠N'M'D=a,DW'⊥M'N', ·DMr=M'w ≈8，DW'=M'N'tana≈7， cos a .0D=0M'-DM'≈27-8=19. .N'D/MW,.△MON△D0W',…6分 MN OM 140 ≈7 六DN-0D19 .∴.MN=7DN'=7×7=49. …8分 20.解：(1)81.540%…2分 [提示]甲学校共有50名学生，则中位数为第25位和第 26位的平均成绩.由直方图和题干数据，得第25位和第 26位的成绩分别为81和82， 中位数为3182=8L5 优秀率为8+12 100%=40%. 50 (2)A …4分 [提示]：学生A的成绩为83分，高于甲学校成绩的中 位数， .学生A排名在甲学校前半部分 学生B的成绩为83分，低于乙学校成绩的中位数84， ∴学生B排名在乙学校后半部分，故A的排名更靠前。 (3)乙…5分 甲学校的中位数为81.5，优秀率为40%，乙学校的中位数为 84,优秀率为46%，从中位数、优秀率两个方面比较看出，乙 学校都高于甲学校，故乙学校综合素质展示的水平更高 (答案不唯一，合理即可)… …7分 (4)预估甲学校学生至少达到88分才可以入选.…8分 理由如下：根据题意，得90≤x<100分的人数为50×400= 12 96,不够120人，要从80≤x<90分之间补充，设需要补充 x个人， 根据题意，符10×40=120，解得=3。 而这3个人的成绩依次为89,88.5,88. .预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选 …10分 21.(1)证明：如图1，连接0C. :OA=OC,.△A0C是等腰三角形， .∴.∠OAC=∠OCA. :AC是∠DAB的平分线， .∴.∠EAC=∠BAC, .∠OCA=∠EAC,.AE/∥OC, 图1 ∴.∠AEC+∠OCE=180°. …2分 .CE⊥AD,即∠AEC=90°，.∠OCE=90°，..CE⊥OC. .0C是⊙0的半径，.CE是⊙0的切线.…4分 (2)解：如图2，过点O作OF⊥AD,垂足为点F 在四边形OFEC中， 4 .·∠OFE=∠FEC=∠EC0=90°， .四边形OFEC是矩形，.CE=OF OF LAD,.FD=FA=AD CE_3.0F.3 DA2·AD2, 图2 0F√3，OF 2DF2DF =3. 6分 在Rt△OFD中，tan LODF= OF DF=3. ∴.∠0DF=60° OA=OD,△OAD是等边三角形， ∴.∠A0D=60°. …8分 解法指导 方法 适用情况 连半径， 直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到 证垂直 半径，证明半径与直线垂直 未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线 作垂直 的垂线段，证明垂线段的长等于半径.判定 证等径 时，必须说明“是半径”或“点在圆上” 22.解：(1)①如图1，过点P作PC⊥x轴于点C,即PC∥0B. 当y=0时，即0=2+1，解得x=-2, y 1 当x=0时，即y=2x+1=1, .A(-2,0),B(0,1), .A0=2,B0=1. 根据PC∥OB,可得Rt△AOB∽Rt△ACP, 即AP-AC_PC AB AO BO =88 =2, .AC=2A0=4,PC=2B0=2, 即0C=2,.P(2,2) 将P(2,2)代入反比例函数y=,得k=4, 之反比例西数的表达式为至(0.…3分 ②由①可得B(0,1),P(2,2). 设a0),(台小， 当点B,D,E,P组成平行四边形BDEP时， 则atyE_Yotyn 2 2 .1+b=0+2,即b=1,.E(4,1) 当点B,D,E,P组成平行四边形BDPE时， 则P_yy,.1+2=0+b,即6=3， 2 2 综上所述，点E的坐标为(4,1)或（于3 .…7分 (2)m的值为子或 4 …10分 9 [提示]直线y=mx-3m+2=m(x-3)+2, 即当x=3时，y=2,则过定点(3,2)， ·点P的坐标为(3,2)，代入反比例函数y=k,得k=6, ·反比例函数的表达式为y=6(x20) X ①如图2，当点Q在线段MP上时， :SAMOP=2S△Po0, M K 1 MQ=PQ,即MQ=PQ=2PM, 作QK⊥y轴于点K,PLLy轴于点L, 由点P的坐标为(3,2)，可得PL=3, 图2 ∴.Rt△MKQ∽Rt△MLP, 咒器分0=2即0 .KQ MQ 1 3 将Q(34)代入直线y=m-3m+2,得m= 4 3 ②如图3，当点Q在线段MP的延长线上时， SAMOP=2SAPOQ .MP=2PQ,即MQ=3PQ. 作QK⊥y轴于点K,PL⊥y轴于点L,同 理PL=3, ∴.Rt△MKQ∽Rt△MLP, 图3 咒器0=即g号 KQMQ 3 9 (94 23) 将Q(3)代入直线y=-3m+2,得m=号 4 综上所述m的值为子或-号 9 23.解：(1)BD=CE依然成立.…1分 证明如下：：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,AD=AE. :将△ADE绕点A逆时针旋转a, .∴.∠BAD=∠CAE=a, .∴.△ABD≌△ACE(SAS)， .BD=CE.…3分 (2)·∠BAC=∠DAE=90°，∴.∠BAD=CAE. 又.·AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE(SAS), .∠ABD=∠ACB=∠ACE=45°，BD=CE, .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°. .·AB=AC=2W3」 .∴.BC=/AB2+AC2=√J12+12=2W6, ..BC+CD=BD=CE=26+6=36, .DE=√CE2+CD2=√54+6=2√15.…7分 (3)8…10分 [提示]如图，连接AP. .AD=AE=42, .DE=√AD2+AE2=√/32+32=8. 点P是DE的中点， AP=8x =4, .点P在以A为圆心，AP为半径的圆上运动， .当点P在直线BA上时，BP有最大值和最小值. 由图可得BP的最大值为m=AP+AB=4+2,W2, 最小值为n=AP-AB=4-2W2, .mm=(4+22)(4-22)=8. 24.解：(1)y=x2+2x+c=(x+1)2+c-1, ∴.抛物线的顶点坐标为(-1，c-1). 顶点与点(1，-2)互为“4阶点”， 1-(-1）=4(-2ct1),解得6=子…3分 (2)设这一点为(x,x2+3x+1), 根据“：阶点"的定义，得1=(+3x+1-24), 整理，得tx2+(3t-1)x+1=0. :只存在一个点与点P互为“t阶点”， 4=(3-12-41=0,解得=g或=1…6分 (3)设点A的坐标为(m,m2-2m-1),点B的坐标为(n, n2-2n-1). 点4，B都与点(0,2)互为阶点”， 0-m2-m+2a+1),0-mg2-+2at+10, 整理，得m2-(k+2)m-3=0,n2-(k+2)n-3=0, .m,n是方程x2-(k+2)x-3=0的两根， ∴.m+n=k+2,mn=-3. 又y=x2-2x-1=(x-1)2-2, .顶点M的坐标为(1，-2). 又：N是线段AB的中点， 点N的坐标为”-2如-1-2a-】 2 M与N互为“s阶点”， *机-1 m2-2m-1+n2-2m-1+2）, 2 整理，得(m+n)-2=s[(m+n)2-2mn-2(m+n)+2], 代入，得k+2-2=s(k2+4k+4+6-2k-4+2), 即=+2+8=(+1)2+7. 当≥1时，冬随k的增大而增大， 当k=1时，最小，最小值为11. 10分 14.聊城市东昌府区2025年初中学生学业水平 考试第二次模拟 答案速查 题号12345 678910 9