8.淄博市2025年初中学业水平考试-【正大中考】2025年山东省中考数学试题汇编

8.淄博市2025年初中学业水平考试 数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的： 1.下列四个实数中，比-2大的无理数是 A.0 B.-1 C.-√2 D.-√/5 2.如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 从正面看 A B C D 3.党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展.根据国家能源局报道，2025年一季度全国可 再生能源发电量达到8160亿千瓦时.将8160亿用科学记数法表示为 A.8.16×10 B.81.6×101 C.0.816×1011 D.8.16×1012 4.某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这 两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h)如下：5,7,3,6,8,6,4,7,5,6，则这组数据的众数和中 位数分别是 A.5,6 B.5,7 C.6,6 D.6,7 5.已知：如图，AB∥CD,∠1=36°，∠2=60°，则∠3的度数是 A.36° B.34° C.26° D.24° rE ④ 李白醉酒 3 李白街上走，提壶去买酒。 遇店加一倍，见花喝一斗。 4了1 三遇店和花0，喝光壶中酒。 试问壶中原有酒几斗？ -D 第5题图 第6题图 6.李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘.后人用《李白 醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三 次)，则诗中李白的壶中原来有酒 () A.1斗 3 C. D. 7.若分式1,3有意义，则x的取值范围是 x+1'x-2 A.x≠-1且x≠2 B.x≠-1且x≠3 C.x≠2且x≠3 D.x≠-1且x≠2且x≠3 山东中考试题汇编·数学8-1 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E.若AD= 5,AE=10,则BC的长是 () A.10 B.12 C.13 D.15 D C P E B D E A x 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP,CP,将线段CP绕 点P顺时针旋转90°后得到线段QP,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是 () 1 .4 B,23 C.21 D.2+1 2 2 4 10.如图，D为矩形04BC(边OA,0C分别在，y轴的正半轴上)对角线0B上的点，且0D=BD,经过 点D的反比例函数y=的图象分别与AB,BC相交于点E,F,连接OE,OF,ER.若△OBF的面积是 24,则△OEF的面积为 () 79 80 A.25 B.26 C. D. 3 3 二、填空题：本大题共5个小题.每小题4分，共20分. 11.因式分解：2x2-18= 12.如图，∠A0C=∠B0D=90°，∠C0D=44°，则∠A0B= 至多45元. 至多50元. 至少60元. 第12题图 第13题图 13.爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书.如图是他的三个同学猜测该书价格的对话， 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了.”则这本书的价格x(元)所在的范围是 14.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC, AP相交于点F,Q.若∠FQP=45°，则EF的长为 45 B 15.画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； 若要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 山东中考试题汇编·数学8-2 三、解答题：本大题共8个小题，共90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 16.(本小题满分10分) y2， 解方程组：2 2x+3y=12. 17.(本小题满分10分) 已知：如图，在△ABC中，D,F分别为边AB,BC的中点，∠AED=∠DFB.求证： (1)△AED≌△DFB. (2)∠C=∠EDF. 18.(本小题满分10分) 某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某 景区美术实践基地写生.已知共有200名师生参加了最近一次活动. (1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大 门.已知中巴车的速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度 (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元.如果购买门票的费用 共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 山东中考试题汇编·数学8-3 19.（本小题满分10分) 粮食安全，事关国计民生.增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学 校教育的一个重要共识.为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试.现从中随 机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不 完整的统计图表， 组别 成绩/分 频数（人数） 结业成绩频数分布直方图 结业成绩扇形统计图 频数 1 75≤x<80 10 5 2 80≤x<85 a 30 第5组y 第4组 36⊙ 3 85≤x<90 35 第1组 15 第3组 10 第2组 35% 4 90≤x<95 25 5 95≤x≤100 6 0 7580859095100成绩/分 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的a= 第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对 应的圆心角是 度. (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图. (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团，并从中随机 抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率 20.（本小题满分12分) 如图，反比例函数y=-6(<0)和y-2(20)的图象分别与直线)y=k+6依次相交于Am,1),B, C(3,n)三点. (1)求出直线AC对应的函数表达式. (2)分别以点A,C为圆心，以大于】AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F直线EF交 y轴于点D,连接AD,CD.试判断△ACD的形状，并说明理由. 6 (3)请直接写出关于x的不等式x+b<-°的解集， 山东中考试题汇编·数学8-4 21.(本小题满分12分) 如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山.为了测得大厦的高度，小伟首先登 至小山的最高处E,测得B,D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高 20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°，33.3°.已知点A,B,C,D,E,F均在同一平面 内，AC为水平地面，AB=12m.请求出大厦CD的高度.（结果精确到0.1m,参考数据见下表） 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） sin⑦0○8= 0.94 70.86 333 68.5% tan⑦o⊙8= 2.87 cos68⊙○⑤= 0.37 tan68⊙⑤= 2.54 tan3③⊙③=○ 0.66 tan2⑦⊙⑦= 0.53 22.（本小题满分13分) 如图，一条抛物线y=a24b+与：轴相交于A(-1,0),5(5,0)两点，与)轴相交于点C (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)问在抛物线上是否存在点P,使得∠ABC=2∠PAB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明 理由 (3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D,再将抛物线沿直线CD 平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M).设这两条抛物线的交点为Q. ①求旋转角度的正切值 ②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离. D AO B 备用图 山东中考试题汇编·数学8-5 23.（本小题满分13分) 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的 研究性学习. 【探究感悟】 如图1，小明在边AB上取点E(E不与A,B重合)，连接DE,将△ADE沿DE翻折，使得点A的对应 点A恰好落到对角线BD上，则此时线段BE的长是 【深入探究) 小明继续将△ADE沿DE翻折，发现A,B,C三点能构成等腰三角形.请求出此时线段BE的长 【拓展延伸】 如图2，小明又在边CD上取点F(F不与C,D重合)，并将四边形ADFE沿EF翻折，使得点A的对 应点A,恰好落在边BC上.记AD(D1为D的对应点)与CD的交点为G,连接AD,小明再次发现 线段EF与AD,的长度之和存在最小值.请求出此时线段CG的长. 图2 山东中考试题汇编·数学8-6项目3组方案： 证明：如图3，.·CF⊥AD,BE⊥AD, F D 图3 .∠AFC=∠CFD=∠BED=90°. 又：∠1=L2,∴.△ABE△ACF, AB BE AC CF .∠BDE=∠CDF,.△BDE∽△CDF, BE BD AB BD CFCD'AC CD …7分 (以上选择一种方案证明即可) (3)证明：如图4，：AD平分∠BAC, A D 图4 ∠1=∠2,4BBD 'AC CD AE=DE,∠3=∠DAE, ∴.∠B+∠1=∠2+∠4，∴.∠B=∠4 又：LBEA=∠AEC,∴△ABE∽△CAE, AB AE BD AE AC-CE CD CE 又：AE=DE,∴CDCE BD DE ..10分 25.解：(1)：抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),C(0,5), 0=1-6+c解得=4， (5=c, (c=5, 抛物线的表达式为y=-x2+4x+5.…4分 (2)抛物线的表达式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, .抛物线的对称轴为直线x=2,点B的坐标为(5,0).… …5分 如图所示，点A,B关于直线x=2对称，连接BC交对称轴于 点P,连接AP,则△ACP的周长为AC+AP+CP=AC+BP+ CP≥AC+BC,故点P即为所求 101 设直线BC的表达式为y=mx+n(m≠0)， 0-5m+n,解得m, .5=n, ln=5, .直线BC的表达式为y=-x+5.…7分 当x=2时，y=3, ..点P的坐标为(2,3).…8分 (3)点N的坐标为(-3，-16)或(3,8)或(1,8).…12分 2 8.淄博市2025年初中学业水平考试 答案速查 题号123 45 6 78910 答案CAACD 11.2(x+3)(x-3)12.136°13.50<x<6014.2515.100 全解全析 1C【解析】.-√5<-2<-√2<-1<0，-√2是无理数， .比-2大的无理数是-√2.故选C. 2.A【解析】从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间 有1个正方形.故选A. 3.A【解析】8160亿用科学记数法表示为8.16×10".故选A. 4.C【解析】这组数据从小到大排列为3,4,5,5,6,6,6,7,7,8， 处于中间的两个：据为6,6，故中位数为616-6 2 在这组数据中出现次数最多的是6，故众数为6.故选C 5.D【解析】设EC与AB交于点F,如图. .ABCD,∴.∠BFE=∠2=60°， 3 ∴.∠3=∠BFE-∠1=60°-36°=24°.故 A1明 -B 选D. 6.B【解析】设李白的壶中原来有酒x斗， cA△2 -D 由题意，得2[2(2x-1)-1]-1=0, 7 解得x=8故选B. 7.D【解析】小：分式 1-2有意义， 1,x-3」 x+1≠0， x-3≠0， （x-2≠0， 解得x≠-1且x≠2且x≠3.故选D. 8.B【解析】设DB的中点为O,即圆心为0O,半径为T,连接 OE,如图. .圆与AC相切于点E, OE⊥AE, 则0A2=0E2+AE2,即(5+r)2=2+102, 解得r=7.5, D .∴.AB=AD+DB=5+7.5×2=20 又C=90°， OE 7.5 3 BCBC .∴.sinA= 0A5+7.55=AB20' .BC=12.故选B. 9.C【解析】过点Q作QE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP交 AP的延长线于点F,连接AC交孤于点P,,如图，则∠QEP= ∠CFP=90°. 由旋转的性质，得PC=PQ,∠QPC=90°， D .∴.∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°， ∴.∠EQP=∠FPC, ∴.△QPE≌△PCF(AAS),.EQ=PF .PF≤PC， ..EQ≤PC,AP+PF≤AP+PC≤AC, 即当点P与点P1重合时，EQ的值最大 为CP,的长. ·四边形ABCD是正方形」 .∠ADC=90°，AD=AP,=CD=AB=1, .AC=√AD2+DC=√2， 8 .EQ的值最大为CP1=√2-1， △MP0的最夫而软是1x(,2-1)=发选C 10.D【解析】设点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b), 则在B的坐标为(a,,点D的坐标为（兮写）】 又：点D在反比例函数y=的图象上， 1 ,1 又点E,F在反比例函数的图象上， 点P的坐标为)点B的生标为，)。 90BE=6-1b 18 ∴.BF=a- 9a 9 Sam宁r,0c宁×号ab=24解释b=5, ∴.S△0Er=S矩形0ABc-S△0CF-S△OB1-S△BBF 11 11 188 =b-2×gb-2×gb-2×9x9b 40 一故这D 11.2(x+3)(x-3)【解析】2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3). 12.136°【解析】∠B0D=90°，∠C0D=44°， .∴.∠B0C=∠B0D-∠C0D=90°-44°=46°. .·∠A0C=90°，..∠A0B=∠A0C+∠B0C=90°+46°=136° x>45, 13.50<x<60【解析】根据对话，可得{x>50,解得50<x<60. x<60, 14.25【解析】过点A作AG∥EF交BC于点G,过点A作 AK⊥AP交CB的延长线于点K,过点G作GH⊥AK于，点H, 如图，则∠KAP=∠KHG=90°， A D ∠GAP=∠PQF=45°. Q 459 .·四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,LABG=∠BAD= H ∠ADP=90°，CD=AB=4,AD=KB BC=6, .四边形AGFE为平行四边形，EF=AG 点P是CD的中点，.DP=2. ∠KAP=∠BAD=90°，∠KAB=∠PAD, .∴.∠AKB=∠APD, mL=m∠Am,服欲0-9-3， ..BK=4 ,孤=36H, 3v0. 六AK=VAB2+BK= 又∠KAP=90°，∠GAP=45°，.∠HAG=45°， AM=c,Ak=AK=子c=子而， 3 ∴.AH=HG=√10，∴.EF=AG=√A+HG=25. 15.100【解析】画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2= (1+1)块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4=(1+1+2)块 区域： 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7=(1+1+2+3)块 区域； … 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成1+1+2+3+…+n= [1+(n+1]块区域 2 将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， 1+n(n+1D≥500，即n(n+1）≥998. 2 又.99×100=9900<9998,100×101=10100>9998， .至少要画的直线条数是100. 解题关键解决这类问题首先要从简单等式入手，抓住 随着“编号”或“序号”增加时，后一个等式与前一个等式 相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的 变化规律，从而推出一般性的结论. 16.解： y=2,① (2x+3y=12,② ②-①×2，得3y+y=12-4,解得y=2.…5分 把y=2代人②，得x=3, 小方程短的部为2 …10分 17.证明：(1)D,F分别为边AB,BC的中点， .DF是△ABC的中位线，AD=BD, ∴.DFAC,∴.∠A=∠FDB. 又'：∠AED=∠DFB,.△AED≌△DFB(AAS).·5分 (2).·△AED≌△DFB,∴.∠ADE=∠B,.DE∥BC 又：DFAC,.四边形CEDF是平行四边形， .∠C=∠EDF. …10分 解法指导 证明三角形全等的思路 (找夹角→SAS 已知两边{找直角→HL (找第三边→SSS 边为角的对边→找任一角→AAS 已知一边和一角边为角找夹角的另一边-SAS 找夹边的另一角→ASA 的一边我边的对角一→AAS 已知同肉级在资0生夫)一A5 18.解：(1)设大巴车的速度为xkm/h,则中巴车的速度为 1.25xkm/h. 根据题意，可列方程为240240.36 x1.25x601 獬得x=80.…3分 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意.…4分 答：大巴车的速度是80km/h.…5分 (2)设参加本次活动的学生人数是y,则成人人数为 (200-y). 根据题意，可列方程为10y+30(200-y)=2200,…8分 解得y=190。……9分 答：参加本次活动的学生人数是190.…10分 19.解：(1)201090 …3分 [提示]由题图可知抽取的学生的总数量为35÷35%=100， 由扇形统计图可知第5组人数6-=×100=10， 9 则第2组人数a=100-(10+35+25+10)=20. 第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是 100×360°=90. 25 (2)补全频数分布直方图如图. 结业成绩频数分布直方图 频数 35 30 25 20 15H 10 5 0 7580859095100成绩/分…6分 (3)设2名男生为a,b,3名女生为1,2,3，则随机选出2人， 有下列组合： (a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2), (1,3),(2,3), 共10种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的 有6种， 故恰好是1名男生和1名女生的概率为6-3 105…10分 20.解：(1)把A(m,1)代入y=-6(x<0),得m=-6, .点A的坐标为(-6,1) 把C(3,)代入y=2(20),得n=4, .点C的坐标为(3,4). 把点A(-6,1)和C(3,4)代入y=x+6,得6+6=1， 3k+b=4, 解 k23' b=3, 直线AC对应的函数表达式为y=3x+3,. …4分 (2)△ACD是等腰直角三角形.理由如下： 由作图，可得DA=DC,即DA2=DC2. 设点D的坐标为(0，d), 则62+(1-d)2=32+(4-d)2,解得d=-2, .DA2=DC2=62+(1+2)2=45. AC2=(3+6)2+(4-1)2=90, .DA2+DC2=AC2」 .△ACD是等腰直角三角形 …8分 (3)关于x的不等式x+b<-6的解集为x<-6或-3<x<0. …12分 21.解：如图，延长FE交地面于点G,过点B作BM⊥FG于点 M,过点D作DN⊥FG于点N,…1分 则四边形ABMG,CDNG是矩形， ∴.AB=GM=12m,CD=NG. 70.86 33.3 在Rt△BME中， 68.5 7 .:∠EBM=68.5°， D tan∠EBM=EM BM' EM ∴.BM= tan∠EBM …6分 FM 在Rt△BMF中，.：∠FBM=70.8°，tan∠FBM= BM 3 FM ∴.BM= tan∠FBMi ERNF,即W20Pu EM FM 2.542.87 解得FM≈173n94.…9分 同理EN FN an∠DN-∠m,2OFW 0.530.66 獬得FN≈101.54，…11分 ∴.CD=NG=FM+MG-FN≈173.94+12-101.54=84.4(m). 答：大厦CD的高度为84n8m.…12分 22.解：（1)：抛物线y=x2+bx+5与x轴相交于A(-1,0), B(5,0)两点，将两点坐标代入抛物线表达式，得 @x(-)2+6x(-1D+2=0, 1 解得 a=-2' ax52+bx5+ 2=0, （b=2, 六抛物线对应的函数表达式为y宁42x 。…3分 （2)存在“y=分+2+当=0时， 5 5 co.) 作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,如图1，则CE=BE, ∴.∠ECB=LABC, ∴.∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC. B(5,0,c0,20B=5,0c= 5 设OE=m,则CE=BE=5-m ty 在Rt△COE中，由勾股定理，得 =(5-m)2, AFE B 设直线CE的表达式为y=k“+2 (0),把（侣0）代入，得0 P 图1 15, 4 +2,解得=-3 :.直线CE的表达式为y=3+2 45 过点A作AP,∥CE交y轴于点F,交抛物线于点P1,如图1， 则LP1AB=∠CEA=2LABC,此时P,符合题意 设直线4，的表达武为y=-号+，把A(-1,0)代人，得 0=子×(-l1)+n,解得n=3 4 4 直线AP,的表达式为y=-33 44 44 Y=- 33’ 联立 1 5 =-2+2x+2 0 23 x= 3 解得 Y=- 4 4 ,y= 当x=0时y=子0，) 作点F关于x轴的对称点C,连接AG,则c0,）,∠GB= ∠BAF=2∠ABC, .直线AG与抛物线的交点P2也满足题意， 同理，可得直线AG的表达式为)=3+3， 44 44 7 y=3x+31 x=3 联立 解得 1 J 或/1, 40 =2+2x+ (y=0, Y=- 9 n(39) 惊上，点P的华标为管，1g)或（仔9）】 …7分 (30:y-2r 2x-2y+2,) 51 2 又：co), 5 ·易得直线CD的表达式为y=+ 由题意，得∠BCD即为旋转角，作BE∥CD交y轴于点E,作 CW⊥BE于点N,如图2，则∠CBN=∠BCD, 1/0 E 图2 ∴.tan LCBN=tanL BCD.. 同理，可得直线BE的表达式为y=x-5, .当x=0时，y=-5,.E(0,-5), ÷0B=0B=5,CB=5+5=15 22BE=5v2. 5GN-CE 0 5CN=15 1 2 ×5 ·CW=152 4 BN=BC-CN52 125w5 4 CN .tan∠BCD=tan∠CBN= =3. … 10分 BN ②.CDBE,.将抛物线沿直线CD平移，等同于将抛物线 沿直线BE平移， .OB=OE, “.抛物线在水平方向和竖直方向上移动的距离相等。 3 设将抛物线向右和向上分别平移t(t>0)个单位长度，得到 新的抛物线，则新的抛物线的表达式为y=2(x-2-)2+ 2, 9 M2*t,2 y=- 2(x-2-)2+9 [=+2 联立 解得 2(x2)2+ 9 y=- 2’ y=- 8t2+4, 2*4 作QK⊥y轴于点K,ML⊥QK交KQ的延长线于点L,如图3， M ------L R E 图3 L0=LMQ=90°=∠cQM,CK=+-4 824= 822,QK=42 2t3 22,M9 ,QL=2+6-42=+2 +t+8 2,t,1 4=822 .∠CQK=∠QML=90°-∠MQL,.△CQK∽△QML, S%-CK·Mm=Q·QK, (低》（传）(， 解得t=2+42或t=-2(舍去)或t=2-42(舍去)， ∴.抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为2+42， .抛物线的平移距离为√2(2+4√2)=2√2+8， 当抛物线沿直线CD向下移动时，同理可得抛物线的平移距 离为2(-2+42)=-22+8. 综上，原抛物线平移的距离为±22+8.…13分 23.解：【探究感悟】8-42…3分 [提示]四边形ABCD为正方形，边长为4， .AD=AB=BC=CD=4,∠DAB=∠ABC=∠DCB=∠ADC= 90°，∠DBA=45°，∴.BD=4W2. 由翻折的性质，得∠DA,E=∠A=90°，A,D=AD=4, ∴.∠BA1E=90°，BA1=BD-A1D=4V2-4. :∠DBA=45°，∴△A,EB为等腰直角三角形， .BE=√2BA1=√2×(4V2-4)=8-42. 【深入探究】：△A,BC为等腰三角形， ·.存在以下两种情况： ①当A1C=BC时，如图1，作A1F⊥CD于点F,延长FA1交 AB于点G, 则四边形ADFG为矩形， ∴.DF=AG,FG=AD=4. .BC=CD,..A C=CD 由翻折的性质， 得AD=AD,∠DA,E=∠A=90°， ∴.A1C=CD=AD, .△A1CD为等边三角形， .∴.∠DAC=60° A1F⊥CD, ∠DM,F=号∠DA,C=30,DF=CF=2CD=2, 2 .A1F=√3DF=23,∠GA1E=180°-∠DA1E-∠DA1F=60°， .A,G=FG-A,F=4-2W3. 在Rt△A,GE中，EG=A,G·tan60°=(4-25)·√3= 43-6. .AG=DF=2...BG=AB-AG=2. .BE=BG+EG=2+4W3-6=4V3-4 ②当A,C=AB时，如图2，作A,F⊥CD于点F,延长FA1交 AB于点G,作AH⊥BC于点H, 则CH=M=BC=2,四边形CM,H为 矩形，四边形BGFC为矩形， ..A F=CH=2,BG=CF,FG=BC=4, ∴.A1G=FG-A1F=2. 在Rt△A,FD中， 图2 A1F21 .'sin∠A,DF A1D4=2, .∠A1DF=30°，∴∠FA1D=60°，DF=√3A1F=23, .∴.BG=CF=CD-DF=4-2N3,∠EAG=180°-∠DAF- ∠DA,E=30° 在t△A,GE中，EG=A,G:tam30°_25 3 BE=BG+EG=4-23+25=443 =4 3 3 综上，BE=43-4或BE=4 4v3 3 …8分 【拓展延伸】连接AA1,A1D,A,D交AD1于点0，作FK⊥AB 于点K,如图3，则四边形ADFK为矩形， ·.FK=AD=AB,LFEK+D ∠KFE=90°. 由翻折的性质，得AE=A,E, A,D1=AD,AA1⊥FE,∠GAE= ∠DAB=90°，OA=OA1, OD=0D, 图3 ∴.∠A1AB+∠FEA=90°，A1D= AD1,.∠BAA1=∠KFE. 又.·∠FKE=∠ABA,=90°，FK=AB, .△EFK≌△A1AB(ASA),.EF=AM1 ∴.EF+AD1=AA1+AD. 作点A关于BC的对称点A',连接A1A',连接A'D交BC于 点M,如图3，则A'B=AB=CD,A,A'=AA1, .∴.EF+AD1=AA,+A,D=A'A1+A,D≥A'D, .当点A,在A'D上，即点A,与点M重合时，EF+AD,=A'D 的值最小. 3 如图4， D G .·∠DCA1=∠A'BA1=90 D ∠CAD=∠BA1A',CD=BA', .△CDA,≌△BA'A1(AAS), .CA=BA1, .A1为BC的中点， B 图4 cd,=B陆，=78c=2 设AE=AE=x,则BE=AB-AE=4-x. 在Rt△A1BE中，由勾股定理，得x2=22+(4-x)2, 解得之AG=了E=AB-A他=多 ∠ABC=∠C=90°=∠GA,E, ∴.∠BEA1=∠CA1G=90°-∠BA,E,.△A1CGn△EBA1, 竖子 23G8 …13分 解法指导解决折叠问题的一般思考过程 图形折叠的本质是轴对称，解决折叠问题的关键是寻找图 形中相等的线段、角.解决此类问题的一般思考过程如下： (1)利用轴对称的性质找到折叠前后的不变量与变量. (2)根据题目中已知角、线段之间的关系，结合三角形的 内角和定理、三角形的内角与外角的关系，把待求解的线 段或角转移到相应的直角三角形、等腰三角形等特殊三角 形中进一步求解.如题目让求某个角的三角函数值，常用 的方法是构造直角三角形或在已知直角三角形中找到相 等角，进而进行求解. (3)若简单的等量关系不能直接解决问题，则思考能否在 构造出来的三角形中运用勾股定理、锐角三角函数、三角 形的全等或相似等知识建立有关线段、角之间的联系. (4)解答折叠问题中的计算问题，有时还需要将折叠图还 原，而后利用折叠前后对应三角形、线段、角的关系以及相 似三角形的性质、勾股定理等进行下一步的计算. 9.山东省2024年初中学业水平考试 (枣庄、聊城、菏泽、临沂) 答案速查 题号123456789 10 答案ADCD DB A CBC 11.y(x+2) 2-1(答案不唯-）13.4 14.40°15.√2 16.(2,1) 全解全析 1A【懈折1：=9，（分）-(-=1.(-2-4 肠<1<4<9，心平方最大的数是3.放选A 2.D【解析】A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 此选项不合题意 B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合 题意. C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合 题意