5 倒数的认识（导学案）新六年级数学暑假自学课（人教版·新教材）

六年级上册数学暑假导学案 专题五 倒数的认识 【思维导图】 【考点精讲】 考点一：倒数的认识 乘积是1的两个数互为倒数。 【典例分析】连一连。（将互为倒数的两个数连起来） 【答案】 【分析】找分数的倒数，只需把它的分子、分母交换位置；整数的倒数可以看作分母是1的分数，再交换分子分母；找小数的倒数，先将小数化成分数再交换分子分母的位置。 【详解】的倒数是； 的倒数是，即； 1的倒数是1； 0.25＝，所以0.25的倒数是4。 连线略。 【变式训练1】如果m＞1，则m的倒数一定小于1。( ) 【变式训练2】下列说法正确的是（    ）。 A．0的倒数是0 B．乘积是1的两数互为倒数 C．如果一个数是，那么它的倒数是 D．任何不等于0的数的倒数都大于1 【变式训练3】( )( )。 考点二：与倒数有关的综合计算 【典例分析】如果x，y互为倒数，那么“”的计算结果是（    ）。 A．3 B．5 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数。与互为倒数，则它们的乘积，将代入含有字母的式子中求值即可。 【详解】因为，互为倒数，所以； 则 【变式训练1】( )( )( )( )。 【变式训练2】如果m、n互为倒数，那么×＋的结果是（    ）。 A．1 B． C．无法确定 【变式训练3】有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 考点三：自然数与倒数的和与差 【典例分析】一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是( )；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是( )。 【答案】2 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；把2.5化成带分数；2.5＝，再把带分数化成整数与真分数，据此求出这个自然数；一个自然数的倒数肯定是分子是1的真分数，做差时，这个自然数要拿出一个1来减去真分数，所以结果的整数部分＋1就是原来的这个自然数，据此解答。 【详解】2.5＝ ＝2＋，2和互为倒数，所以这个自然数是2。 3.75＝ 3＋1＝4 1－＝ 4和互为倒数，这个自然数是4，所以这个自然数的倒数是。 一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是2；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是。 【变式训练1】两个自然数的倒数之和是，这两个自然数可能是( )和( )；也可能是( )和( )。 【变式训练2】一个非零自然数与它的倒数的和一定大于1。( ) 【变式训练3】两个连续的奇数的倒数差是，这两个连续的奇数分别是( )和( )。 【综合训练】 1．先观察再解答。 （1）因为×＝1、×＝1，所以和、和叫做互为倒数。下面的两个互为倒数的乘积，你知道是多少吗？直接写出得数。 ×＝（    ）       ×＝（    ）      2×＝（    ） （2）你能写出下面各数的倒数吗？            2．( )( )( )( )。 3．下面说法正确的是（    ）。 A．1的倒数是1，0的倒数是0 B．3和都是倒数 C．6和互为倒数 4．如果a和b互为倒数，那么和也互为倒数。( ) 5．真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。( ) 6．下面四幅图中的a和b表示不同的数，则图（    ）中的a和b互为倒数。 A．三角形的面积为1 B．线段总长度为1 C．长方形的面积为1 D．长方体的体积为1 7．的倒数是( )；0.2与( )互为倒数。 8．因为，所以，，互为倒数。( ) 9．的倒数与的倒数和是多少？与的和的倒数是多少？以下结果正确的是（    ）。 A．； B．； C．； 10．最小的质数的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 11．如果a与b互为倒数，那么＝( )。 12．1的倒数是1，0.5的倒数是2，但是，0为什么没有倒数？请将理由写在横线上。 ________________________________________________________________________________ 13．一个自然数与它的倒数的差是，这个自然数是多少？ 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 考点一 【变式训练1】√ 【分析】根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数。对于一个大于的数，将其看作分母为的假分数，调换分子和分母的位置后，得到的倒数分子为，分母大于，即为真分数。真分数小于，据此判断即可。 【详解】根据分析可知，的倒数是。因为，所以的分子小于分母。分子小于分母的分数是真分数，真分数小于。例如：，的倒数是，。所以的倒数一定小于。故原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】B 【分析】依据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；特殊数0没有倒数；1的倒数是1；真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1。据此逐项判断。 【详解】A．0没有倒数，此选项错误； B．根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数，此选项正确； C．当时，无意义，题干未说明，此选项错误； D．例如2不等于0，它的倒数是，而，此选项错误。 【变式训练3】/ 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，用1除以一个数，即可求出这个数的倒数。交换分子分母的位置可以得到分数的倒数。 【详解】交换分子分母的位置，得到的倒数是。 1÷2＝。 因此。 考点二 【变式训练1】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，如果一个因数是分数，调换分子与分母的位置，即可求出另一个因数；如果一个因数是小数，可把小数化成分数，再调换分子与分母的位置，即可求出另一个因数； 两个数的和是1，则用1减去其中一个加数，即可求出另一个加数； 两个数的差是1，则用被减数减去差，即可求出减数。 【详解】的倒数是，所以； 0.5＝，的倒数是2，所以； ，所以； ，所以。 所以，结果如下： ＝＝＝＝。 【变式训练2】B 【分析】互为倒数的两个数乘积是1，据此可知mn＝1，根据分数乘分数的计算方法把给出的算式进行化简，并把mn＝1代入计算出结果即可。 【详解】×＋＝＋ 因为mn＝1，所以＋＝＋1＝＋＝。 如果m、n互为倒数，那么×＋的结果是。 故答案为：B 【变式训练3】2025 2020 【分析】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【详解】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 考点三 【变式训练1】12 2 3 4 【分析】非0的自然数的倒数是分子为1的分数，根据7＝1＋6＝3＋4＝2＋5，把拆解为两个分数的和，找出符合条件的即可解答。 【详解】＝＝＋＝＋或 ＝＝＋＝＋或 ＝＋（不符合题意，的倒数不是自然数） 所以这两个自然数可能是12和2，也可能是3和4。 【变式训练2】√ 【分析】一个非零自然数分为两类，大于1、等于1，大于1的数的倒数小于1，等于1倒数是1，据此分析它们的和与1的大小关系。 【详解】大于1的数的倒数小于1，它们的和：大于1的数＋小于1的数＞1； 等于1倒数是1，1＋1＝2＞1； 所以一个非零自然数与它的倒数的和一定大于1，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查倒数的意义，解答此题应注意0没有倒数，1的倒数是1。 【变式训练3】11 13 【分析】两个连续奇数一定是互质数，它们的倒数差的分母是这两个连续奇数的积。那么由143＝11×13可把143拆成两个奇数11和13的乘积即可得解。 【详解】由分析可得：143＝11×13，，那么这两个连续的奇数分别是11和13。 【综合训练】 1．（1）1；1；1； （2）；；；； 【分析】（1）观察已知算式可知：两个互为倒数的数的乘积是1； （2）观察已知算式可得：求真分数、假分数的倒数，将分子和分母互换位置即可；据此解答。 【详解】（1）×＝1    ×＝1      2×＝1 （2）的倒数是 的倒数是 的倒数是 的倒数是 的倒数是 【点睛】理解已知算式，找出两个互为倒数的数的乘积是1、求真分数、假分数的倒数，将分子和分母互换位置即可，是解题的关键。 2． 1 【分析】两个数的乘积是1，这两个数互为倒数。 分数的倒数就是将分子和分数互换位置； 小数的倒数，先将小数转化为分数，再互换分数分子分母的位置； 1的倒数是本身； 带分数的倒数，先将带分数转化为假分数，再互换分数分子分母的位置； 【详解】0.75＝ 则 3．C 【分析】倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，因为0乘任何数都为0，不能得到1。倒数是对两个数而言，是两个数相互依存的一个概念，不能单独说某个数是倒数。据此解答。 【详解】A．1的倒数是1，但0没有倒数，所以选项错误。 B．3×＝1，3和互为倒数，不能单独说都是倒数，所以选项错误。 C．因为6×＝1，所以6和互为倒数，该选项正确。 故答案为：C 4．√ 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积为1，则它们互为倒数。因此，若a和b互为倒数，则a×b=1。然后验证和的乘积是否等于1即可。 【详解】 将代入： 因此，和的乘积为1，满足互为倒数的条件。 故答案为：√ 5．× 【分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数，真分数＜1；分子大于分母的分数为假分数，假分数大于等于1。乘积为1的两个数互为倒数。由此可知，所有的真分数的倒数大于1，所有的假分数的倒数小于或等于1。 【详解】例如是真分数，它的倒数是，＞1。是假分数，它的倒数也是，但＝1。所以假分数的倒数也有可能等于1。原说法错误。 故答案为：× 6．C 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。据此再结合三角形面积＝底×高÷2、长方形面积＝长×宽、长方体体积＝长×宽×高，分析解题。 【详解】A．a×b÷2＝1，则a和b不互为倒数； B．a＋b＝1，则a和b不互为倒数； C．a×b＝1，那么a和b互为倒数； D．b×a×a＝1，则a和b不互为倒数。 故答案为：C 7． 5 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。分数的倒数是将分子和分母交换位置。据此计算解答即可。 【详解】的分子是2，分母是5，交换分子分母的位置，即。 1÷0.2＝5 的倒数是；0.2与5互为倒数。 8．× 【分析】倒数的意义是：乘积是1的两个数互为倒数，应强调是两个数之间的积，而不是三个数之间的积。 【详解】是三个数的乘积为1，不满足倒数的定义。 故答案为：× 9．C 【分析】前者根据相乘等于1的两个数互为倒数，可先求出，的倒数，再求和。后者先求和，再根据倒数的定义求和的倒数。 【详解】，的倒数分别为，，。，的倒数为。 故答案为：C 10． 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4。若两个非零自然数相乘的积为1，则这两个数互为倒数，分数的倒数直接分子分母交换位置即可。 【详解】（1） （2） 所以，最小质数的倒数是，最小合数的倒数是。 11． 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。据此进行计算化简，并将ab＝1代入求值即可。 【详解】a与b互为倒数，那么ab＝1，＝＝＋1＝。 12．①0乘任何数都不等于1；②0不能做除数。 【分析】根据倒数的含义：乘积为1的两个数互为倒数。所以倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是1。根据定义，可以用1来除以这些数求出一个数的倒数。因为0不能做除数，所以0没有倒数；据此解答。 【详解】1÷1＝1 1÷0.5＝2 所以1的倒数是1，0.5的倒数是2。 0乘任何数都不等于1，等于0，不符合倒数的定义。 另外0不能做除数，所以不能用1去除以0，也就说明0没有倒数。 【点睛】此题主要考查倒数的认识，掌握求一个数的倒数的方法。 13．22 【分析】一个自然数的倒数肯定是分子是1的真分数，所以做差时，这个自然数要拿出一个1来减去真分数，所以结果的整数部分＋1就是原来的这个自然数。 【详解】自然数22，它的倒数是，。 答：这个自然数是22。 【点睛】此题考查倒数的应用，了解一个自然数的倒数一定是一个真分数是解题的关键。 6 / 13 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $