3 分数、小数混合运算及运算律（导学案）新六年级数学暑假自学课（人教版·新教材）

六年级上册数学暑假导学案 专题三 分数、小数混合运算及运算律 【思维导图】 【考点精讲】 考点一：分数与小数乘法 分数与小数相乘时，可以将小数变成分数、也可以将分数变成小数再计算， 还可以先约分再计算。 【典例分析】    （填小数）＝（    ）      【答案】12；；0.5；1.2    5；3；；1；0.03；0.33 【分析】小数乘分数计算法则，把小数化成分数，然后按照分数乘分数的法则进行计算。分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的先约分再计算会更简便。如果分数能化成有限小数，可把分数化成小数，再按照小数乘法的法则进行计算。小数乘法先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 当小数与分数的分母存在倍数关系时，可以直接约分，然后再计算。以此答题即可。 【详解】 （填小数）＝（1.2） 【变式训练1】求6个2.5是多少，列式是( )；求6的1.5倍是多少，列式是( )；求2.1的十分之七是多少，列式是( )。 【变式训练2】0.7×，我们可以把0.7化成( )数进行计算，也可以把化成( )数进行计算。 【变式训练3】计算下面各题。 ＝                  ＝ ＝                 ＝ 【变式训练4】鸵鸟是现在世界上最大的主鸟，身高可达2.5m。一只成年的帝企鹅身高是鸵鸟的。成年帝企鹅的身高是多少？ 考点二：分数乘法混合算计简算 分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同。我们已经学过整数和小数的乘法运算律， 这些运算律在分数运算中依然适用 【典例分析】用简便算法计算下面各题。                         【答案】；；0；5 【分析】分数的连乘，可以将分子和分母相同数先约分然后再将互为倍数的分子和分母约分。即可以将中的分子11和中分母的11先约分。然后再计算。 利用乘法的分配律提出，再将剩下的数相加即可。 先将0.25转化为小数为，再利用乘法的分配律将剩下的数相加，相减。 先利用乘法的分配律将括号外面的11分别与括号里面的数相乘，再利用加法的结合律将同分母的分数相加即可。 【详解】 ＝ ＝ 【变式训练1】计算下列各题，能简算的要简算。                                                                  【变式训练2】脱式计算。                                                      【变式训练3】计算下面各题，能简算的要简算。                  【综合训练】 1．×（________×________），这是运用了________律。 2．小马虎在计算（a＋）×5时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差( )。 3．根据乘法的运算定律填空。 (1)×40×＝×_____×_____＝_____。根据____________。 (2)×＋×＝_____×（_____＋_____）＝_____。根据____________。 (3)（＋）×20＝_____×_____＋_____×_____＝_____＋_____＝_____。根据____________。 4．2.5米的是( )米，2.8吨的是( )吨。 5．在计算2.4×时，（    ）来计算比较简便。 A．化作分数 B．直接约分再算 C．化作小数 6．计算时，算式（    ）最合理。 A． B． C． D． 7．下列各式中，（    ）与的值不相等。 A． B． C． D． 8．与相等的算式是（    ）。 A．25×＋1 B．25×－ C．25×＋ 9．下面四个算式中，计算结果相等的是（    ）。 ① ② ③ ④ A．①和③ B．②和③ C．①和④ 10．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（    ）。 A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 11．用简便方法计算。            12．我会算。（怎样简便怎样算）                   13．观察下列各式： ，，，… （1）照上面的规律，再写出两个不同的等式。 （2）根据你发现的规律填一填，（    ）。 （3）计算：。 14．某地某一时刻测量出一根实际高10m的旗杆的影长为4.5m，即此时物体的影长是物体实际高度的。同时同地，一棵大树比这根旗杆高6.4m。这棵大树的影长为多少米？ 15．空气是一种混合物，它主要由氧气和氮气组成。1升空气中氧气的体积约占，氮气的体积约占。30.6升空气中含氧气和氮气各约多少升？ 16．有一块长方形菜地，长20.4米，宽是长的，这块菜地的面积是多少平方米？ 参考答案 考点一 【变式训练1】 6×2.5 6×1.5 2.1× 【分析】求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，列式为6×2.5；已知一个数，求这个数的几倍是多少用乘法计算，列式为6×1.5；已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算，列式为2.1×，据此解答。 【详解】6×2.5＝15 所以，6个2.5是15。 6×1.5＝9 所以，6的1.5倍是9。 2.1× ＝× ＝ 所以，2.1的十分之七是。 【点睛】掌握小数乘整数和分数乘法的意义是解答题目的关键。 【变式训练2】 分 小 【分析】计算分数乘小数时，可以先把小数转化为最简分数，再按照分数乘分数的计算方法约分计算；也可以把分数化成小数，按照小数乘小数的计算方法计算；据此解答。 【详解】由分析可得：0.7×，我们可以把0.7化成分数进行计算，也可以把化成小数进行计算。 【点睛】掌握分数乘小数的计算方法是解答题目的关键。 【变式训练3】；1.5；；2 【分析】小数乘分数的计算方法：（1）把小数化成分数计算；（2）如果分数能化成有限小数，也可以把分数化成小数计算；（3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。 【详解】＝＝                   ＝＝1.5 ＝＝                   ＝＝2 【变式训练4】1.2m 【分析】已知鸵鸟的身高可达2.5m。一只成年的帝企鹅身高是鸵鸟的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答即可。 【详解】1.2（米） 答：成年帝企鹅的身高是1.2米。 【点睛】本题考查分数乘法，明确求一个数的几分之几是多少用乘法是解题的关键。 考点二 【变式训练1】2；；1 ；； ；12；2.3 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （4）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （5）根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （6）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法； （7）先算乘法，再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算； （8）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （9）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【变式训练2】；； ；0； 【分析】（1）根据分数乘分数的计算方法，分子和分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母；在计算过程中能约分的先约分，再计算； （2）从左往右依次计算； （3）先算乘法，再算减法； （4）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法； （5）先算两个乘法，再算减法； （6）先算括号里面的减法，算式变成，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式训练3】15；3.9；； 【分析】利用乘法分配律进行简算 利用乘法分配律进行简算 将99拆成（98＋1），利用乘法分配律进行简算； 利用乘法分配律先把括号拆开再进行简算 【详解】 ＝ 【综合训练】 1． 25 4 乘法结合 【分析】乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。 【详解】，这是运用了乘法结合律。 2．4a 【分析】括号漏看了，原式变为：a＋×5，根据乘法分配律，将原来算式变换成5a＋×5，再减去减去a＋×5，即可解答。 【详解】（a＋）×5－（a＋×5） ＝5a＋×5－a－×5 ＝4a 小马虎在计算（a＋）×5时，把括号漏看了，这样算出结果与正确结果相差4a。 3．(1) 40 40 乘法交换律 (2) 乘法分配律 (3) 20 20 4 5 9 乘法分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；（a＋b）×c＝a×c＋b×c； 三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，叫做乘法结合律；a×b×c＝a×（b×c）； 乘法交换律是一种计算定律，两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律；a×b＝b×a；据此解答。 【详解】（1）×40×＝××40＝40。根据乘法交换律。 （2）×＋×＝×（＋）＝。根据乘法分配律。 （3）（＋）×20＝×20＋×20＝4＋5＝9。根据乘法分配律。 4． 0.5 0.8 【分析】求2.5米的，就用2.5×，求2.8吨的，用2.8×，据此解答。 【详解】2.5×＝2.5×0.2＝0.5（米） 2.8×＝0.8（吨） 2.5米的是0.5米，2.8吨的是0.8吨。 5．B 【分析】根据分数与小数乘法的计算法则：分数的分母与小数能约分的先约分，再计算；如果不能约分，把小数转换成分数，按分数乘分数的方法进行计算。 【详解】 在计算2.4×时，直接约分再算比较简便。 故答案为：B 【点睛】掌握分数与小数乘法的计算法则是解题的关键。 6．C 【分析】分数乘小数的计算方法：分数的分母与小数能约分的先约分，再计算；如果不能约分，把小数转换成最简分数，按分数乘分数的方法进行计算。 【详解】A．把化成小数，因为是无限小数，保留两位小数，转化成小数乘小数的计算，计算仍然有误差，计算方法不是最合理； B．计算结果不是最简分数，还要继续计算； C．把0.25化成最简分数，再与相乘，转化成分数乘分数的计算，能约分的先约分，再计算，计算方法合理； D．把0.25化成分数，不是最简分数，且计算结果不是最简分数，计算方法不合理。 故答案为：C 【点睛】掌握分数乘小数的计算方法是解题的关键。 7．B 【分析】通过计算每个选项的值，并与原式的结果比较即可得解。 A．根据乘法分配律，进行计算。 B．先计算乘法，再计算加法。 C．把第二个转化为，再根据乘法分配律，进行计算。 D．根据乘法分配律，进行计算。 【详解】 A．，与原式的值相等。 B．，，与原式的值不相等。 C．，与原式相等。 D．，与原式相等。 故答案为：B 8．C 【分析】对于，可以把26拆成（25＋1），即，根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，可得：，即。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 所以与相等的算式是。 故答案为：C 9．C 【分析】①计算时，可以根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； ②、③可以直接与①对比，可知它们的计算结果不相同； ④计算时，可以根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】① ②≠ ③≠ ④＝＝ 所以计算结果相等的是①和④。 故答案为：C 【点睛】本题考查乘法运算定律的灵活运用，明确整数乘法的运算定律对分数乘法同样适用。 10．B 【分析】根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先把分解成，再与相比较，发现它们的被减数相同，减数不同，减数比减数大，根据“被减数相同时，减数越大，差越小”。据此解答即可。 【详解】 因为，所以； 算成了的计算结果比原式的计算结果小。 故答案为：B 11．14；13；52 【分析】第一小题中运用分数乘法分配律提取公因数，则得到的式子先作括号里面的，再计算分数乘法得出答案；第二小题中运用分数乘法分配律，去掉括号，运用分数乘法计算进而得出答案；第三小题中运用分数乘法分配律，去掉括号，运用分数乘法进行简便运算得出答案。 【详解】 12．；；15；12 【分析】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 13．（1）＝（）×，＝（）× （2） （3） 【分析】（1）当分子是1、分母是两个数的乘积、且这两个数分别为n和n＋2（n为非0的自然数）时具有这样的规律：＝（－）×，据此规律写出两个不同的等式即可。 （2）根据（1）中的规律，把原式化为（1－）×＋（－）×＋（－）×＋（－）×＋（－）×，再根据乘法分配律化为：（1－＋－＋－＋－＋－）×，再进一步计算即可。 （3）把原式化为1－＋＋，再通过消项法简算。 【详解】（1）＝（）× ，＝（）×（答案不唯一） （2） ＝＋＋＋＋ ＝（1－）×＋（－）×＋（－）×＋（－）×＋（－）× ＝（1－＋－＋－＋－＋－）× ＝（1－）× ＝× ＝ （3）＋＋＋ ＝1－＋＋ ＝1 ＝ 14．7.38米 【分析】根据题意，已知一根旗杆高10米，一棵大树比这根旗杆高6.4米，先用10加上6.4，求出大树的高度；再乘，就是这棵大树的影长；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 10＋6.4＝16.4（米） 答：这棵大树的影长为7.38米。 15．氧气6.4升；氮气23.9升 【分析】根据题意，已知1升空气中氧气占，氮气占，求30.6升空气中氧气和氮气的体积，用乘法计算，用30.6乘，就30.6升空气中含氧气多少；用30.6乘，就30.6升空气中含氮气多少；把两个数保留一位小数，看百分位的数如果大于等于5，就向十分位进一，否则就舍去；以此即可。 【详解】根据分析可知： 6.426升≈6.4升 23.868升≈23.9升 答：30.6升空气中含氧气6.4升，含氮气23.9升。 16．312.12平方米 【分析】用长20.4米乘，求出宽。再根据长方形面积公式，列式求出菜地面积即可。 【详解】20.4×（20.4×） ＝20.4×15.3 ＝312.12（平方米） 答：这块菜地的面积是312.12平方米。 【点睛】本题考查了长方形的面积，长方形面积＝长×宽。 答案第1页，共2页 11 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $