陕西西安市2025-2026学年高一下学期自编期末模拟数学试卷

**基本信息** 高中数学期末卷，覆盖向量、立体几何等知识，以海洋蓝洞测量、奥运会竞赛等情境设计解答题，融合空间观念与数据意识，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|向量、复数、概率|基础概念辨析，如向量垂直、复数象限判断| |多选|3/15|统计、圆台性质|多选项设计，如方差计算、圆台表面积与体积| |填空|4/20|百分位数、投影向量|直观图面积、球表面积计算，考查空间想象| |解答|5/70|解三角形、立体几何、统计|情境化应用，如奥运会竞赛统计分析、蓝洞距离测量，综合考查推理与数据处理能力|

期末质量检测试题2 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 4. 下列说法： ①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线. 其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为(　　) A. B. C.3 D.4 8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 2、 多项选择题： 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 10. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 11.(多选)如图，一个正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)P1－AB1C1D和一个正三棱锥(底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心)P2－B2C2S所有棱长都相等，F为棱B1C1的中点，将点 P1、P2，点B1、B2，点C1、C2分别对应重合为P，B，C，得到组合体.则下列关于该组合体的结论中，正确的有(　　) A.AD⊥SP B.AD⊥SF C.AB⊥SP D.CD⊥SP 三、填空题： 12. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 13. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 14. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________. 15. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 四、解答题： 15. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos C＋c＝2a. (1)求角B的大小； (2)若cos A＝，求的值. 16.如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的平面角的正切值． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求B； （2）若，且，求的面积的最大值． 18. 第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 19. 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的大小； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末质量检测试题2 一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】由题意知，所以. 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】由题意，所以， 所以z在复平面内对应点为，它在第三象限. 故选：C. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 4. 下列说法： ①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线. 其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误； 对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误； 对于③，直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b没有公共点，a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③错误； 对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，④正确. 5.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 6. 已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】A：若，，则，故A正确； B：若，则与可能平行或相交，故B错误； C：若，，则或，故C错误； D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误. 故选：A. 7. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为(　　) A. B. C.3 D.4 答案　C 解析　∵ PD⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，∴PD⊥AE， 当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD， 此时△ABD∽△DAE，则＝， ∵AB＝2BC，∴DE＝AB＝DC， ∴＝3. 8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 【答案】D 【解析】因为，， 所以，，所以， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 2、 多项选择题： 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【解析】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为， A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD. 10. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ） A. 线段 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【解析】显然四边形是等腰梯形，， 其高即为圆台的高， 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为， 即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确. 故选：ABD. 11.(多选)如图，一个正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)P1－AB1C1D和一个正三棱锥(底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心)P2－B2C2S所有棱长都相等，F为棱B1C1的中点，将点 P1、P2，点B1、B2，点C1、C2分别对应重合为P，B，C，得到组合体.则下列关于该组合体的结论中，正确的有(　　) A.AD⊥SP B.AD⊥SF C.AB⊥SP D.CD⊥SP 答案　AB 解析　因为一个正四棱锥P1－AB1C1D和一个正三棱锥P2－B2C2S所有的棱长都相等， 所以可看作在两个相同的正四棱柱中，上底面中心O1对应正四棱锥的点P，上底面中心O2对应点S， 如图，由图形可知拼成一个三棱柱，设E为AD的中点，连接EF， 由此可知，AD⊥SP， 又因为AD⊥平面PEFS，所以AD⊥SF. 因为EF∥SP，EF∥AB，所以AB∥SP. 又AB∥CD，所以CD∥ SP. 三、填空题： 12. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 【答案】 【解析】因为，所以这组样本数据的第60百分位数是. 故答案为：. 13. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________. 【答案】 【解析】，且， 故，∴. 故答案为：. 15. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【解析】由已知做出正三棱柱，则， 设点分别为正，正的中心，连接，则， 连接并延长交于于点，则，， 设点为中点，连接CO， 则点为正三棱柱外接球的球心， 且平面，， 因为点为正的中心，所以， 所以，则， 因为平面，所以， 则正三棱柱外接球半径， 所以该球的表面积为：. 故答案为：. 四、解答题： 15. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos C＋c＝2a. (1)求角B的大小； (2)若cos A＝，求的值. 解　(1)∵2bcos C＋c＝2a， 由正弦定理，得2sin Bcos C＋sin C＝2sin A， 又∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴2sin Bcos C＋sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)， 即sin C＝2cos Bsin C. ∵0<C<π，∴sin C≠0.∴cos B＝. ∵0<B<π，∴B＝. (2)在△ABC中，B＝，cos A＝， ∴sin A＝， ∴sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝. ∴＝＝. 16.如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的平面角的正切值． 解：（1）由题意知，，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又平面， 所以平面，由平面，得， 所以为二面角的平面角， 又平面，平面，得， 在中，，所以， 即二面角的平面角的正切值为. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求B； （2）若，且，求的面积的最大值． 解：（1）， 由正弦定理得， 即， ， ，又， 所以，即， 又，所以. （2）， 得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即的面积的最大值为. 18. 第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 解：（1）设这人的平均年龄为， 则（岁）. （2）①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记A，，，甲， 第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，,甲），,乙），，，,甲）， 乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,， 共15个样本点， 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”， 则,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,， 共有9个样本点， 所以. ②：设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10. 19. 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成角的大小； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的大小. 解　(1)∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′， ∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B， AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°. 即AO与A′C′所成角为30°. (2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中， OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. (3)由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC， ∴平面AOB⊥平面AOC. 故平面AOB与平面AOC所成的角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $