精品解析：陕西省西安市西北大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024--2025学年度第二学期高一年级数学期末试题 一、单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义求出的虚部. 【详解】为了将分母实数化，给的分子分母同时乘以分母的共轭复数，即：  ， 所以的虚部为.  故选：D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则，不是共线向量 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上的点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 4. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】 过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 5. 某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（ ） A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的计算步骤求解即可. 【详解】将这10次成绩从小到大的顺序排列如下：9.8，9.9，10.0，10.4，10.5，10.5，10.6，10.7，10.7，10.9， 因为，所以该组成绩的上四分位数为排序后的第8个数字10.7． 故选：D 6. 已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入向量公式，即可求二面角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 令，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 二、多选题 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【详解】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 10. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案. 【详解】对于A：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于D：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】 在 方向上的投影向量为， 故，解得， 故答案为： 13. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm． 【答案】29.6 【解析】 【分析】根据台体的体积公式即可求解. 【详解】设水面的半径为，水深为，因为上口半径为，底面半径，则，故， 雨水的体积为， 又,故, 故答案为：29.6 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 复数，当实数取什么值时 （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）复数在复平面内对应点在第四象限． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】根据复数的运算整理其为标准式，由实数、纯虚数以及几何意义，建立不等式与方程，可得答案. 【小问1详解】 ， 由为实数，则，解得或. 【小问2详解】 由为纯虚数，则，解得. 【小问3详解】 由复数在复平面上的对应点为，该点在第四象限， 则，分解因式可得，解得. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理及，可得， 又由正弦定理，可得. 因为，所以，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，又知外接圆的半径为， 则由正弦定理得. 又由，可得， 根据余弦定理，得，所以，所以， 所以的周长为. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且． （1）记平面平面，证明：； （2）求点到平面的距离； （3）点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2） （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足，证明如下： 在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则是的中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面，平面，得平面，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，得平面，所以存在，且. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用等体积法可求点到平面的距离； （3）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形的中心， 即的中点，由题意可得，所以， 又， 设点到平面的距离为，由，所以， 所以，所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度第二学期高一年级数学期末试题 一、单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 若，是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则，不是共线向量 D. 若，，则 3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某射击运动员在男子10米气步枪决赛中，最后10枪成绩分别为10.9,10.7,10.4,10.0，10.5,9.8,10.7,9.9,10.5,10.6，则这10枪成绩的上四分位数是（ ） A. 10.5 B. 10.6 C. 10.65 D. 10.7 6. 已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B. 若，为两个事件，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，满足，则与相互对立 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 三、填空题 12. 已知向量 若 在 方向上的投影向量为 ，则______________. 13. 复数满足，则的最大值为________. 14. 降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm． 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 复数，当实数取什么值时 （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）复数在复平面内对应点在第四象限． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且． （1）记平面平面，证明：； （2）求点到平面的距离； （3）点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $