湖南长沙市田家炳实验中学2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试卷

**基本信息** 长沙市田家炳实验中学2025年八年级期末数学试卷，以研学活动、新定义“差积和谐分式”及坐标系几何综合题为载体，融合文化传承与创新应用，考查抽象能力、推理意识及模型观念，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、整式运算、三角形全等判定等|第8题以割补法面积示意图考查公式推导，体现几何直观| |填空题|6/18|完全平方公式、角平分线性质、分式值变化等|第15题结合尺规作图求线段长，渗透空间观念| |解答题|9/72|分式化简求值、研学购物应用、坐标系全等证明等|23题关联韶山研学活动考查分式方程应用（应用意识），25题坐标系综合证明（推理能力），24题新定义探究（创新意识）|

2025年下学期八年级~考试数学试卷答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.B 10.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 11.-2 12.8- 13.±10 14.-27 15. 4 16.3 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分， 第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(6分)(1)4x-6: (2)8-4x 18.(6分)因式分解：(1)2(x-5)&+5); (2)a(x-6)2. 19(6分)解方程：名-3=12 解：去分母得：x-3(x-1)=-3,去括号得：x-3x+3=-1,移项合并得：-2x=-4, 解得：x=2,经检验x=2是分式方程的解 2n8分)解：原就9+分当x1时，瓜式=月 x+128-2)-2 21.(8分)解：(1)某天上午7点整，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向 东方向航行，当天上午9点整到达B处， 由己知条件可得：∠CAB=90°-∠DAC=90°-75°=15， ∠CBF=90°-∠EBC=90°-60°=30°，AB=15×(9-7)=30, .∠ACB=∠CBF-∠CAB=30°-15°=15°， ∠CAB=∠ACB=15°， ·AB=BC=30海里， 答：B处到灯塔C的距离为30海里. (②)有触礁的危险，过C作CG1AF于点G, →东 在∠CBG=30°，BC=30,CG=2BC=15, 15<17.若这条船继续由西向东航行会有触礁的危A B G 险 22.(9分)(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，DE1AB于点E, ∴.∠ACB=LAED=LAEF=90°， (∠AED=ACB 在△ADE和△ABC中， DAB=LBAC,AADE≌△ABC(AAS),PE=BC: B AD-AB (2)解：连接AF,由(1)得：△ADE≌△ABC,.AE=AC, ∠ACB=∠AEF=90°，△AEF和△ACF是直角三角形， 在t△AE和R△AE中，AAC 答案第1页，共2页 .Rt△AEF≌Rt△ACF(HL),∴.EF=FC (3)如图，BF=2,CF=1,由(1)得：△ADE≌△ABC∴.DE=BC=BF+FC=2+1=3, .DF=DE+EF=3+1=4. 23.(9分) 解：(1)设每张明信片x元，则每枚纪念章(x+1)元， 由题意列分式方程得，60=40 整理得，20x=40,解得x=2. x+1 x 检验：当x=2时，x区+1)≠0，∴x=2是原分式方程的解，x+1=2+1=3. 答：纪念章每枚售价3元，明信片每张售价2元 (2)设他能购买ā枚纪念章，则他购买(45-a)张明信片， 由题意列一元一次不等式得，3a+2(45-a)≤100，解得a≤10，.a的最大值为10， 答：小明最多能购买10枚纪念章. 24(10分)解：(1)不是； 2x-4 纸+3A.343 (2)0根据题意，得A-3x+3= n4x+3’A1-w。 4数+3A，X 3x+3 3x+3 4x+34x+3 A=3x+3 ②：A=3x+3 3 ·=3十一 ,当整数x=一3，-1,1或3时，分式A的值分别 是2,0,6或4分式A的值是正整数，当整数x=-3,1或3时，分式A的值分别是2， 6或4. 25.（10分)(1)证明：，A(-2,6),C(6,2), ∴.AB=CD=2,0B=OD=6,∠AB0=∠CD0=90°， ∴.△AOB≌△COD(SAS); (2)证明：过点C作CE∥x轴交BD于点E, ,0B=0D,.∠BD0=45°，∴.∠BDC=45°， △CDE为等腰直角三角形，CE=CD=AB,∠ABP=∠CEP=135°， ∠APB=∠CPE,∴.△APB≌△CPE(AAS),∴.AP=PC D (3)解：∠0EG大小不变，恒为45°，理由如下： 延长EG到点H,使GH=EG,延长HA交CE的延长线于点K, 图2 连接OH,△AHG≌△FEG, .AH=EF=CE,∠AHG=∠FEG,∴.AH∥EF, ,CE⊥EF,∴.HA⊥CE,由(1)得∠AOB=∠DOC,∴.∠AOC=-90°， 在四边形A0CK中，∠KA0十∠KC0=180°， H< ∴.∠HA0=∠EC0,∴.△AOH≌△C0E(SAS), ∴.OH=OE,∠AOH=∠E0C, .∴.∠AOH+∠AOE=∠AOE+∠COE=90°， 0 .∠H0B=90°，△H0E为等腰直角三角形，∠0EG=45°. 图3 答案第2页，共2页长沙市田家炳实验中学 2025年下学期八年级~，考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分时量：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.下列图案中是轴对称图形的是( 2.已知a≠0，则下列运算正确的是( A.-2a+3a=5a B.(-2a3)2=4a6C.a2-a=aD.a6÷a2=a3 3.△ABC中AC边的高，表示正确的是() B 3题图 4.如图，已知AB=AD,添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( A.CB=CDB.∠BCA=∠DCA C.∠BAC=∠DACD.∠B=∠D=90° 5.如图，在△ABC中，AB=8,BC=12,AC的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,则△ABD 的周长为( A.14 B.20 C.28 D.32 D 小 B D 4题图 5题图 6.下列从左到右的变形，是因式分解的是() A.(X+4)&-4)=x2-16 B.x2+2x+1=x8+2)+1 C.x2+1=x(&+) D.a2b+ab2 ab(a+b) 7.一根头发的直径约为0.000000007m,数值0.000000007用科学记数法可表示为( A.7×10-10 B.7×10-9 C.0.7×10-10 D.0.7×10-9 答案第1页，共4页 8.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( d-ab 8题图 10题图 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(ab)2=a2b2 9把分式，中的x和y都扩大2信，则分式的值( A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D不变 10.如图，△ABC中，∠B=∠C,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，且BF=CD,BD=CE ∠FDE=55°，则∠A=( A.55° B.60° C.65° D.709 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算：（-)°-21=— 12.己知二元一次方程2x-3y-3=0,则22x÷23y= 13.如果x2-k&+25是一个完全平方式，那么k的值是 14.己知实数a、b的满足a-b=5,ab=1,则a2+b2= 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC, AB于点M、,再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AP交边BC于点D,若AB=8,△ABD的面积为16，则CD的长是 l6.如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分∠ABC,交AC于点D,点M、N分别为BD、BC 上的动点，若BC=4,△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 M B N 15题图 16题图 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分， 第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(6分)计算：(1)x(3-x+&-2)&+3): (2)(x-2)2-(区+2)&-2) 18.(6分)因式分解：(1)2x2-50; (2)ax2-12ax+36a 答案第2页，共4页 19.(6分)解方程：是-3=品 20.8分)先化简：《一名)÷ x2+x ,再请你在-1、0、1、2这四个数中选取一个合适 的x的取值代入求值. 21.(8分)如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午7点整，一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午9点整到达B处，此时，测得灯塔 C在B处的北偏东60°方向. 北 (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有 →东 暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？ 0 E 请说明理由 751 B 22.(9分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC外一点，∠DAB=∠BAC,AD=AB, 过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F. D B (1)求证：△ADE≌△ABC; (2)求证：EF=CF; (③)若BF=2,CF=1,求DF的长. 23.(9分)2025年12月26日是毛泽东主席诞辰132周年。长沙市田家炳实验中学高一年 级去韶山，开展了“追随伟人足迹，争做时代新人”的研学活动.G2501班小明在参观韶 山时，看见有很多印有伟人图案的文创作品，他非常喜欢其中的纪念章和明信片，决定购买 一些带回去.他发现用60元购买纪念章与用40元购买明信片的数量相同，且每枚纪念章比 每张明信片的售价高1元 (1)求每枚纪念章和每张明信片的售价分别是多少元？ (2)小明决定购买纪念章和明信片共45个送给班上同学，且总费用不超过100元钱，则他最 多能购买多少枚纪念章？ 24.(10分)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分式B是 答案第3页，共4页 分式A的“差积和谐分式”例如：与克~A-B=站中2一a+可 1 1 A·B=站点-Dc 1 “x2是4的“差积和谐分式”· )）①分式克 分式3的“差积和谐分式”（慎“是”或“不是”）： ②产4的“差积和谐分式”是 (2②)已知分式数智是分式A的“差积和谐分式”， ①求分式A: ②求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值. 25.(10分)如图1，己知A(-2,8),C(8,2),AB⊥y轴于点B,CD⊥x轴于点D. (1)求证：△A0B≌△C0D; (2)如图2，连接AC,BD交于点P.求证：P为AC中点： (3)如图3，E为第一象限内任意一个点，F为y轴正半轴上一点，连接AF、F,若EF⊥CE, 且EF=CE,G为AF中点，连接EG,EO,当点E的位置发生改变时，∠OEG的度数会发生改 变吗？若改变，说明理由；若不变，请求出∠0EG的度数. ↑) D 0 D 图1 ☒2 图3 答案第4页，共4页 2025年下学期八年级期末考试数学试卷答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．A  2．B  3．D  4．B  5．B     6．D  7．B  8．A  9. B 10．D  二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．   . 12． 8  ． 13. ±10  ． 14．__27__. 15．   4 . 16． 3 . 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）⑴ 6； ⑵ 18.（6分）因式分解： 19.（6分）解方程： 解：去分母得：，去括号得：，移项合并得：， 解得：，经检验是分式方程的解．  20．（8分）解：原式， 当时，原式 21. （8分）解：某天上午7点整，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午9点整到达B处， 由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：B处到灯塔C的距离为30海里． 有触礁的危险，过C作于点G， 在，，， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 22. （9分）证明：在中，，于点E， ， 在和中，，≌，； 解：连接AF，由得：≌，， ，和是直角三角形， 在和中，， ， ⑶如图，，，由得：≌， 23. （9分） 解：设每张明信片x元，则每枚纪念章元， 由题意列分式方程得，，整理得，，解得 检验：当时，，是原分式方程的解， 答：纪念章每枚售价3元，明信片每张售价2元． 设他能购买a枚纪念章，则他购买张明信片， 由题意列一元一次不等式得，，解得，的最大值为10， 答：小明最多能购买10枚纪念章． 24.（10分）解：(1)不是;   (2)①根据题意，得，，，.  ②，当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4.分式的值是正整数，当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4.  25.（10分）(1)证明：∵A(－2，6)，C(6，2)， ∴AB＝CD＝2，OB＝OD＝6，∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴△AOB≌△COD(SAS)； (2)证明：过点C作CE∥x轴交BD于点E， ∵OB＝OD，∴∠BDO＝45°，∴∠BDC＝45°， △CDE为等腰直角三角形，CE＝CD＝AB，∠ABP＝∠CEP＝135°， ∠APB＝∠CPE，∴△APB≌△CPE(AAS)，∴AP＝PC； (3)解：∠OEG大小不变，恒为45°，理由如下： 延长EG到点H，使GH＝EG，延长HA交CE的延长线于点K， 连接OH，△AHG≌△FEG， ∴AH＝EF＝CE，∠AHG＝∠FEG，∴AH∥EF， ∵CE⊥EF，∴HA⊥CE，由(1)得∠AOB＝∠DOC，∴∠AOC＝90°， 在四边形AOCK中，∠KAO＋∠KCO＝180°， ∴∠HAO＝∠ECO，∴△AOH≌△COE(SAS)， ∴OH＝OE，∠AOH＝∠EOC， ∴∠AOH＋∠AOE＝∠AOE＋∠COE＝90°， ∴∠HOE＝90°，△HOE为等腰直角三角形，∠OEG＝45°. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市田家炳实验中学 2025年下学期八年级期末考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分 时量：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列图案中是轴对称图形的是(   ) A. B. C. D. 2．已知，则下列运算正确的是(   ) A. B. C. D. 3．中AC边的高，表示正确的是(   ) A. B. C. D. 3题图 4．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(   ) A. B. C. D. 5．如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，则的周长为(   ) A. 14 B. 20 C. 28 D. 32 4题图 5题图 6．下列从左到右的变形，是因式分解的是(   ) A. B. C. D. 7．一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为    A. B. C. D. 8．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(   ) 8题图 10题图 A. B. C. D. 9.把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值(   ) A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变 10．如图，中，，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且，，，则(   ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：    . 12．已知二元一次方程，则     ． 13.如果是一个完全平方式，那么的值是    ． 14．已知实数a、b的满足，，则______. 15．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，的面积为16，则CD的长是       . 16．如图，在中，，BD平分，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 . 15题图 16题图 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：⑴ ； ⑵ 18.（6分）因式分解： 19.（6分）解方程： 20．（8分）先化简:，再请你在－1、0、1、2这四个数中选取一个合适的x的取值代入求值. 21. （8分）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午7点整，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午9点整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向. 求B处到灯塔C的距离； 已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由. 22. （9分）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长DE交BC于点 求证：≌； 求证：EF＝CF； 若，，求DF的长. 23. （9分）2025年12月26日是毛泽东主席诞辰132周年。长沙市田家炳实验中学高一年级去韶山，开展了“追随伟人足迹，争做时代新人”的研学活动. G2501班小明在参观韶山时，看见有很多印有伟人图案的文创作品，他非常喜欢其中的纪念章和明信片，决定购买一些带回去.他发现用60元购买纪念章与用40元购买明信片的数量相同，且每枚纪念章比每张明信片的售价高1元. 求每枚纪念章和每张明信片的售价分别是多少元？ 小明决定购买纪念章和明信片共45个送给班上同学，且总费用不超过100元钱，则他最多能购买多少枚纪念章？ 24． （10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， A·B＝， 是的“差积和谐分式”． (1) 分式   分式的“差积和谐分式”填“是”或“不是”； 的“差积和谐分式”是    ； 已知分式是分式的“差积和谐分式”， 求分式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 25.（10分）如图1，已知A(－2，8)，C(8，2)，AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D. (1)求证：△AOB≌△COD； (2)如图2，连接AC，BD交于点P.求证：P为AC中点； (3)如图3，E为第一象限内任意一个点，F为y轴正半轴上一点，连接AF、EF，若EF⊥CE，且EF＝CE，G为AF中点，连接EG，EO，当点E的位置发生改变时，∠OEG的度数会发生改变吗？若改变，说明理由；若不变，请求出∠OEG的度数. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $