暑假作业17 排列与组合（巩固培优,3知识10题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以两个计数原理为基础，系统梳理排列组合概念、公式及二级结论，通过10类典型题型覆盖从基础应用到综合问题的全考法，注重逻辑推理与实际情境应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两个计数原理|2表格+5题|分类分步辨析，含涂色、数独等情境|从原理定义到联系区别，构建计数基础| |排列组合概念|2表格+5题|定义辨析与公式计算，含不等式、方程|概念→公式→性质，形成知识链| |10类题型|每题型3-5题|覆盖特殊元素、相邻不相邻等核心考法|从基础应用到综合问题，层层递进|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业17 排列与组合 【知识点1 两个计数原理】 1．两个计数原理 名称 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法 分类加法计数原理 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法 2．两个计数原理的联系与区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言，都可以推广到多类或多步的情形 区别一 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最终结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的都是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，既不能重复也不能遗漏 【知识点2 排列组合的概念与应用】 1.排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元1素 按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义 为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝ ＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝，C＋C＝C 【知识点3 常用二级结论】 ＝(n－m＋1). 2.＝n. 3.(n＋1)！－n！＝n·n！. 4.k＝n. 5.＋＋…＋＋＝. 【题型1 两个计数原理的应用】 1．（2026·赣州开学考试）从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为(　　) A．56 B．54 C．53 D．52 【答案】D 【解析】在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7＝56个对数值，在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，则满足条件的对数值共有56－4＝52个． 2.（2025年山东临沂一模）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　) A.12种 B.24种 C.72种 D.216种 【答案】A 【解析】先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法.故选A. 3.（2025·山东邯郸模拟）5.现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　) A．240种 B．360种 C．420种 D．480种 【答案】C 【解析】当顶点A，C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×1×3＝180种；当顶点A，C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×2×2＝240种． 综上，不同的方法共有180＋240＝420种，故选C. 4.（2026·广州二模）如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为(　　) A.480 B.600 C.720 D.840 【答案】C 【解析】依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(种)；若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(种)，所以由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(种). 5．（2026·厦门四检）如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________． 【答案】240 【解析】若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)． 【题型2 排列组合公式计算】 1．（2026·佛山二模）不等式 的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，又 ， ， 所以 ，所以不等式 的解集为 ， 2．（2026·保定十校三模）若 ，则    . 【答案】 【解析】由题意得， 且 ，解得 ， ∵ ，∴ 或 ，解得 （舍去）或 ． 3．（25-26高二下·广东汕头·期中）若，则__________. 【答案】 【解析】， 解得 4．（25-26高二下·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】因为，则使得的可取. 5．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【解析】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去）， 故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 【题型2 无限制条件的排列组合问题】 1.(2023·全国甲卷)有5名志愿者参加社区服务，共服务周六、周日两天，每天从中任选2人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A.120 B.60 C.40 D.30 【答案】B 【解析】(1)不妨记5名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加周六与周日的社区服务，共有＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60(种). 2.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有CA＝240(种)不同的分配方案． 3．(2026·莆田三模)将短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【解析】由s有2个，t有3个，则将这5个字母看成不同字母时的排列个数为A，故所求排列个数为＝10. 4．(2025·石家庄二检)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字之和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　) A．540 B．480 C．360 D．200 【答案】D 【解析】由“个位数字与十位数字之和为奇数”知个位数字、十位数字为一奇一偶，共有CCA＝50(种)排法；由“所有数位上的数字之和为偶数”知百位数字是奇数，有C＝4(种)排法．所以满足题意的三位数共有50×4＝200(个)． 5.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答). 【答案】64 【解析】(1)①当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有＝16(种)； ②当从8门课中选修3门，若选修体育类选修课1门，则不同的选课方案共有＝24(种)；若选修体育类选修课2门，则不同的选课方案共有＝24(种)；综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种). 【题型3 特殊元素优先的排列组合问题】 1．(2026·浙江宁波模拟)前进中学学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则不同派遣方法的种数是(　　) A．120 B．96 C．48 D．60 【答案】B 【解析】由题意可知，当张三不在派遣的4人中时，有A＝4×3×2×1＝24种方法；当张三在派遣的4人中时，有3A＝3×4×3×2＝72种方法，则共有24＋72＝96种派遣方法． 2.(2026·重庆部分校高三开学考试)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、洪崖洞民俗风貌区、重庆动物园、仙女山、白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有(　　) A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 【答案】B 【解析】先安排甲，再将剩余的两人进行排列，故这三人的不同选择方法共有CA＝100种． 3.(2026·九省适应性测试)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 【答案】B. 【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有××＝8(种)方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有××＝8(种)方法；由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法. 4．(2026·张家口一模)大数据时代出现了打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用某打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有(　　) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】根据题意，分两种情况讨论： ①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式； ②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式． 故共有12＋12＝24(种)乘坐方式． 5．(2026·深圳一调)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数． 【答案】110 【解析】①当千位上排1或3时，符合题意的数共有AAA个；②当千位上排2时，符合题意的数共有AA个；③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个符合题意，形如41××的偶数有AA个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个数符合题意． 【题型4 相邻、不相邻问题的排列组合问题】 1.(2026·上海闵行区模拟)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有(　　) A．1440种 B．1360种 C．720种 D．960种 【答案】A 【解析】把甲、乙捆绑在一起，相当于1个人，再与剩下的5人全排列，所以不同的安排方案共有AA＝1440种． 2.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【答案】B. 【解析】(1)先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24(种). 3.(2026·邵阳二联考）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ [endnoteRef:2] ） A 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 [2: ] 【答案】D 【解析】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言， 则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法， 故不同安排方法共有种. 故选：D. 4.(2026·滨州一模)考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，结果是同样的数字，只是调换了位置．若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为(　　) A．24 B．36 C．72 D．144 【答案】D 【解析】第1步，将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列，共A种排法；第2步，将三个偶数进行全排列，共A种排法，根据分步乘法计数原理可得，将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为AA＝144. 【题型5 定序的排列组合问题】 1.(2026·湖南株洲模拟)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须有，且它们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序有(　　) A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】A 【解析】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有C＝4种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有＝60种，所以不同的演出顺序共有4×60＝240种．故选A. 2.（2026年浙江五校联考）7．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】依据题意，分两种情况讨论， 情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻， 当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种， 当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种， 情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位， 若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种， 若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种， 故符合题意的情况有种，故B正确. 3.(2026·浙江金丽衢二联)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　 ____________种(用数字作答).  【答案】480 【解析】从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种. 4.(2026·上海宝山模拟)如图，微店销售某产品，该产品共剩A，B，C三种颜色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中最上面的一盒(全部拿完)，则不同的取法有________种． 【答案】210 【解析】由题意，可将问题转化为将7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色每种颜色产品的顺序是确定的，所以不同的取法共有＝210种． 【题型6 不同元素的分组、分配问题】 1.(2025·辽宁盘锦三模)将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有(　　) A．240种 B．360种 C．390种 D．420种 【答案】C 【解析】依题意，分组情况可能为(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)． 解法一：总的情况数为A＝540，其中李老师和唐老师在同一学校督导的情况数为A＝150，故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有540－150＝390种．故选C. 解法二：若派遣的人数情况为(1，1，4)，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有A＋CCA＝54种；若派遣的人数情况为(1，2，3)，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有(CC＋CC＋CCA)A＝264种；若派遣的人数情况为(2，2，2)，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有CCA＝72种．故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有54＋264＋72＝390种．故选C. 2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有CA＝240(种)不同的分配方案．故选C. 3.(2026·湖北名校联考)为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为(　　) A.1 176 B.2 352 C.1 722 D.1 302 【答案】A 【解析】由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况；把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有·＝126(种)；把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有·＝630(种)；把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式有·＝420(种).综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176. 4.(2026·湖南长沙模拟)教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(　　) A.60种 B.78种 C.54种 D.84种 【答案】C 【解析】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2.先将4门课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式，由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有·＝36(种).同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有·＝18(种)，所以不同选修方式共有36＋18＝54(种).故选C. 5．（多选）(2026·佛山一中四调)现有4个小球和4个小盒子，下列相关结论正确的是(　　) A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法 B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒的放法共有18种 C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒的放法共有144种 D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 【答案】BCD 【解析】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44＝256种放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18种放法，故B正确；若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有C·＝144种放法，故C正确；若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，设(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种，故D正确．故选BCD. 【题型7 相同元素的分组、分配问题】 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 【答案】A 【解析】依题意，首先给一班和二班每班个名额，三班和四班每班个名额，则还剩下个名额， 将剩下的个名额给一个班级，有种方法； 将剩下的个名额给两个班级，有种方法； 综上可得：一共有种分配方法. 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 【答案】A 【解析】依题意，首先给一班和二班每班个名额，三班和四班每班个名额，则还剩下个名额， 将剩下的个名额给一个班级，有种方法； 将剩下的个名额给两个班级，有种方法； 综上可得：一共有种分配方法. 故选：A 3．（25-26高二上·全国·课后作业）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【解析】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人， 利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法. 故选：. 4．(多选)（25-26高二下·河南南阳·月考）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（    ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 【答案】BCD 【解析】对于A，满足条件的巡检方案数相当于将个相同的小球分到四个盒子， 每个盒子非空的分法数，由隔板法可得不同的巡检方案有种，A错误； 对于B，对于满足条件的任何一种巡检方案，若给每个街道再增加一架无人机则可得 将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的一种方案， 对于将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的任意一种方案， 若从每个街道所分的无人机中取走一架无人机可得 将架相同的无人机分到四个街道，允许有的街道不用无人机巡检的一种方案， 故满足条件的巡检方案数等于将架相同的无人机分到四个街道， 每条街道都至少有一架无人机巡检的方案数， 由隔板法可得不同的巡检方案有种，B正确； 对于C， 先将编号为的架无人机排成一列，共种排法； 再将编号为的两架无人机排在前一个排列的两架无人机之间或该排列的最前面或最后面， 共种排法； 由分步乘法计数原理可得满足条件的总排法数为，C正确； 对于D，满足条件的巡检方案可分为四类， 第一类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为， 第二类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为， 第三类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为， 第四类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为， 由分类加法计数原理可得满足条件的总排法数为，D正确. 5．（2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【解析】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. 【题型8 多面手问题】 1．（2026·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 2．（2026·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 3．（2026·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 【题型9 几何中的计数问题】 1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 【答案】D 【解析】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．64 C．58 D．52 【答案】C 【解析】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况，此时不能组成三棱锥， 6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， 故满足条件的结果有，即以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 【答案】B 【解析】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法， 每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况， 此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线， 所以共有对不同的异面直线． 4．（25-26高二下·河北唐山·期中）直线，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，可以分为两类情况： 1.在直线上选2个点，直线上选1个点，可以构成三角形个数为， 2.在直线上选1个点，直线上选2个点，可以构成三角形个数为， 则以这九个点为顶点的三角形个数为. 【题型10 排列组合与概率的综合】 1．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出事件总数，再利用插空法找到符合题意的事件个数，根据古典概型的 由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种， ，故选：A. 3．（2026高三下·北京·专题练习）从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有种， 要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有种， 所以概率为. 故选：A. 4．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先计算所有基本事件总数：四名同学排成一排的全排列数为种。 再计算甲与乙相邻的符合条件的事件数：采用捆绑法，将甲、乙看作一个整体，此时相当于对个元素（甲乙整体、丙、丁）进行全排列，排列数为种； 同时甲、乙二人内部存在顺序差异，排列数为种， 因此符合条件的事件总数为种。 根据古典概型概率公式，所求概率. 1．(2026·山东滨州一模)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　) A．4种 B．8种 C．12种 D．24种 【答案】B 【解析】将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法，故选B. 2.(2026·山东泰安模拟)用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　) A.36 B.48 C.60 D.72 【答案】C 【解析】个位数为0时，有＝24(个)，当个位数为2或4时，有2＝36(个)，所以无重复数字的四位偶数有24＋36＝60(个).故选C. 3.（2026年冀州某市一模）2025年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ） A. 300 B. 432 C. 600 D. 864 【答案】B 【解析】杨教授站中间，只有1种方法；四名男生分成两组放在两边方法数； 两名女生放在两边方法数， 每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为. 4.（2026年浙江九加一联盟三月考） 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ） A. 2025种 B. 4050种 C. 8100种 D. 16200种 【答案】B 【解析】先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合， 故共有． 5.(2026·四川成都模拟)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“帅”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有(　　) A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【解析】先将3个红色的“帅”“车”“马”棋子进行全排列，有A种排法，3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有A种排法，则同色棋子不相邻的排列方式有AA＝12种．故选D. 6.(2025·江苏南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D 四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A.144种 B.73种 C.48种 D.32种 【答案】C 【解析】由于A，B，C 三块区域两两相邻，因此需填涂3种不同的颜色.①当D区域与A区域颜色相同时，只需从4种不同的颜色中选取3种分别填涂到A，B，C 三块区域，有种涂法；②当D区域与A区域颜色不同时，只需将4种不同的颜色分别填涂到A，B，C，D四块区域，有种涂法.所以不同的涂法共有＋＝48(种).故选C. 7.（2025·邵阳二联考）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ） A 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 【答案】D 【解析】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言， 则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法， 故不同安排方法共有种. 故选：D. 8.某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(　　) A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 【答案】A 【解析】不考虑京剧的位置，越剧、粤剧排在一起的排列有种，把越剧与粤剧看成一个整体“捆绑”起来，与剩余的4个剧种排列，有种，共有种.根据对称性知，京剧排在前三与后三的情况是一样的，所以满足条件的演出顺序有＝120(种). 9.(2026·湖南株洲模拟)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须有，且它们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序有(　　) A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】A 【解析】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有C＝4种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有＝60种，所以不同的演出顺序共有4×60＝240种．故选A. 10.(2025·河南六市一模)六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法种数为(　　) A．135 B．24 C．15 D．9 【答案】A 【解析】根据题意先确定2个人位置不变，共有C＝15种选择．再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有3×3×1×1＝9种选择，故不同的坐法种数为15×9＝135. 11.（2026·湖北武汉四调）球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】根据题意，分种情况讨论： 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再在三年中选出年来学习，有种安排方法， 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再安排在三年中选完，有种安排方法， 则有种安排方法． 12.（2026·珠海一中预测）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有(　　) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】D 【解析】先涂3,5,7，有C种方法，再涂2,4.若2,4同色，则有C种方法，此时涂1，有C种方法；若2,4不同色，则有A种方法，此时涂1，有1种方法．根据对称性一共有C·×＝108种涂法，故选D. 13.（多选）（2026·佛山一中二调）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 14.（2025·福建厦门市期末）现有15个省三好学生名额分给1，2，3，4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有　　　　种不同分配方案. 【答案】85 【解析】由3班最多有2个名额，得3班有2个、1个或0个名额三种情况.(1)当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有＝21(种)分法；(2)当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有＝28(种)分法；(3)当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有＝36(种)分法，所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案.　 15.(2024新课标Ⅱ)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.  【答案】24;112 【解析】第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4×3×2×1=24种选法. 由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对值算出来,如下表. 要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,33,43和15,和为112,故最大值为112. 16．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（1）解关于的不等式：； （2）已知，求的值（用数字作答）； （3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答） 【解析】（1）因为，所以， 化简整理可得，解得， 所以不等式解集为． （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）先按照A志愿队的人数分类， 第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第二种情况，A志愿队除甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 第三种情况，A志愿队除甲医生外，还有2人，剩下的2人为1，1的分组， 再分配到另2个志愿团队，有种方法， 所以共有种方法. 17．（2026高二下·全国·专题练习）有四个不同的小球，四个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内． (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若恰有一个盒子不放球，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 【解析】（1）每个球都有4种放法，故不同的放法共有（种）． （2）每个盒子不空，则不同的放法共有（种）． （3）设四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒， 说明恰有一个盒子中有两个小球，则先从四个小球中选出2个捆绑成一个元素， 有种选法， 再将此元素和剩下的两个小球（共三个不同的元素）放入4个不同盒子中的任意3个， 有种放法，故不同的放法共有（种）． 1.(2026·浙江杭州一模)如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短路线有(　　) A．100条 B．400条 C．200条 D．250条 【答案】C 【解析】如图所示，分两种情况讨论：①A→E→B，先从A到E，至少走5步，其中2步为水平步，再从E到B，至少走5步，其中3步为水平步，此时有CC＝100种走法；②A→F→B，先从A到F，至少走5步，其中3步为水平步，再从F到B，至少走5步，其中2步为水平步，此时有CC＝100种走法．综上所述，从A到B的最短路线有100＋100＝200条．故选C. 2．(2026·江苏南京二模)现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为a1，a2，a3，则满足|a1－a2|＋|a2－a3|＋|a3－a1|＝6的情况有(　　) A．54种 B．55种 C．56种 D．58种 【答案】A 【解析】由|a1－a2|＋|a2－a3|＋|a3－a1|＝6，得2[max{a1，a2，a3}－min{a1，a2，a3}]＝6，则max{a1，a2，a3}－min{a1，a2，a3}＝3，不妨设min{a1，a2，a3}＝x，则max{a1，a2，a3}＝x＋3，还有一个数为x＋d，显然x∈{1，2，3}，d∈{0，1，2，3}，对任意x的取值，都有如下情况：当d＝0时，三个数为x，x，x＋3，对应a1，a2，a3，有＝3种方法；当d＝1时，三个数为x，x＋1，x＋3，对应a1，a2，a3，有A＝6种方法；当d＝2时，三个数为x，x＋2，x＋3，对应a1，a2，a3，有A＝6种方法；当d＝3时，三个数为x，x＋3，x＋3，对应a1，a2，a3，有＝3种方法．所以共有3×(3＋6＋6＋3)＝54种情况．故选A. 3.(2026·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为(　　) A．55　　　　　　　　　　　 B．59 C．66 D．71 【答案】D 【解析】记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组．其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A＝18(种)情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)． 4.(2026·浙江杭州模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法共有(　　) A.20种 B.32种 C.54种 D.72种 【答案】B 【解析】根据题意，a，b，c的取值范围都是7～14中的8个整数，故公差d的范围是－3到3的整数.①当公差d＝0时，从8个整数中选择一个共有8种；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×6＝12(种)；③当公差d＝±2时，b不取7，8，13，14，有2×4＝8(种)；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×2＝4(种).综上，共有8＋12＋8＋4＝32(种).故选B. 5．(2026·重庆模拟)有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是1，2，3，4各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个(如图为其中一种填法)，则符合要求的不同填法共有________种． 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【答案】576 【解析】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面的顺序填入这6个数字0.①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有C＝4种填法．因此这一步共有4×4＝16种不同的填法．②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列，否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列有3种选法．而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有C＝3种填法．这一步共有3×3＝9种不同的填法．③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择．最后剩下所有的格都填1，有1种填法．因此，符合要求的不同填法共有16×9×4×1＝576种． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业17 排列与组合 【知识点1 两个计数原理】 1．两个计数原理 名称 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法 分类加法计数原理 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝ 种不同的方法 分步乘法计数原理 需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝ 种不同的方法 2．两个计数原理的联系与区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言，都可以推广到多类或多步的情形 区别一 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最终结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的都是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，既不能重复也不能遗漏 【知识点2 排列组合的概念与应用】 1.排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元1素 按照一定的 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合的 定义 为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同 的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝ ＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝ ，C＋C＝ 【知识点3 常用二级结论】 ＝(n－m＋1). 2.＝n. 3.(n＋1)！－n！＝n·n！. 4.k＝n. 5.＋＋…＋＋＝. 【题型1 两个计数原理的应用】 1．（2026·赣州开学考试）从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为(　　) A．56 B．54 C．53 D．52 2.（2025年山东临沂一模）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　) A.12种 B.24种 C.72种 D.216种 3.（2025·山东邯郸模拟）5.现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　) A．240种 B．360种 C．420种 D．480种 4.（2026·广州二模）如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为(　　) A.480 B.600 C.720 D.840 5.（2026·厦门四检）如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________． 【题型2 排列组合公式计算】 1．（2026·佛山二模）不等式 的解集为（   ） A. B. C. D. 2．（2026·保定十校三模）若 ，则    . 3．（25-26高二下·广东汕头·期中）若，则__________. 4．（25-26高二下·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 5．（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【题型2 无限制条件的排列组合问题】 1.(2023·全国甲卷)有5名志愿者参加社区服务，共服务周六、周日两天，每天从中任选2人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　) A.120 B.60 C.40 D.30 2.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 3．(2026·莆田三模)将短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 4．(2025·石家庄二检)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字之和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　) A．540 B．480 C．360 D．200 5.(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答). 【题型3 特殊元素优先的排列组合问题】 1．(2026·浙江宁波模拟)前进中学学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则不同派遣方法的种数是(　　) A．120 B．96 C．48 D．60 2.(2026·重庆部分校高三开学考试)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、洪崖洞民俗风貌区、重庆动物园、仙女山、白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有(　　) A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 3.(2026·九省适应性测试)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 4．(2026·张家口一模)大数据时代出现了打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用某打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有(　　) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 5．(2026·深圳一调)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数． 【题型4 相邻、不相邻问题的排列组合问题】 1.(2026·上海闵行区模拟)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有(　　) A．1440种 B．1360种 C．720种 D．960种 2.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 3.(2026·邵阳二联考）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ [endnoteRef:2] ） A 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 [2: ] 4.(2026·滨州一模)考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142，结果是同样的数字，只是调换了位置．若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为(　　) A．24 B．36 C．72 D．144 【题型5 定序的排列组合问题】 1.(2026·湖南株洲模拟)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须有，且它们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序有(　　) A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 2.（2026年浙江五校联考）7．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3.(2026·浙江金丽衢二联)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　 ____________种(用数字作答).  4.(2026·上海宝山模拟)如图，微店销售某产品，该产品共剩A，B，C三种颜色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中最上面的一盒(全部拿完)，则不同的取法有________种． 【题型6 不同元素的分组、分配问题】 1.(2025·辽宁盘锦三模)将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有(　　) A．240种 B．360种 C．390种 D．420种 2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 3.(2026·湖北名校联考)为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为(　　) A.1 176 B.2 352 C.1 722 D.1 302 4.(2026·湖南长沙模拟)教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(　　) A.60种 B.78种 C.54种 D.84种 5．（多选）(2026·佛山一中四调)现有4个小球和4个小盒子，下列相关结论正确的是(　　) A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法 B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒的放法共有18种 C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个空盒的放法共有144种 D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 【题型7 相同元素的分组、分配问题】 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）种． A．21 B．56 C．70 D．126 3．（25-26高二上·全国·课后作业）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　） A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 4．(多选)（25-26高二下·河南南阳·月考）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（    ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 5．（2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【题型8 多面手问题】 1．（2026·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 2．（2026·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 3．（2026·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【题型9 几何中的计数问题】 1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 2．（25-26高二下·广东广州·期中）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．64 C．58 D．52 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 4．（25-26高二下·河北唐山·期中）直线，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【题型10 排列组合与概率的综合】 1．（24-25高二下·重庆九龙坡·期末）从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 故选：C. 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·北京·专题练习）从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（    ） A． B． C． D． 1．(2026·山东滨州一模)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　) A．4种 B．8种 C．12种 D．24种 2.(2026·山东泰安模拟)用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　) A.36 B.48 C.60 D.72 3.（2026年冀州某市一模）2025年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ） A. 300 B. 432 C. 600 D. 864 4.（2026年浙江九加一联盟三月考） 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ） A. 2025种 B. 4050种 C. 8100种 D. 16200种 5.(2026·四川成都模拟)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“帅”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有(　　) A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 6.(2025·江苏南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D 四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A.144种 B.73种 C.48种 D.32种 7.（2025·邵阳二联考）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ） A 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 8.某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(　　) A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 9.(2026·湖南株洲模拟)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须有，且它们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序有(　　) A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 10.(2025·河南六市一模)六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法种数为(　　) A．135 B．24 C．15 D．9 11.（2026·湖北武汉四调）球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 12.（2026·珠海一中预测）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有(　　) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 13.（多选）（2026·佛山一中二调）9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 14.（2025·福建厦门市期末）现有15个省三好学生名额分给1，2，3，4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有　　　　种不同分配方案. 15.(2024新课标Ⅱ)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.  16．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（1）解关于的不等式：； （2）已知，求的值（用数字作答）； （3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答） 17．（2026高二下·全国·专题练习）有四个不同的小球，四个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内． (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若恰有一个盒子不放球，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） ． 1.(2026·浙江杭州一模)如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短路线有(　　) A．100条 B．400条 C．200条 D．250条 2．(2026·江苏南京二模)现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为a1，a2，a3，则满足|a1－a2|＋|a2－a3|＋|a3－a1|＝6的情况有(　　) A．54种 B．55种 C．56种 D．58种 3.(2026·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为(　　) A．55　　　　　　　B．59 C．66 D．71 4.(2026·浙江杭州模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法共有(　　) A.20种 B.32种 C.54种 D.72种 5．(2026·重庆模拟)有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是1，2，3，4各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个(如图为其中一种填法)，则符合要求的不同填法共有________种． 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $