暑假作业18 二项式定理（巩固培优,3知识8题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦二项式定理核心概念与性质，通过9类题型系统覆盖公式应用、系数计算、杨辉三角等高考高频考点，知识逻辑从公式到性质再到几何直观，题型设计注重基础与综合应用结合，培养数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点（定理、系数性质、杨辉三角）|以表格形式呈现定义、公式及性质|从核心公式到系数性质再到杨辉三角的几何直观，形成概念-性质-应用的逻辑链条| |题型|9类题型（含正用逆用、特定项、系数和等）|覆盖公式应用、多项式积、三项式、整除余数等高考常见考法|题型与知识点对应，由基础应用到综合拓展，体现知识的迁移与综合运用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业18 二项式定理 【知识点1二项式定理】 二项式定理 (a+b)n= (n∈N*) 二项展开式的通项 Tk+1= ，它表示展开式的第 项 二项式系数 (k=0，1，…，n) . 【知识点2 二项式系数的性质】 性质 对称性 增减性 最大值 二项式 系数的和 性质描述 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝ . 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝ 【知识点3 杨辉三角及其性质】 杨辉三角的第n行的第r个数可以表示为C，第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数，如图所示． (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数． 【题型1 二项式定理的正用、逆用】 1.（2026高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 【题型2 求二项展开式特定项或项的系数】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 3．（25-26高二下·广东肇庆·期中）二项式展开式中有理项的项数是（   ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【题型3 求多项式积的特定项】 1．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）在的展开式中，的系数为（       ） A． B．49 C． D． 2．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 3．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【题型4 求三项展开式的特定项】 1．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 4．（25-26高二下·河南郑州·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【题型5 展开式系数和问题】 1.(2026·广东广州模拟)已知(2x+)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 2.（2026春•天津期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为 B．展开式中各项系数之和为 C．展开式中的有理项共有6项 D．展开式中含的项为 4．(多选)（25-26高二下·四川南充·期末）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5.(多选)（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知，则（     ） A． B． C． D． 6.(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 . 【题型6 展开式项的系数的最值问题】 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 2.（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 4．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 【题型7 杨辉三角及其性质】 1．（多选）（25-26高二下·新疆伊犁·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A． B．第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C．第15行中，第7个数与第8个数相等． D．第0行到第行所有数之和为 2.(多选）(2026·贵州贵阳模拟)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是(　　) A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为1，3，6，10，15，…，则该数列的前n项和为Tn＝C(n∈N*) 3．（多选）(2025·安徽合肥模拟)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【题型8 整除或求余数问题】 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）除以8的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高二下·吉林·期末）除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 4．（25-26高二下·上海·期末）今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【题型9 近似计算】 1．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 2．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 4．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 1.(2026·福州2月质检)若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2.（2026•海南三亚期末）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　） A．360 B．180 C．90 D．45 3．（25-26高二下·四川南充·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．(2024·河南灵宝市精英对抗赛)若，则等于（    ） A．49 B．55 C．120 D．165 6．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广东深圳·期中）当时，将三项式展开，可得到下列等式： 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数，则在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．(多选) (2024·河南灵宝市精英对抗赛)在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729 C．有理项有3项 D．常数项是第4项 9．（25-26高二下·陕西商洛·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《解析九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 10.（2026•和平区期末）已知，则　 　（用数字作答）． 11．(2024·上海高三数学竞赛)计算 . 1．（2026·海南海口高一学科竞赛）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 2．(2026安徽安庆3调)在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若，其中，且，则的展开式中所有项的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 4．(多选)（2026•天津期末）已知(2x－5)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a9(x－2)9，则下列结论正确的是(　　) A．a0＋a1＋…＋a9＝1 B．28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝256 C．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18 5．（2025·全国数学极光杯竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 6．（第十二届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）设是的展开式中x项的系数（），若，则的最大值是 . 7．（2025·北京大学强优秀中学生寒假学堂）设，求的值为 8．（2024·南京大学强基计划）已知，的最大项是 . 9．（2025·清华大学强基计划）设a，b∈Z，a≠0．如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则a| cibi，其中ci∈Z，i＝1，2，3，…，n． (1) 若数列{an}满足an＝2n－1，其前n项和为Sn，证明：279|S3 000； (2) 若n为奇数，求证：an＋bn能被a＋b整除． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业18 二项式定理 【知识点1二项式定理】 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk+1=an-kbk，它表示展开式的第k+1项 二项式系数 (k=0，1，…，n) . 【知识点2 二项式系数的性质】 性质 对称性 增减性 最大值 二项式 系数的和 性质描述 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n. 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1 【知识点3 杨辉三角及其性质】 杨辉三角的第n行的第r个数可以表示为C，第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数，如图所示． (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数． 【题型1 二项式定理的正用、逆用】 1.（2026高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选： 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 3.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 【答案】 【解析】 ， 【题型2 求二项展开式特定项或项的系数】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式的第3项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的展开式的第3项是． 2．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 【答案】A 【解析】由题意可知此二项式展开的通项公式为：， 令，解得， 所以原式二项式展开式中的常数项为. 3．（25-26高二下·广东肇庆·期中）二项式展开式中有理项的项数是（   ） A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【解析】设二项式展开式第项为. 展开式通项. 其中. 令为整数，即能被整除. 逐一验证得满足条件，故有理项的项数为. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 【答案】5 【解析】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 5．（25-26高二下·上海·阶段检测）在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【答案】60 【解析】二项式的通项公式为： ， 化简得：，令 ，解得. 将代入通项公式，可得项的系数为： . 【题型3 求多项式积的特定项】 1．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）在的展开式中，的系数为（       ） A． B．49 C． D． 【答案】B 【解析】在的展开式中，含的项为， 所以所求系数为49. 2．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【解析】要求的系数，即求的系数， 此系数由两部分组成，一部分是与中的项的积的系数； 另一部分是的与中的项的积的系数， 又因为的展开式为， 令，解得， 所以的系数为； 令，解得， 所以的系数为； 所以原式展开式中，即的系数为 3．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 4．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 【题型4 求三项展开式的特定项】 1．（25-26高二下·福建·阶段检测）的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 【答案】D 【解析】， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 所以展开式中含有项的系数为． 4．（25-26高二下·河南郑州·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【解析】的展开式通项为，， 的展开式通项为，， 当，时，展开式中含的项为，即对应系数为. 【题型5 展开式系数和问题】 1.(2026·广东广州模拟)已知(2x+)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 【答案】C 【解析】由题意得,,解得n=10.令x=1,得展开式中所有项的系数的和为310. 2.（2026春•天津期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解析】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 因为的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等， 所以，所以， 所以二项式的奇数项的二项式系数和为． 故选：． 3．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知（其中）的展开式中共有13项，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为 B．展开式中各项系数之和为 C．展开式中的有理项共有6项 D．展开式中含的项为 【答案】ABD 【解析】由展开式中共有13项，可得． 对于A：展开式中的二项式系数之和为，A正确； 对于B：令，可得展开式中各项系数之和为，B正确； 对于C：展开式的通项为：（r =0，1，2，．．．，12）， 若为有理项，则为整数，即为偶数，则可取0，2，4，6，8，10，12，共有7项，C错误； 对于D：令，可得，可得展开式中含的项为，D正确． 4．(多选)（25-26高二下·四川南充·期末）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 5.(多选)（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：令展开式中，可得，即，A正确； 选项B：分别令和： 时， ①， 时， ② ， ①+②得， 即，B错误； 选项C：展开式通项为， 故当，，当时，， 所以，C正确； 选项D：将所求式子变形为 ， 令代入原式得， 两边同乘得 ，D正确. 6.(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 . 【答案】 【解析】由题可得：， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 则 【题型6 展开式项的系数的最值问题】 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 2.（2026·上海宝山·三模）在的展开式中系数最小的是第________项. 【答案】8 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 3．（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 【答案】8 【解析】二项式的展开式的通项公式为且. 设展开式中系数最大的项是第项， 则，即， 即，解得，又，所以， 所以展开式中系数最大的项是第8项. 4．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 【答案】（1）第6项和第7项；（2）；（3）；（4）． 【解析】由二项式定理可得的展开式的通项为． （1）设第项系数的绝对值最大． 则∴解得． 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． （2）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 所以． （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为． （4）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，系数最小的项为． 【题型7 杨辉三角及其性质】 1．（多选）（25-26高二下·新疆伊犁·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A． B．第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C．第15行中，第7个数与第8个数相等． D．第0行到第行所有数之和为 【答案】AD 【解析】位于第行，第个数，故，故A正确； 第3行到第10行的各行的第4个数之和为，故B错误； 第15行中，第7个数与第8个数分别为，不相等，故C错误； 第行的所有数之和为，则第0行到第行所有数之和为，故D正确. 2.(多选）(2026·贵州贵阳模拟)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是(　　) A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为1，3，6，10，15，…，则该数列的前n项和为Tn＝C(n∈N*) 【答案】BCD 【解析】对于A，行数比每行数的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误；对于B，可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列，所以20＋21＋22＋23＋…＋210＝＝2047，所以B正确；对于C，第21行的二项式系数为C(k∈N且k≤21)，所以从左到右第3个数是C＝210，所以C正确；对于D，由公式C＋C＝C，得C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C(n∈N*)，所以D正确．故选BCD. 3．（多选）(2025·安徽合肥模拟)如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【答案】BC 【解析】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大；B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为；C对，因为 ； D错，第20行数的最大值为，第21行数的最大值为， 所以． 故选：BC. 【题型8 整除或求余数问题】 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）除以8的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】， 易知为8的整数倍， 所以除以8的余数为， 则除以8的余数为1. 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 ， 展开式中除了最后一项，其余均为10的倍数，故的个位数为4. 3．（25-26高二下·吉林·期末）除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】B 【解析】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 4．（25-26高二下·上海·期末）今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【答案】D 【解析】因为， 所以可以写成，的形式； 所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日. 【题型9 近似计算】 1．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【解析】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 2．（2026·安徽滁州·二模）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【解析】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【解析】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 4．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【解析】 ， 将精确到，故近似值为． 1.(2026·福州2月质检)若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 2.（2026•海南三亚期末）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　） A．360 B．180 C．90 D．45 【答案】B 【解析】展开式的通项为 展开式中，只有第六项的二项式系数最大 展开式的通项为令得 所以展开式中的常数项为 ． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）在的展开式中，含项的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的通项公式为，可知的展开式中，含项的系数是， 的展开式中，含项的系数为， 利用组合数的性质化简得. 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 5．(2024·河南灵宝市精英对抗赛)若，则等于（    ） A．49 B．55 C．120 D．165 【答案】D 【解析】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 故选：D 6．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 所以, 二项展开式的通项公式为， 令，解得 ，代入得的项的系数为 . 7．（23-24高二下·广东深圳·期中）当时，将三项式展开，可得到下列等式： 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数，则在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知的展开式的系数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 故的展开式中的系数为30，的系数为45， 所以的展开式中的系数为，解得. 8．(多选) (2024·河南灵宝市精英对抗赛)在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729 C．有理项有3项 D．常数项是第4项 【答案】AB 【解析】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确； 各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等， 令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得时，展开式的项为有理项， 所以有理项有4项，故C错误； 令，得，所以常数项是第5项，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26高二下·陕西商洛·期中）我国南宋数学家杨辉年所著的《解析九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（   ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第8个数是 B．第行的第个数最大 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为 【答案】ABC 【解析】根据题意，杨辉三角第行对应二项式系数，第行第个数为， 则第行，从左到右第个数： ，故正确; 第行，最大二项式系数在中间位置：行数，中间位置为， 故第个数最大，故B正确； 由组合恒等式，是第行的中间项， 故第行所有数字的平方和等于第行的中间项，故C正确； 由，结合各行第3列的数为，则 ，故D错误． 10.（2026•和平区期末）已知，则　 　（用数字作答）． 【答案】511 【解析】令，代入原式得， 再令，代入原式得， 故． 故答案为：511． 11．(2024·上海高三数学竞赛)计算 . 【答案】 【解析】由于 , 于是，. 综上可得. 1．（2026·海南海口高一学科竞赛）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 2．(2026·安徽安庆3调)在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】因为二项展开式的通项为， 又因为， 所以当或时，为有理项， 所以有理项共有2项，其余5项为无理项， 先排5项为无理项，共有种排法，再排2项有理项，共有种排法， 所以有理项互不相邻的排法总数为：种. 故选：A. 3．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若，其中，且，则的展开式中所有项的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 所以有， 即或，由，∴， ∴， 令，则有， 即展开式中所有项的系数和为. 故选：B. 4．(多选)（2026•天津期末）已知(2x－5)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a9(x－2)9，则下列结论正确的是(　　) A．a0＋a1＋…＋a9＝1 B．28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝256 C．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18 【答案】AD 【解析】设x－2＝t，原式为(2t－1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a9t9，令t＝1，得a0＋a1＋…＋a9＝1，A正确；令t＝，则(1－1)9＝a0＋＋＋＋…＋，两边同乘28，得0＝28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＋，又a9＝29，故28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝－＝－28＝－256，故B错误；令t＝－1，则(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故C错误；对(2t－1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a9t9两边同时求导，得18(2t－1)8＝a1＋2a2t＋3a3t2＋…＋9a9t8，再令t＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18，故D正确．故选AD. 5．（2025·全国数学极光杯竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 【答案】 －1 ， 【解析】由题意知在的展开式中，的系数为， 即， 若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是. 6．（第十二届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）设是的展开式中x项的系数（），若，则的最大值是 . 【答案】 【解析】， 因为在是减函数，在是增函数，且， 时，，所以时，， 所以，所以的最小值是. 7．（2025·北京大学强优秀中学生寒假学堂）设，则的值为 【答案】 【解析】取三次单位根，设，，易证， ，……， ， 在原式中，令，则有， 对上式取实部可得：， 所以. 因此所求多项式的值为. 8．（2024·南京大学强基计划）已知，的最大项是 . 【答案】 【解析】二项式展开式通项为：， 设第项最大，则， 解得，所以，有最大项是. 9．（2025·清华大学强基计划）设a，b∈Z，a≠0．如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则a| cibi，其中ci∈Z，i＝1，2，3，…，n． (1) 若数列{an}满足an＝2n－1，其前n项和为Sn，证明：279|S3 000； (2) 若n为奇数，求证：an＋bn能被a＋b整除． 【解析】 (1) 因为an＝2n－1，所以数列{an}是以a1＝1为首项，q＝2为公比的等比数列，所以S3 000＝＝23 000－1.而279＝31×9，且31与9互质，易知S3 000＝23 000－1＝23×1 000－1＝81 000－1＝(9－1)1 000－1＝C91 000－C9999＋…－C9＋C(－1)1 000－1＝C91 000－C9999＋…－C9，所以9|S3 000，且S3 000＝23 000－1＝25×600－1＝32600－1＝(31＋1)600－1＝C31600＋C31599＋…＋C31＋C－1＝C31600＋C31599＋…＋C31，所以31|S3 000.结合整除性质②可知279|S3 000. (2) 因为an＋bn＝(a＋b－b)n＋bn＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1(－b)＋…＋C(a＋b)(－b)n－1＋C(－b)n＋bn，且n为奇数，所以an＋bn＝(a＋b－b)n＋bn＝C(a＋b)n＋C(a＋b)n－1·(－b)＋…＋C(a＋b)(－b)n－1，因此an＋bn能被a＋b整除． 学科网（北京）股份有限公司 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $