第02讲 对数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第02讲 对数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1对数的概念判断与求值 题型2指数式与对数式的互化 题型3对数的运算性质的应用 题型4运用换底公式化简计算 题型5指、对数方程的求解 题型6带附加条件的指、对数问题 题型7对数的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数、对数的运算性质 换底公式 1.理解对数的概念并掌握对数的运算性质； 2.了解对数的换底公式； 3.能运用对数的运算性质及换底公式进行对数的化简、求值、证明． 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算 学习重点：对数的运算及应用 学习难点：对数的运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 知识点02 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 题型1 对数的概念判断与求值 【例1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 对数的真数大于0，对数的底数大于0且不等于1 【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【变式1-2】在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【解答过程】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 【变式1-3】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C. 题型2指数式与对数式的互化 【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【解答过程】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 结合指数式与对数式互化即可 【变式2-1】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 【变式2-2】已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【解答过程】由，得， 故， 故选：D. 【变式2-3】将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【解答过程】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 题型3对数的运算性质的应用 【例3】计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【解答过程】原式. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 利用对数的运算性质即可求解 【变式3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用对数运算律结合已知计算求解. 【解答过程】因为，则， 则， 则. 故选：D. 【变式3-2】若，则（   ） A．3 B．4 C．9 D．16 【解题思路】根据对数的运算性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：D. 【变式3-3】若且，，，、，，给出下列等式：①；②；③；④.其中成立的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】利用对数的运算性质判断①②③④即可. 【解答过程】因为且，，，、，， 对于①，，①错； 对于②，，②错； 对于③，，③对； 对于④，，④对. 故正确的个数为. 故选：B. 题型4运用换底公式化简计算 【例4】设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【解答过程】，，则 ， 即. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 利用换底公式将所求的式子换成已知条件的对数式的底再进行计算 【变式4-1】若，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解. 【解答过程】由， 故 . 故选：A. 【变式4-2】若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【解答过程】由，得，而， 所以. 故选：A. 【变式4-3】已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 【解题思路】由题设等式，利用对数运算性质化简得或，再利用对数的换底公式化简所求，分别代入求值即可得解. 【解答过程】因为 ， 所以由， 得，化简得， 即 ，解得或. 又， 故当时， ； 当时，； 综上，的值为或0. 故选：A. 题型5指、对数方程的求解 【例5】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解题思路】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得. 【解答过程】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 由韦达定理建立等式，再用对数的运算性质求解 【变式5-1】若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【解答过程】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【变式5-2】设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【解题思路】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【解答过程】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C. 【变式5-3】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可. 【解答过程】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 题型6 带附加条件的指、对数问题 【例6】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【解题思路】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【解答过程】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 【易错提醒】/【方法总结】 将指数式化为对数式，再利用换底公式即可 【变式6-1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用对数与指数的互化求出，再利用对数的运算法则求解即可. 【解答过程】因为，，所以，， 所以， 所以， 故选：A. 【变式6-2】（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 【变式6-3】已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 题型7 对数的实际应用 【例7】星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【解题思路】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【解答过程】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 将对数式化为指数式即可 【变式7-1】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 【变式7-2】声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可. 【解答过程】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则，由题知， 则， 故选：C. 【变式7-3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：，） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解题思路】由题设列不等式，解该不等式即可求解. 【解答过程】由题可得经过t个小时后驾驶员血液中酒精含量为， 则令得， 所以，所以， 所以该驾驶员至少经过16个小时才能驾驶. 故选：D. 一、单选题 1．计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【解题思路】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【解答过程】. 故选：D. 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 3．若，则有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数式与对数式的互化直接判断即可. 【解答过程】当时，由及对数定义得. 故选：A. 4．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数的运算律，可得答案. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 5．计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解题思路】由对数的运算公式及换底公式，计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 6．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 二、多选题 7．下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD. 8．下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确；对于B，由，得，故，所以B正确；对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 9．若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 10．若，则的值为 . 【答案】 【分析】由换底公式结合对数定义可得答案. 【详解】，则. 故答案为： 11．已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 12．计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 四、解答题 13．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 14．已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【解题思路】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【解答过程】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 15．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 对数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1对数的概念判断与求值 题型2指数式与对数式的互化 题型3对数的运算性质的应用 题型4运用换底公式化简计算 题型5指、对数方程的求解 题型6带附加条件的指、对数问题 题型7对数的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数、对数的运算性质 换底公式 1.理解对数的概念并掌握对数的运算性质； 2.了解对数的换底公式； 3.能运用对数的运算性质及换底公式进行对数的化简、求值、证明． 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算 学习重点：对数的运算及应用 学习难点：对数的运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 知识点02 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 题型1 对数的概念判断与求值 【例1】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-3】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2指数式与对数式的互化 【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【变式2-3】将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 题型3对数的运算性质的应用 【例3】计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，则（   ） A．3 B．4 C．9 D．16 【变式3-3】若且，，，、，，给出下列等式：①；②；③；④.其中成立的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型4运用换底公式化简计算 【例4】设，，则（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】若，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【变式4-3】已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 题型5指、对数方程的求解 【例5】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【变式5-2】设方程的两实根是a和b，则等于（    ） A．1 B．－2 C． D．－4 【变式5-3】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型6 带附加条件的指、对数问题 【例6】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【变式6-3】已知：，求证：． 题型7 对数的实际应用 【例7】星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍 【易错提醒】/【方法总结】 【变式7-1】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【变式7-2】声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【变式7-3】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：，） A．10 B．14 C．15 D．16 一、单选题 1．计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若，则有（   ） A． B． C． D． 4．已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 二、多选题 7．下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 9．若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若，则的值为 . 11．已知，则= ． 12．计算 . 四、解答题 13．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 14．已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 15．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $