第02讲 子集、全集、补集（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第02讲 子集、全集、补集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求子集、真子集 题型2判断包含关系 题型3根据包含关系求参数 题型4集合相等 题型5全集与补集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集、真子集的概念、全集、补集的概念、集合与集合的关系 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集的概念； 3. 理解全集、补集的概念； 4.能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 学习重点：子集、真子集、全集、补集的概念 学习难点：集合间的关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集、全集、补集 【知识清单1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单2 集合间的关系】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单3 补集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 题型1 求子集、真子集 【例1】利用列举法求集合含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【解题思路】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【解答过程】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据集合的子集的定义列举出集合含有三个元素的子集即可 【变式1-1】设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 【变式1-2】已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解题思路】根据题意求得B，再求解子集个数即可. 【解答过程】由题意，B中的元素包括，即，故. 故B的子集个数为. 故选：B. 【变式1-3】写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 题型2 判断包含关系 【例2】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 根据集合的子集的定义即可求解 【变式2-1】若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别将集合表示为，和即可得结果. 【解答过程】∵， ， 显然， 故选：B. 【变式2-2】已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【解答过程】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 【变式2-3】已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 题型3根据包含关系求参数 【例3】集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D 【易错提醒】/【方法总结】 解二次方程分三类讨论：方程无根、方程有不等实根、方程有两相等实根。 【变式3-1】设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【解答过程】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 【变式3-2】已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 【变式3-3】）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得或或，列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以或或， 若，则方程的解集为空集，故， 若，则方程有且仅有解，故， 若，则方程有且仅有解，故， 故的所有可能取值组成的集合为. 故选：D. 题型4 集合相等 【例4】已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可 【变式4-1】（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【分析】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 【变式4-2】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式4-3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 题型5全集与补集 【例5】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合补集的定义即可得解. 【解答过程】， ， 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 根据补集的定义列出A相对于全集U中没有的元素即可的A的补集。 【变式5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【变式5-2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 【变式5-3】设集合，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 一、单选题 1．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 2．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 3．已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【解答过程】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 4．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的定义可得，即可求解. 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 5．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 二、多选题 6．已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系 【分析】根据条件，先求出集合，再对各个选项逐一分析判断即可得到结果. 【详解】由，得到，所以，则选项A正确； 对于选项B，因为集合与集合间的关系是包含关系，所以选项B错误； 对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确； 对于选项D，因为，集合含2个元素，故集合A的真子集个数为，所以选项D错误. 故选：AC. 7．集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合韦恩图，由子集，补集的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图可知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误； 故选：AC 8．已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 9．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 三、填空题 10．满足关系的集合有 个. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为：,共4个. 故答案为：4. 11．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 12．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据补集运算得到，利用数轴法表示集合间的包含关系，可直接得出结果. 【详解】由题意，，如图所示， 因为，所以. 故答案为：. （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 四、解答题 13．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 14．设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 15．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 子集、全集、补集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求子集、真子集 题型2判断包含关系 题型3根据包含关系求参数 题型4集合相等 题型5全集与补集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 子集、真子集的概念、全集、补集的概念、集合与集合的关系 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集的概念； 3. 理解全集、补集的概念； 4.能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 学习重点：子集、真子集、全集、补集的概念 学习难点：集合间的关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 子集、全集、补集 【知识清单1 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单2 集合间的关系】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单3 补集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 题型1 求子集、真子集 【例1】利用列举法求集合含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【变式1-2】已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式1-3】写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 题型2 判断包含关系 【例2】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 题型3根据包含关系求参数 【例3】集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 题型4 集合相等 【例4】已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【变式4-2】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 题型5全集与补集 【例5】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设集合，，，若，则 . 一、单选题 1．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 3．已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 5．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 7．集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 8．已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 9．已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 三、填空题 10．满足关系的集合有 个. 11．若集合，则实数a的值的集合为 ． 12．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 四、解答题 13．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 14．设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 15．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $