第02讲 子集、全集、补集（知识详解+6典例精讲+课后作业）讲义-2026年暑假新高一预习数学苏教版必修第一册

第02讲 子集、全集、补集（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集与真子集 知识点02：全集、补集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断集合的子集(真子集)的个数 题型02：求集合的子集(真子集) 题型03：判断两个集合的包含关系 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：补集的概念及运算 题型06：根据补集运算确定集合或参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或B⫌A 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C; (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B; (4)规定⌀⊆A (1)对于集合A,B,C,若A⫋B且B⫋C,则A⫋C; (2)若A≠⌀,则⌀⫋A 温馨提示　(1)若A≠⌀,A⊆B,则对∀x∈A,则x∈B; (2)若A⊆B,B⊆A,则A=B; (3)若A⊆B,则A=B或者A⫋B; (4)⌀与{0}的区别:⌀是不含任何元素的集合; (5)符号⊆,⫋,⊇,⫌,=表示集合与集合之间的关系,而∈,∉表示元素与集合之间的关系. 【例1】已知集合，完成下列问题： 1.写出集合的全部子集； 2.写出集合的全部真子集； 3.分别求出该集合子集、真子集的个数。 解：该集合一共有个元素，按照元素数量分类列举，避免漏写、重写。 全部子集：无元素：、单个元素：、两个元素：、三个元素： 综上，子集为： 全部真子集：真子集不含集合本身，因此真子集为： 个数计算：子集个数：、真子集个数： 答案总结：子集共8个，真子集共7个。 【知识点02】全集、补集 1.补集 定义 文字语言 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S,∁SA⊆S;(2)∁S(∁SA)=A; (3)∁SS=⌀,∁S⌀=S 2.如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U. 温馨提示　(1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 【例2】设全集，集合，集合。求与； 解：根据补集定义，剔除全集内属于对应集合的元素： 答案总结：， 【题型01】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例1-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 【变式1-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·浙江·期中）若集合，则集合的真子集有______个． 【答案】7 【分析】若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为. 【详解】集合有3个元素，则真子集的个数为个， 故答案为：7. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 【答案】7 【分析】先求出集合的元素个数，再求解集合的真子集个数. 【详解】因为，所以集合的真子集的个数为. 故答案为：. 【题型02】求集合的子集(真子集) 【典例2-1】集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 【变式2-2】集合的子集有____________；其中真子集有____________． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 【变式2-3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【题型03】判断两个集合的包含关系 【典例3-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合，则下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合A的子集进行判断可得ABC正确，D选项的符号错误. 【详解】由，所以，，，故ABC正确， 而属于关系是表示元素与集合之间的关系，故D错误. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合关系及空集的性质判断各项的正误. 【详解】A：由是集合中的元素，故，故A错； B：由是点集，是数集，显然不可能相等，故B错； C、D：由是任意集合的子集且没有元素，则、，故C对，D错. 故选：C 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 【变式3-3】有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设，若，则；③.其中，正确的有_________.（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③. 【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误； 由子集的概念可得，设，若，则，故②正确； 由子集的概念可得，故③正确. 故答案为：②③. 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【分析】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】根据已知及集合的包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】由题设，知集合为非空集合，且，则. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值即可. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 【题型05】补集的概念及运算 【典例5-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：A 【变式5-1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的定义求解即可. 【详解】由于， 则， 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）设全集，集合，则______． 【答案】/ 【分析】利用集合的补集运算即可. 【详解】由全集可得：， 因为集合，所以， 故答案为：. 【变式5-3】已知全集，分别根据下列条件求． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据补集的知识求出答案即可； （2）根据补集的知识求出答案即可； （3）根据补集的知识求出答案即可. 【详解】（1）因为，，所以； （2）因为，，所以； （3）因为，，所以. 【题型06】根据补集运算确定集合或参数 【典例6-1】设全集，集合，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得出关于的等式，由此可解得实数的值. 【详解】已知全集，集合，，则，解得. 故选：C. 【变式6-1】（多选）已知，，，则的值可以是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】AC 【解析】根据集合的运算法则得到，解得答案. 【详解】由题可知，解得或， 故选：AC. 【点睛】本题考查了根据补集的运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 【变式6-2】设全集，则集合__________． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 【答案】 【分析】根据已知有，，结合集合列不等式求参数值. 【详解】由，则，，故， 所以，可得. 知识点01子集与真子集（知识梳理） 1. 核心定义 （1）子集 若集合中任意一个元素，都属于集合，则称是的子集。 符号语言：，记作 或 硬性规定：空集是一切集合的子集，即 （2）真子集 满足，且存在元素但，则是的真子集。 记作： 硬性规定：空集是一切非空集合的真子集 （3）集合相等 且 2. 子集个数万能公式（高频考点） 设集合中有个元素： 子集总个数： 真子集个数： 非空子集个数： 非空真子集个数： 3. 易错点辨析 ：任何集合都是自身的子集 不成立：集合不能是自身的真子集 区分：（元素与集合关系）、（集合与集合关系），二者不可混用 知识点02全集、补集（知识梳理） 1. 全集 研究某一类集合问题时，包含研究范围内全部元素的集合，记作。 关键特征：全集具有相对性，研究场景改变，全集随之改变。 2. 补集定义 已知全集，，由全集中所有不属于的元素组成的集合，称为在全集中的补集。 符号： 集合语言公式： 知识点03本节高频易错汇总 1.漏掉空集：空集是所有集合的子集，列举子集务必优先写 2.混淆符号： 针对元素， 针对集合 3.忽视全集相对性：补集必须依托全集存在，无全集则无补集 4.真子集多算自身：真子集一定不包含集合本身 一、单选题 1．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，列举集合中元素，再根据真子集定义求解. 【详解】根据题意知，故真子集个数为， 故选：C. 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】化简集合，再根据结论求出. 【详解】， 故的子集个数是. 故选：D 3．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合的补集运算求解即可. 【详解】因为全集， 所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 5．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A ． 6．（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据补集定义计算求解. 【详解】集合，又， 则集合. 故选：A. 7．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用集合补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 10．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 三、填空题 12．集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 【答案】 ，，，，，，， 【分析】根据列举法写出子集，即可得出结果. 【详解】集合的子集有：，，，，，，，， 其中除外，都是的真子集，共个. 故答案为：，，，，，，，；. 【点睛】本题主要考查列举集合的子集，以及求真子集的个数，属于基础题型. 13.设全集，且，若，则________. 【答案】4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 14．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据子集关系列式求解. 【详解】因为，所以，故实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据题意得或，再解方程求解即可. 【详解】解：由题意得： ①当时，解得： 代入检验，得，，满足条件 ②当时，无解 综上所述，. 16．（25-26高一上·山东济南·期中）用描述法表示下列集合，并判断集合是否为该集合的子集： (1)所有大于1的整数； (2)所有能被2整除的数. 【答案】(1)，是该集合的子集； (2)，是该集合的子集 【分析】（1）得到，根据元素和集合的关系得到是该集合的子集； （2）得到，根据，故是该集合的子集. 【详解】（1）；由于，故是该集合的子集； （2），由于，故是该集合的子集. 17．（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据子集的定义进行求解即可； （2）根据属于关系的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题知，则， 若，则或， 当时，方程无实数解； 当时，，解得:， 此时，，符合题意， 所以m的取值集合为； （2）时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 若，即，无实根，不符合题意． 所以． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 19．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 子集、全集、补集（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集与真子集 知识点02：全集、补集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断集合的子集(真子集)的个数 题型02：求集合的子集(真子集) 题型03：判断两个集合的包含关系 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：补集的概念及运算 题型06：根据补集运算确定集合或参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或B⫌A 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C; (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B; (4)规定⌀⊆A (1)对于集合A,B,C,若A⫋B且B⫋C,则A⫋C; (2)若A≠⌀,则⌀⫋A 温馨提示　(1)若A≠⌀,A⊆B,则对∀x∈A,则x∈B; (2)若A⊆B,B⊆A,则A=B; (3)若A⊆B,则A=B或者A⫋B; (4)⌀与{0}的区别:⌀是不含任何元素的集合; (5)符号⊆,⫋,⊇,⫌,=表示集合与集合之间的关系,而∈,∉表示元素与集合之间的关系. 【例1】已知集合，完成下列问题： 1.写出集合的全部子集； 2.写出集合的全部真子集； 3.分别求出该集合子集、真子集的个数。 【知识点02】全集、补集 1.补集 定义 文字语言 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S,∁SA⊆S;(2)∁S(∁SA)=A; (3)∁SS=⌀,∁S⌀=S 2.如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U. 温馨提示　(1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 【例2】设全集，集合，集合。求与； 【题型01】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例1-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1-2】（25-26高一上·浙江·期中）若集合，则集合的真子集有______个． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则集合A的真子集的个数为______. 【题型02】求集合的子集(真子集) 【典例2-1】集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】集合的子集有____________；其中真子集有____________． 【变式2-3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【题型03】判断两个集合的包含关系 【典例3-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合，则下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段检测）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设，若，则；③.其中，正确的有_________.（填序号） 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【变式4-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【变式4-2】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，若，则实数的取值范围__________. 【变式4-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【题型05】补集的概念及运算 【典例5-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）设全集，集合，则______． 【变式5-3】已知全集，分别根据下列条件求． （1）； （2）； （3）． 【题型06】根据补集运算确定集合或参数 【典例6-1】设全集，集合，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）已知，，，则的值可以是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【变式6-2】设全集，则集合__________． 【变式6-3】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 知识点01子集与真子集（知识梳理） 1. 核心定义 （1）子集 若集合中任意一个元素，都属于集合，则称是的子集。 符号语言：，记作 或 硬性规定：空集是一切集合的子集，即 （2）真子集 满足，且存在元素但，则是的真子集。 记作： 硬性规定：空集是一切非空集合的真子集 （3）集合相等 且 2. 子集个数万能公式（高频考点） 设集合中有个元素： 子集总个数： 真子集个数： 非空子集个数： 非空真子集个数： 3. 易错点辨析 ：任何集合都是自身的子集 不成立：集合不能是自身的真子集 区分：（元素与集合关系）、（集合与集合关系），二者不可混用 知识点02全集、补集（知识梳理） 1. 全集 研究某一类集合问题时，包含研究范围内全部元素的集合，记作。 关键特征：全集具有相对性，研究场景改变，全集随之改变。 2. 补集定义 已知全集，，由全集中所有不属于的元素组成的集合，称为在全集中的补集。 符号： 集合语言公式： 知识点03本节高频易错汇总 1.漏掉空集：空集是所有集合的子集，列举子集务必优先写 2.混淆符号： 针对元素， 针对集合 3.忽视全集相对性：补集必须依托全集存在，无全集则无补集 4.真子集多算自身：真子集一定不包含集合本身 一、单选题 1．（25-26高一上·河北衡水·期末）集合的真子集个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．⫋ 5．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北·期末）已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 13.设全集，且，若，则________. 14．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 15．已知集合，，求实数的值. 16．（25-26高一上·山东济南·期中）用描述法表示下列集合，并判断集合是否为该集合的子集： (1)所有大于1的整数； (2)所有能被2整除的数. 17．（24-25高一上·安徽六安·阶段检测）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 19．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $