第4章 指数与对数单元测试卷（暑假单元自测）新高一年级数学苏教版

**基本信息** 《指数与对数》单元卷立足基础，通过科学情境与分层设计，适配高中暑假复习，全面考查运算、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数运算、对数性质|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选|3/18|命题判断、公式应用|综合理解，考查推理意识| |填空|3/15|指数对数互化|简洁诊断，强化运算能力| |解答|5/77|纠错分析、方程应用|分层递进，19题结合天文背景体现模型意识，18题纠错培养批判性思维|

第4章 指数与对数单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A．－5 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算性质即可求解. 【详解】. 故选：. 2．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 3．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 5．若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 6．正实数，满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两边取对数可得，利用基本不等式即可求出的取值范围. 【详解】正实数，满足， 两边取对数可得，所以， 所以，即， 所以或，解得或， 所以的取值范围是． 7．若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得. 【详解】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C 8．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【解答过程】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【解题思路】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题 ，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD. 10．下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】取可判断AB选项；利用指数幂的运算性质可判断C选项；利用对数的换底公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，，A错； 对于B选项，当时，有意义，无意义，B错； 对于C选项，若，则，， 因为，故，C对； 对于D选项，若，由换底公式可得，D对. 故选：CD. 11．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数的运算性质化简方程得，结合指数的运算性质逐一判断即可 【详解】依题意，，即，则且，故C项正确； 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． ． 【答案】2 【分析】利用换底公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：2. 13．已知，且，则M的值为 . 【答案】72 【分析】利用指数与对数的换算，结合对数的运算法则计算即可. 【详解】， ，，则， ∴ 故答案为： 14．，则用和表示的结果为 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【解答过程】由，得，而， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算： (1). (2) 【答案】(1)121 (2)7 【解题思路】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可. （2）根据对数的运算法则进行化简求解. 【解答过程】（1）. （2）. 16．（15分） （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2）2 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案； （2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2），故， 故 . 17．（15分） （1）已知，求的值； （2）计算的值． 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）利用指数运算化简求出给定式子的值. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）由，得，则，两边平方得， 所以. （2） . 18．（17分） （1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）2.09 【分析】（1）据对数函数的性质，列不等式组得出，利用对数的性质化简原方程，结合已知范围，可得的值； （2）结合对数的概念，利用指数运算性质化简求值. 【详解】（1）不正确，理由如下： 由已知可得，，即， 则可化简为， 等价于，即，解得，或， 所以（舍）或.故的值为4. （2） . 19．（17分） 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解答过程】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 学科网（北京）股份有限公司3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A．－5 B． C． D．5 2．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 6．正实数，满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 8．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 10．下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． ． 13．已知，且，则M的值为 . 14．，则用和表示的结果为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算： (1). (2) 16．（15分） （1）计算：； （2）已知，求的值. 17．（15分） （1）已知，求的值； （2）计算的值． 18．（17分） （1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答： 由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4. 该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）. （2）计算：. 19．（17分） 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $