第4章 指数与对数综合测试-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第4章 指数与对数综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 6．已知，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 11．已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．设，，则 14．已知，则 ．（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式的值： (1)； (2). 16．（15分） （1） （2）已知，求的值． 17．（15分） 求值： (1)； (2)已知，，，求的最小值. 18．（17分） 已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 19．（17分） 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：A 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得, 又所以, 又， 所以. 故选：D. 3．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【解析】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. 5．科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的， 因为，即，则， 所以分形维数是. 故选：D. 6．已知，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】由，则， 因为， 即，又，所以的最小值为8. 故选：A. 7．已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：，故A正确； 对B：由，则，故，故B正确； 对C：由， 故， 当且仅当时等号成立，由，故等号不成立， 即，故C正确； 对D：当、时，符合题意， 但此时，故D错误. 故选：D. 8．已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 【答案】B 【解析】， 所以，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【解析】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 10．已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 11．已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，，，且， 由，A正确； 由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即， 当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得， 与，矛盾，所以，B正确； ， 所以，， 所以，所以，C正确，D错误． 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【答案】15 【解析】 . 故答案为：15 13．设，，则 【答案】1 【解析】由题意可得，，， ， . 故答案为：1. 14．已知，则 ．（用表示） 【答案】 【解析】由，得，又， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1）原式； （2）原式. 16．（15分） （1） （2）已知，求的值． 【解析】（1）原式 ； （2）由于，故原式 . 17．（15分） 求值： (1)； (2)已知，，，求的最小值. 【解析】（1） . （2）因为，，， 所以 . 当且仅当，即时取等. 18．（17分） 已知正实数x，y，z满足． （1）求证：； （2）比较的大小． 【解析】（1）证明：令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 19．（17分） 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【解析】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得，又因 ， 所以； （3） 故答案为：2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$