第4章 指数与对数综合测试-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第4章 指数与对数综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】. 故选：B. 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 3．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以，，所以. 故选：A. 4．阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以，即与最接近的是. 故选：B. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，. 故选：D. 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 8．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 10．下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，则，故，当且仅当， 即时等号成立，因为在定义域上单调递增， 所以，故A正确； 对于B，由，所以当且仅当， 即时的最小值为8，故B错误； 对于C，由题得，故 ， 所以当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即， 即，又单调递增且，所以，故D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算 . 【答案】4 【解析】 . 故答案为：4. 13．函数的最小值为 . 【答案】/ 【解析】, 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故答案为：. 14．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 16．（15分） （1）计算：； （2）计算：. 【解析】（1） . （2） . 17．（15分） 已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 18．（17分） 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【解析】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 19．（17分） （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 第2页，共9页 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算（    ） A． B． C．4 D．5 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算 . 13．函数的最小值为 . 14．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 16．（15分） （1）计算：； （2）计算：. 17．（15分） 已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 18．（17分） 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 19．（17分） （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$