第01讲 指数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第01讲 指数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1根式与分数指数幂的互化 题型2根式的化简求值 题型3指数幂的运算 题型4指数幂的化简、求值 题型5指数式的给条件求值问题 题型6指数幂等式及幂的方程问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 n次方根、指数幂 1.理解n次方根，n次根式的概念及运算； 2.会进行根式及分数指数幂的化简求值； 3.通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算 学习重点：理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用 学习难点：指数幂运算性质的应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 知识点02 分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 知识点03 指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 题型1 根式与分数指数幂的互化 【例1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【易错提醒】/【方法总结】 利用分数指数幂的运算法则即可求解 【变式1-1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【解答过程】． 故选：D. 【变式1-3】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 题型2根式的化简求值 【例2】若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数 【变式2-1】已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式的性质化简求值即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 【变式2-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 所以， 故选：C. 【变式2-3】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 题型3指数幂的运算 【例3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【易错提醒】/【方法总结】 根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算再合并同类项即可 【变式3-1】下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【解答过程】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A. 【变式3-2】（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得. 【解答过程】 ， 故选：C. 【变式3-3】（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数幂的运算性质求解. 【解答过程】原式. 故选：A. 题型4指数幂的化简、求值 【例4】计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 【易错提醒】/【方法总结】 利用根式与指数幂运算法则计算 【变式4-1】（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解题思路】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【解答过程】（1） ； （2）. 【变式4-2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】原式． 故选：D. 【变式4-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 题型5指数式的给条件求值问题 【例5】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 【易错提醒】/【方法总结】 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值 【变式5-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 【变式5-2】已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解析】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式5-3】若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂运算法则得到答案. 【解答过程】. 故选：A. 题型6指数幂等式及幂的方程问题 【例6】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 将方程两边化为同底数幂的形式即可求解 【变式6-1】方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【解答过程】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 【变式6-2】方程的解为 ． 【解题思路】根据指数幂运算求解即可． 【解答过程】，， 则，解得． 故答案为：． 【变式6-3】关于的方程的解为 ． 【解题思路】由可得出，结合可求得的值. 【解答过程】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 一、单选题 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【解答过程】． 故选：A． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义； 当时，，此时④无意义． 因为，所以恒有意义， 因为任何数都可以开奇次方，所以恒有意义， 所以恒有意义的式子是①③． 故选：B． 3．（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可. 【解答过程】. 故选：C. 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】由题意可知， 且． 故选：B 6．设，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得①；由得②．得，得 故选：D. 二、多选题 7．下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【解题思路】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【解答过程】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 8．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【解答过程】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 9．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．若，， 则 15 . 【解题思路】根据指数幂的运算法则求解． 【解答过程】若，，则． 故答案为：15． 11．计算： ＋4＝________． 12．若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 四、解答题 13．计算： (1) (2) 【解题思路】（1）根据幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则求解． 【解答过程】（1） ． （2）原式． 14．若，求下列各式的值： ①；② 【解题思路】 利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【解答过程】①，所以； ②，且， 所以. 15．已知，求： (1) (2). 【解题思路】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【解答过程】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 指数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1根式与分数指数幂的互化 题型2根式的化简求值 题型3指数幂的运算 题型4指数幂的化简、求值 题型5指数式的给条件求值问题 题型6指数幂等式及幂的方程问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 n次方根、指数幂 1.理解n次方根，n次根式的概念及运算； 2.会进行根式及分数指数幂的化简求值； 3.通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 4.通过理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，理解根式的概念及运算 学习重点：理解根式的概念及运算性质；指数幂运算性质的应用 学习难点：指数幂运算性质的应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 知识点02 分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 知识点03 指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 题型1 根式与分数指数幂的互化 【例1】下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 题型2根式的化简求值 【例2】若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3指数幂的运算 【例3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算再合并同类项即可 【变式3-1】下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（    ） A． B． C． D． 题型4指数幂的化简、求值 【例4】计算： (1)； (2)若，，求的值. 【易错提醒】/【方法总结】 利用根式与指数幂运算法则计算 【变式4-1】（1）计算：； （2）化简： 【变式4-2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，则（    ） A． B． C． D． 题型5指数式的给条件求值问题 【例5】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式5-3】若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 题型6指数幂等式及幂的方程问题 【例6】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】方程的解为 ． 【变式6-3】关于的方程的解为 ． 一、单选题 1．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．若，，给出下列式子：①；②；③；④．其中恒有意义的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（   ） A． B． C． D． 4．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 6．设，那么（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 8．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若，， 则 15 . 11．计算： ＋4＝________． 12．若实数、、满足，，则的最小值是 . 四、解答题 13．计算： (1) (2) 14．若，求下列各式的值： ①；② 15．已知，求： (1) (2). 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $