第13讲 对数（5知识点+6大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第13讲 对数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 知识点2：常用对数、自然对数 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： 知识点3：两个基本对数 ①，② 知识点4：对数恒等式 ①，②。 知识点4：对数的运算性质 ①积的对数：； ②商的对数：； ③幂的对数：❶，❷，❸，❹ 知识点5：换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 【题型1 指对互化（一）】 例1-1．将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义化指数式为对数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 例1-2．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 【变式1-1】将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （2）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （3）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （4）根据对数的定义化对数式为指数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式1-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 【题型2 指对互化（二）】 例2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 【变式2-4】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知均是正实数，且，则 . 【答案】 【分析】将对数式化成指数式，代入条件，利用指数幂的性质即可求得. 【详解】由可得（*）， 因将（*）代入，可得即得， 由，得. 故答案为：. 【题型3 对数的运算性质】 例3-1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）计算 . 【答案】3 【分析】利用对数的运算法则和对数换底公式计算即得. 【详解】原式. 故答案为：3. 例3-2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知为自然对数的底数，则 ． 【答案】 【分析】直接根据对数运算的性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习） . 【答案】6 【分析】由对数的运算性质和换底公式可得解. 【详解】. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·广西·阶段练习） . 【答案】/ 【分析】根据指数与对数的运算公式直接计算. 【详解】 . 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）计算： . 【答案】/ 【分析】利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】原式 故答案为：. 【变式3-4】（24-25高一下·湖北·开学考试） . 【答案】12 【分析】根据对数和指数幂的运算法则可得. 【详解】原式 故答案为：12. 【题型4 换底公式的应用】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 【变式4-1】，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】由，，则. 故选：B 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【详解】，，则 ， 即. 故选：. 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【题型5 解对数方程】 例5-1．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的定义即可求解. 【详解】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 例5-2．已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/2.5 【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得，，代入运算求解即可. 【详解】方法一：因为a，b是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 则， 即； 方法二：因为的根为或， 不妨设，，则，， 所以． 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）方程的解 【答案】 【分析】由对数式转化为指数式，解方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 【变式5-3】方程的解 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，可得，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得， 可得，解得. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 【变式5-4】方程的解是 . 【答案】 【分析】由换底公式得出，利用对数的运算性质并对真数为正数进行限制，可求出的值. 【详解】原方程可变为 ，即 ，即， 即，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查对数方程的求解，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，在解方程时，还应对真数的符号进行限制，考查计算能力，属于基础题. 【题型6 对数的应用】 例6．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可. 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 【变式6-1】随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（    ）(，) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【答案】B 【分析】首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间. 【详解】设至少需要年的时间，则，两边取对数， 即. 故选：B 【变式6-2】《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 【答案】B 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力． 【变式6-3】凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值. 【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到. 【详解】， . 故选：C 2．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数幂，同底数指数幂运算法则，对数运算法则化简计算即可. 【详解】因为，，， 所以原式. 故选：D 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 5．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 二、多选题 6．（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确；对于B，由，得，故，所以B正确；对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 9．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算性质得，对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由得，有，借助基本不等式判断；对于C，由题意，直接应用基本不等式即可，对于D，将化为，然后利用反比例函数的单调性求解即可. 【详解】对于A，因为正实数满足，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，取到最小值4，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，，由A选项可知， 由函数在上单调递减可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若，则的值为 . 【答案】 【分析】由换底公式结合对数定义可得答案. 【详解】，则. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 13．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 14．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】指数式化为对数式，得到，利用换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】由题意得， . 故答案为： 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【详解】设，则原方程化为，，即，所以． 四、解答题 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 17．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据对数的运算分析求解； （2）根据指数幂运算分析求解. 【详解】（1）原式. （2）根据分数指数幂的定义，得 ，，， 原式. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 19．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，为正实数，，，求的值. 【答案】（1）0，（2）5，（3）1 【分析】（1）利用指数幂计算公式得到答案；（2）利用对数运算法则得到答案；（3）令，指数式转化成对数式，结合对数的运算求解. 【详解】（1） . （2） . （3）令，可得，，， 则，，， ，即， 解得. 20．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数幂的运算法则进行求解； （2）利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解； （3）利用换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ，，， （或）. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 对数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 知识点2：常用对数、自然对数 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： 知识点3：两个基本对数 ①，② 知识点4：对数恒等式 ①，②。 知识点4：对数的运算性质 ①积的对数：； ②商的对数：； ③幂的对数：❶，❷，❸，❹ 知识点5：换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 【题型1 指对互化（一）】 例1-1．将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 例1-2．将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型2 指对互化（二）】 例2．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，则 . 【变式2-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【变式2-4】（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知均是正实数，且，则 . 【题型3 对数的运算性质】 例3-1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）计算 . 例3-2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知为自然对数的底数，则 ． 【变式3-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习） . 【变式3-2】（24-25高一上·广西·阶段练习） . 【变式3-3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）计算： . 【变式3-4】（24-25高一下·湖北·开学考试） . 【题型4 换底公式的应用】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】，，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【题型5 解对数方程】 例5-1．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5-2．已知a，b是方程的两个实数根，则 ． 【变式5-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）方程的解 【变式5-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）设，是方程的两根，则 ． 【变式5-3】方程的解 . 【变式5-4】方程的解是 . 【题型6 对数的应用】 例6．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【变式6-1】随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（    ）(，) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【变式6-2】《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 【变式6-3】凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 一、单选题 1．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 5．（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 9．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若，则的值为 . 12．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 13．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 14．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若，则 ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 四、解答题 16．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 17．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 19．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，为正实数，，，求的值. 20．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$