第01讲 不等式的基本性质（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第01讲 不等式的基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1用不等式表示不等关系 题型2利用作差法比较大小 题型3利用作商法比较大小 题型4由不等式的性质比较数（式）大小 题型5利用不等式的性质求取值范围 题型6利用不等式的性质证明不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的性质、不等式的概念、性质 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 学习重点：掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关问题 学习难点：不等式性质的运用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等式的概念 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点02 大小的比较 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点03等式的基本性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 知识点04 不等式的性质 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 题型1用不等式表示不等关系 【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【易错提醒】/【方法总结】 由路程等于速度乘以时间得等式，从而构造不等式 【变式1-1】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式1-2】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式1-3】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 题型2利用作差法比较大小 【例2】设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【解题思路】作差并与0比较大小得解. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 作差并与0比较大小即可 【变式2-1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】用作差法计算比较的大小关系． 【解答过程】 ，故B正确． 故选：B． 【变式2-2】互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【解答过程】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D. 【变式2-3】若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解题思路】利用作差比较大小可得答案. 【解答过程】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 题型3利用作商法比较大小 【例3】设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 先判断两个数均大于零，然后再用作商法比较大小 【变式3-1】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式3-2】设，，则_________（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解题思路】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式3-3】已知，试比较与的大小. 【答案】 【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【解答过程】， ，. 两数作商 ， . 题型4由不等式的性质比较数（式）大小 【例4】已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质判断即可. 【解答过程】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据不等式的性质判断即可，或用赋值法判断 【变式4-1】下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】若，，所以，A为真命题； 若，则，所以，B为真命题； 若，因为，不等式两边同乘得，C为真命题； 若且，当均为负数时，例如，满足， 当时，D为假命题； 故选：D. 【变式4-2】若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【解答过程】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 【变式4-3】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．苦，那么 D．若，则 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质以及作差法比较大小一一判断求解. 【解答过程】对A，取，满足，但，A错误； 对B，因为，所以，所以，所以，B正确； 对C，取，满足，但不成立，C错误； 对D，， 因为，所以，即，D错误； 故选:B. 题型5利用不等式的性质求取值范围 【例5】实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】由不等式的性质求解． 【解答过程】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 （1）直接用不等式性质可求解；（2）利用待定系数法构造出所求的式子，不可用两个变量的范围求所求式子的范围 【变式5-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式5-2】已知，， (1)求及的范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先求出的范围，再结合a的范围以及不等式的性质即可得出； （2）对于，可先求出的范围，然后再结合a的范围以及不等式的性质即可得出. 【解答过程】（1），，， 又， 所以，即， ，即， 综上，，. （2）∵，∴， 又∵，∴， 即. 【变式5-3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 题型6利用不等式的性质证明不等式 【例6】已知,求证:. 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【解析】证明：方法一：因为,所以, 所以,所以, 所以, 即,所以, 又因为,所以. 方法二： 因为,所以, 所以,所以, 所以,因此. 【易错提醒】/【方法总结】 利用不等式的性质及作差法比较 【变式6-1】已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【解答过程】 ，， ， 又 ， ，故， ，，， ，即． 【变式6-2】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解答过程】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【变式6-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 一、单选题 1．若，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举出反例可得A、C、D错误；借助作差法计算可得B. 【解析】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【解析】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 3．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举出反例可得A、B错误；借助作差法计算可判定C、D. 【解析】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 4．已知，，则的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【解析】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 5．已知，，则下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可判断. 【解析】选项A：因为，，所以，故A错误； 选项B：因得，又， 所以，故B错误； 选项C：因，，取，时， 此时，不满足，故C正确； 选项D：因，故，因所以， 所以，故D错误. 故选：C 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D 二、多选题 7．已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD. 【解析】对A：因为，所以，所以，故A错误； 对B：， 因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对C：取，，，不成立，故C错误； 对D：，因为，所以， 故原不等式成立，故D正确. 故选：BD. 8．若实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【解析】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 9．已知实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质即得. 【解析】因为，所以，A正确； 因为，所以，解得，B错误； 因为，，所以，C正确； ，，所以， D错误.故选：AC. 三、填空题 10．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，得到取值范围. 【解析】，故，则， 又，故. 故答案为： 11．某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例 （选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为 ． 【答案】 增大 若，则 【分析】补录新生后，新生人数增加，而原有学生人数没有变，即可得知新生占比增大；由不得式性质，结合不等式成立条件，即可得数学表达性. 【解析】由题意补录了名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大. 由于补录后新生人数变为，在校生人数增加为， 故所对应的不等式模型是， 即若，则． 故答案为:增大；，则． 12．已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解析】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 四、解答题 13．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 14．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，； （2） 【解题思路】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【解答过程】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 15．（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 16．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式的基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1用不等式表示不等关系 题型2利用作差法比较大小 题型3利用作商法比较大小 题型4由不等式的性质比较数（式）大小 题型5利用不等式的性质求取值范围 题型6利用不等式的性质证明不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的性质、不等式的概念、性质 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 学习重点：掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关问题 学习难点：不等式性质的运用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 不等式的概念 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点02 大小的比较 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点03等式的基本性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 知识点04 不等式的性质 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 题型1用不等式表示不等关系 【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 题型2利用作差法比较大小 【例2】设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【变式2-2】互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 题型3利用作商法比较大小 【例3】设，，则（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设，，则_________（填入“＞”或“＜”）． 【变式3-3】已知，试比较与的大小. 题型4由不等式的性质比较数（式）大小 【例4】已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式4-2】若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．苦，那么 D．若，则 题型5利用不等式的性质求取值范围 【例5】实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，， (1)求及的范围； (2)求的取值范围． 【变式5-3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6利用不等式的性质证明不等式 【例6】已知,求证:. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知均为正实数，且，求证：． 【变式6-2】已知，求证：． 【变式6-3】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 一、单选题 1．若，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，，则的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若，则的取值范围是 ． 11．某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例 （选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为 ． 12．已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 四、解答题 13．（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 14．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 15．（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 16．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $