第02讲 基本不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第02讲 基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用基本不等式比较大小 题型2利用基本不等式求最值（无条件） 题型3 条件等式求最值 题型4利用基本不等式证明不等式 题型5基本不等式“1”的妙用求最值 题型6基本不等式的恒成立问题 题型7基本不等式的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 基本不等式 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值 学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2) 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 题型1利用基本不等式比较大小 【例1】已知实数，下列四个不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 【变式1-2】若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【变式1-3】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 题型2利用基本不等式求最值（无条件） 【例2】设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2-2】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【变式2-3】已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 题型3条件等式求最值 【例3】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，，则的最小值为 . 【变式3-3】已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 题型4 利用基本不等式证明不等式 【例4】已知均为正实数，求证：； 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【变式4-2】已知，，，且．求证：． 【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 【例5】已知，且，则的最小值是 . 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式5-3】已知，则 的最小值为 . 题型6 基本不等式的恒成立问题 【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【变式6-2】已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型7基本不等式的实际应用 【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.    (1)若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值. 【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 一、单选题 1．设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．已知正数，满足，则（　　） A． B． C． D． 3．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 4．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 6．若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列不等式成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 三、填空题 9．若，则的最大值为 ． 10．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 12．已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 13．已知，，，且，证明： (1)； (2). 14．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用基本不等式比较大小 题型2利用基本不等式求最值（无条件） 题型3 条件等式求最值 题型4利用基本不等式证明不等式 题型5基本不等式“1”的妙用求最值 题型6基本不等式的恒成立问题 题型7基本不等式的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 基本不等式 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值 学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1).(2) 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 题型1利用基本不等式比较大小 【例1】已知实数，下列四个不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 利用基本不等式比较大小时要注意等号成立的条件 【变式1-1】下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 【答案】C 【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误. 【解析】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，∵，如时，，∴D错误； 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 【变式1-2】若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【解答过程】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A. 【变式1-3】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 题型2利用基本不等式求最值（无条件） 【例2】设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 不能直接用基本不等式求最值的，可通过配凑法再用基本不等式求最值 【变式2-1】当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】，根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式2-2】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【变式2-3】已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 题型3条件等式求最值 【例3】已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【解答过程】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 条件等式求最值是通过消元配凑法再用基本不等式求最值 【变式3-1】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 【变式3-2】若，，，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式3-3】已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 题型4 利用基本不等式证明不等式 【例4】已知均为正实数，求证：； 【答案】证明见解析 【解题思路】将，，三式相加再转化即可证明； 【解答过程】因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． 【易错提醒】/【方法总结】 不能直接用基本不等式求最值的先通过拆分、配凑再用基本不等式 【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 【变式4-2】已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 【例5】已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由乘1法即可求解. 【详解】由得：， ， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值是， 故答案为： 【易错提醒】/【方法总结】 等式条件通常化为等于1的形式后再乘以所求式子即可用基本不等式求最值 【变式5-1】已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘构造基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由，则， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【变式5-2】已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【解答过程】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 【变式5-3】已知，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： 题型6 基本不等式的恒成立问题 【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 【易错提醒】/【方法总结】 不等式恒成立问题实际就是求函数的最值问题，常用方法：1.通过分离参数后再求函数的最值即可 2.直接或通过配凑法后用基本不等式求最值 【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 【变式6-2】已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 【变式6-3】）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 题型7基本不等式的实际应用 【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.    (1)若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，求的最小值. 【答案】(1)当时，所用篱笆总长最小 (2) 【解题思路】（1）运用基本不等式即可得解； （2）运用乘“1”法和基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，，所用篱笆总长为， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 一、单选题 1．设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2．已知正数，满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D. 【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，故C不正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确. 故选：B. 3．已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 4．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 5．已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】由可得：，代入，得，令 ，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】由方程 ，可得： ， 代入所求表达式得： ， 令 ，则： ， 由 ，所以， 因为，所以，所以 . 由基本不等式得： ， 当且仅当“”，即“”，即时取等号. 所以最小值为 8. 故选：D 6．若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 二、多选题 7．下列不等式成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式的性质，结合题设条件，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：，当且仅当，即，无实数解， 时，取得最小值，最小值为，故A成立； 选项B：，， ，当且仅当，即取等号，故B成立； 选项C：， 若，则，当且仅当，即时取等号， 若，则，当且仅当，即时取等号， 当时，原不等式成立；当时，原不等式不成立，故C不成立； 选项D：， 异号，且， ， ，当且仅当，即时取等号，故选项D成立． 故选：． 8．已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 三、填空题 9．若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可； 法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 10．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 11．（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7； （2） 【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是. 12．已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 13．已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 14．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $