第01讲 命题、定理、定义（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第01讲 命题、定理、定义 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1命题的概念 题型2判断命题的真假 题型3已知命题的真假求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 定义、命题、定理的概念，真假命题的判断 1. 了解定义、命题、定理的概念，理解元素与集合的关系; 2. 了解命题的分类； 3. 掌握根据命题真假求参数的范围； 学习重点：命题的分类、命题真假的判断 学习难点：根据命题真假求参数的范围 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 知识点02 定理、定义 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 题型1 命题的概念 【例1】有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 根据命题的定义即可判断 【变式1-1】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【变式1-2】下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【变式1-3】下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 题型2 判断命题的真假 【例2】对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据全等三角形的定义即可判断命题 【变式2-1】下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【解题思路】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解答过程】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 【变式2-2】下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 【变式2-3】下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【解题思路】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【解答过程】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D. 题型3已知命题的真假求参数 【例3】已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【解答过程】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 【易错提醒】/【方法总结】 一元二次方程有根则判别式大于或等于零 【变式3-1】已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由题意求出的取值范围，判断选项 【解答过程】由题意得，，解得 故选：D. 【变式3-2】已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【解答过程】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【变式3-3】已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【解题思路】利用不等式的解法和命题的否定即可得出. 【解答过程】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D. 一、单选题 1．有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 3．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【解题思路】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【解答过程】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C. 4．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【解题思路】根据命题的真假即可判定. 【解答过程】p为假，q为真, 故选：B. 5．在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据命题的定义直接判断即可. 【解答过程】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题. 故选：C. 二、多选题 6．下列命题是真命题的有（   ） A．是无理数 B．若，则 C．方程有实数根 D．集合A是集合的子集 【答案】AD 【解题思路】根据无理数的定义，可判断A的正误；根据x的范围，分析即可判定B的正误；根据的值域，可判断C的正误；根据并集的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【解答过程】选项A：是无理数，故A正确； 选项B：当时，满足，但，故B错误； 选项C：方程，整理得，因为， 所以方程无实数根，故C错误； 选项D：因为集合包含集合A中全部元素， 所以集合A是集合的子集，故D正确. 故选：AD. 7．给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【解答过程】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 三、填空题 8．命题“若，则”是_________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解题思路】通过取反例即可判断. 【解答过程】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假. 9．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 12．已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）若命题为真命题，则进行求解； （2）求命题为真命题时，实数的取值范围为，再由命题的否定进行求解． 【解答过程】（1） 若命题：“”为真命题，则， 得， 故实数的取值范围为： （2）， 由，得， ，解得且， 得， 因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为：. 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第01讲命题、定理、定义 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1命题的概念 题型2判断命题的真假 题型3已知命题的真假求参数 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 定义、命题、定理的 1.了解定义、命题、定理的概念，理解元素与集合的关系； 概念，真假命题的判2.了解命题的分类： 断 3.掌握根据命题真假求参数的范围； 学习重点：命题的分类、命题真假的判断 学习难点：根据命题真假求参数的范围 02 教材全解 ◇知1识1框1架 117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达 的，可以判断真假的陈述句，叫做命题 命题的定义 命题 ①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假 命题及相关 的语句 命题的分类 概念 、定理 “若，则g”其中p称为命题的条件，g称为命题的 结论 命题的形式 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推 理的依据而直接使用，一般称之为定理 、定义 定理 定理、定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示 所研究问题中对象的内涵 定义 知|识|精讲 知识点01命题 1.命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p,则q”.其中p称为命题的条性，q称为命题的结论 知识点02定理、定义 1.定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理， 2.定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵， 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分， 而定理是真命题， 03 题型突破 217 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型1命题的概念 【例1】有下列语句，其中是命题的个数为()， (1)这道数学题有趣吗？(2)0不可能不是自然数；(3)a2+1>0(a∈R):(4)x>3;(5)91不是 素数；(6)上海的空气质量越来越好. A.3 B.4 C.5 D.6 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列语句为命题的是() A.对角线相等的四边形 B.a<5 C.x2-x-1=0 D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1-2】下列语句为命题的是() A.对角线相等的四边形 B.a<5 C.x2-x-1=0 D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1-3】下列语句是命题的是() A.3是偶数吗？ B.三角形的内角和等于180° C.这里的景色山真美啊！ D.X>2 题型2判断命题的真假 【例2】对于命题P:全等三角形的周长相等，命题q:周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是 () A.P和q都是真命题 B.P和q都是假命题 C.P是真命题，q是假命题 D.P是假命题，q是真命题 【易错提醒】/【方法总结】 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数： ②空集是任何一个非空集合的真子集： ③1+1≤2： ④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数. 其中是真命题的为() A.①②③④B.①②③ C.①②④ D.②④ 【变式2-2】下列命题中是真命题的是() A.等边三角形都全等 B.若x2>9,则x>3 C.对顶角相等 D.所有偶数都是合数 【变式2-3】下列命题中，是真命题的是() A.所有梯形的对角线相等 B.Vx∈R,xEQ C.存在一个自然数小于0 D.3x,y∈R,x-2+y=0 题型3已知命题的真假求参数 【例3】已知p:-2<a<2,q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根 (1)若q为真命题，求实数a的取值范围： (2)若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围. 【易错提醒】/【方法总结】 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式31】已知命题p:x∈R,x+2x+1-a=0为真命题，则实数a的值不能是() A.1 B.0 C.3 D.-3 【变式3-2】已知命题p:关于x的方程x2-23x+m2-2m=0有两个不相等的实数根；命题q:m≥2. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若P,q中一真一假，求实数m的取值范围。 【变式33】已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题，则a的取值范围是() A.2-3 B.>-3 C.-3 D.K-3 04 过关检测 一、单选题 1.有下列语句，其中是命题的个数为() (1)这道数学题有趣吗？(2)0不可能不是自然数；(3)a+1>0(a∈R):(4)x>3;(5)91不是 素数；(6)上海的空气质量越来越好 A.3 B.4 C.5 D.6 2.下列命题中是真命题的是() A.等边三角形都全等 B.若x2>9,则x>3 C.对项角相等 D.所有偶数都是合数 3.下列命题中的真命题是() A.互余的两个角不相等 B.相等的两个角是同位角 517 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.若a2=b2,则a=b D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 4.已知p:2+2=5,q:3≥2，则下列判断中，正确的是（) A.p为真，q为假 B.p为假，q为真 C.p为真，q为真 D.p为假，q为假 5.在下列语句中，命题的个数是() ①空集是任何集合的子集；②若x∈R,则x2-x+1=0;③若a>b,则ac2>bc2 A.1 B.2 c.3 D.0 二、多选题 6.下列命题是真命题的有() A.2是无理数 B.若x>2,则x>5 C.方程2x+1=0有实数根 D.集合A是集合AUB的子集 7.给出命题“方程x+ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的α的一个值可以是() A.4 B.2 c.0 D.-3 三、填空题 3.命腮“若Q>b,则。”是命题，（填“真”或“假 9.已知p:5x-1>a,q:x>1,且“若p,则'为真命题，则实数a的取值范围是 四、解答题 10.判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由. 1)求证3是无理数： (②)若x∈R,则x2+4x+4≥0： 3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (⑤)若xy是有理数，则x,y都是有理数： (6)60x+9>4. 3.4- 命题P:“3EA”,命题Q:“AnB≠⑦ 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ”· (1)若命题P为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题P和命题Q至少有一个为假命题，求实数m的取值范围. 717