第03讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第03讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解不含参数的一元二次不等式 题型2解含参数的一元二次不等式 题型3由一元二次不等式的解确定参数 题型4三个“二次”关系的应用 题型5一元二次不等式恒成立问题 题型6一元二次不等式有解问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式 1. 理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系 2. 掌握含参一元二次不等式的解法； 3. 掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法。 学习重点：利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 学习难点：有关参数的分类讨论 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 从函数观点看一元二次方程 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 知识点02一元二次不等式 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点03三个“二次”的关系 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点04一元二次不等式恒成立、存在性问题 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型1 解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】解一元二次不等式. (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】解下列一元二次不等式 (1) (2) 题型2 解含参数的一元二次不等式 【例2】当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-2】当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 题型3 由一元二次不等式的解确定参数 【例3】若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型4三个“二次”关系的应用 【例4】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式4-2】已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 题型5一元二次不等式恒成立问题 【例5】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【变式5-2】若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型6一元二次不等式有解问题 【例6】若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   6．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 二、多选题 7．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 8．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 9．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 三、填空题 10．若，，则a的一个可取的正整数值为 . 11．已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为___________． 12．已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 四、解答题 13．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 14．已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解不含参数的一元二次不等式 题型2解含参数的一元二次不等式 题型3由一元二次不等式的解确定参数 题型4三个“二次”关系的应用 题型5一元二次不等式恒成立问题 题型6一元二次不等式有解问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式 1. 理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系 2. 掌握含参一元二次不等式的解法； 3. 掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法。 学习重点：利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 学习难点：有关参数的分类讨论 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 从函数观点看一元二次方程 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 知识点02一元二次不等式 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点03三个“二次”的关系 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点04一元二次不等式恒成立、存在性问题 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型1 解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 解一元二次不等式一定要把二次项的系数化为正数再因式分解 【变式1-1】不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】直接利用一元二次不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A. 【变式1-2】解一元二次不等式. (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【解题思路】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【解答过程】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 【变式1-3】解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 题型2 解含参数的一元二次不等式 【例2】当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【解答过程】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 将二次不等式二次项的系数化为1时要注意二次项系数的正负。 【变式2-1】关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故不等式的解集可能为D； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为B； 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故不等式的解集可能为C； 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 【变式2-2】当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式2-3】）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 题型3 由一元二次不等式的解确定参数 【例3】若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【解答过程】由题不等式的解集为， 所以是方程的两不等实数根， 所以，得，， 所以. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解 【变式3-1】已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【解答过程】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 【变式3-2】关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【解答过程】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【变式3-3】已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 题型4三个“二次”关系的应用 【例4】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 根据不等式的解集确定二次项的系数，再由根与系数关系确定其他系数的符号 【变式4-1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【变式4-2】已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式4-3】已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【解答过程】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 题型5一元二次不等式恒成立问题 【例5】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【解答过程】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 平方项的系数不确定时一定要注意分类讨论 【变式5-1】设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解答过程】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 【变式5-2】若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一元二次不等式恒成立，可得判别式，即可求得答案. 【解答过程】因为不等式对恒成立， 所以， 解得． 故选：C． 【变式5-3】设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 题型6一元二次不等式有解问题 【例6】若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解答过程】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 不等式有解（或能成立）问题实际就是求函数的最值问题， 常用方法：1.通过分离参数后再求函数的最值即可 2.直接或通过配凑法后用基本不等式求最值 【变式6-1】若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式6-2】若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【解答过程】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C. 【变式6-3】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【解题思路】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【解答过程】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D. 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】此题主要解一元二次不等式，先确定方程的根，由二次项系数为正，抛物线开口向上，进而确定不等式“大于取两侧”得出解集即可. 【解答过程】由不等式，可得，或， 故不等式的解集为或， 故选：C. 2．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【解答过程】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D. 3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【解答过程】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 4．关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【解答过程】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解析】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 6．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立可得的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误. 【解析】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：D. 二、多选题 7．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解题思路】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误. 【解答过程】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对. 故选：AD. 8．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【解析】当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 9．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可. 对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值. 对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围. 【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确.   对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．若，，则a的一个可取的正整数值为 . 【答案】1（也可取2，3） 【分析】由判别式大于0求解. 【解析】由题意，解得， 的正整数值为1或2或3， 故答案为：1（也可取2，3） 11．已知关于的不等式，若不等式的解集为或，则实数的值为___________． 【答案】 【解题思路】利用已知条件得出对应方程的根及的符号，再利用韦达定理构造方程求解． 【解答过程】不等式的解集为或， 和是方程的两个根，且， 由韦达定理得，即，解得． 故答案为：． 12．已知，且，恒成立，则实数的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】由已知等式变形得出，利用基本不等式得出的最小值，即可得出关于实数的不等式，即可解得实数的最大值. 【解答过程】因为，且，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，所以，解得， 因此实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【解析】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 得，即， 所以的取值范围为. 14．已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1；(2) 【分析】（1）根据不等式的解集列方程，求得，进而求得. （2）根据一元二次不等式恒成立、能成立列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）依题意，不等式的解集是， 所以，所以. （2）若，则， 由于对任意，都有成立，所以， 解得①， 依题意，存在，使得成立， 即存在，使得成立， 所以， 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $