第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（7个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2025·高一·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【解析】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例1-2】解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【解析】（1）将不等式化简为， 解得或， 则解集为； （2）将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； （3），即，通分可得， 则，解得， 所以解集为. 【变式1-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【解析】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 【变式1-2】（2025·高一·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 【解析】（1）， 又，所以， 即不等式的解集为； （2）方程中，，该方程无解， 所以不等式的解集为； （3）， 解得或，即原不等式的解集为. 【变式1-3】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【解析】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 【典例2-1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式的解集为， 和是的解， ， 解得， ， 整理的， ， 故不等式的解集为：， 故答案为：B. 【典例2-2】（2025·高一·云南楚雄·期末）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 【变式2-1】（2025·高一·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，1和3为方程的两根，且， 所以，即，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 【变式2-2】（2025·高一·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式2-3】（2025·高一·辽宁大连·期末）关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵关于x的一元二次方程的解集为， ，即，，即. ， 即，即，解得. 故选：A. 题型三：解含有参数的一元二次不等式 【典例3-1】（2025·高一·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【解析】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【典例3-2】已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【解析】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 【变式3-1】已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 【解析】（1）当时，不等式为， ∴，解得或， ∴不等式的解集为或． （2）不等式，即， ∵不等式的解集为， ∴方程的两根为1和2， ∴，解得． （3）不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【变式3-2】（2025·高一·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式3-3】已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【解析】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意得， 解得或， 故答案为： 【典例4-2】不等式的解集为 ． 【答案】，或 【解析】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 【变式4-1】（2025·高一·上海宝山·期中）不等式的解集为 【答案】 【解析】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-2】不等式：的解集为 【答案】 【解析】由，则，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高一·辽宁·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式化为：，即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型五：实际应用问题 【典例5-1】已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 【答案】2 【解析】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 【典例5-2】我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 【答案】2 【解析】依题意，，解得，即实数的最小值为2． 【变式5-1】（2025·高一·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【解析】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 【变式5-2】为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 【变式5-3】（2025·高一·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 题型六：不等式的恒成立问题 【典例6-1】（2025·高一·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 【典例6-2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【解析】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【变式6-1】已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，，可得在有解，所以， 令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为； （2）若，，则，解得． 所以q为真命题时，实数m的取值范围为； 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以， 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以， 综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为． 【变式6-2】设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，一元二次方程有实根，， 即，解得或， 所以的取值范围是或. （2）不等式的解集为，即的解集为， 则，解得， 所以的取值范围是. 【变式6-3】（2025·高一·江苏·期末）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【解析】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例7-2】方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 【变式7-1】（2025·高一·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-2】（2025·高一·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【解析】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 【变式7-3】（2025·高一·北京·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 1．（2025·高一·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 4．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以． 6．汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【解析】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 7．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 8．（多选题）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【解析】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 9．（多选题）（2025·高一·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【解析】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 10．（多选题）（2025·高一·河南·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意得， 则不可能为空集，A错误； 对于B，由，得， 当，即时，，得，则，B正确； 对于C，当，即时，，C正确． 对于D，当，即时，， 因为，所以，得，D正确． 故选：BCD. 11．（2025·高一·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 12．已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【解析】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 13．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以. 14．（2025·高一·江西·开学考试）（1）解方程：； （2）解不等式：． 【解析】（1）由，解得，又，解得，故方程无解； （2）由，整理得， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 15．已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 16．（2025·高一·北京·期中）解关于的不等式：． 【解析】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2025·高一·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【典例1-2】解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【变式1-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【变式1-2】（2025·高一·天津西青·期中）解下列不等式： (1) (2) (3) 【变式1-3】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 【典例2-1】若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高一·云南楚雄·期末）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·辽宁大连·期末）关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三：解含有参数的一元二次不等式 【典例3-1】（2025·高一·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【典例3-2】已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【变式3-1】已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的值； (3)解关于的不等式 【变式3-2】（2025·高一·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【变式3-3】已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】不等式的解集为 . 【典例4-2】不等式的解集为 ． 【变式4-1】（2025·高一·上海宝山·期中）不等式的解集为 【变式4-2】不等式：的解集为 【变式4-3】（2025·高一·辽宁·开学考试）不等式的解集为 . 题型五：实际应用问题 【典例5-1】已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 【典例5-2】我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 【变式5-1】（2025·高一·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【变式5-2】为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【变式5-3】（2025·高一·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 题型六：不等式的恒成立问题 【典例6-1】（2025·高一·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【典例6-2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知命题，，命题，． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【变式6-2】设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【变式6-3】（2025·高一·江苏·期末）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【典例7-2】方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【变式7-1】（2025·高一·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【变式7-2】（2025·高一·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【变式7-3】（2025·高一·北京·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 1．（2025·高一·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 7．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 9．（多选题）（2025·高一·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 10．（多选题）（2025·高一·河南·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 11．（2025·高一·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 12．已知不等式的解集为，则实数 ． 13．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 14．（2025·高一·江西·开学考试）（1）解方程：； （2）解不等式：． 15．已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 16．（2025·高一·北京·期中）解关于的不等式：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$