第02讲 充分条件、全必要条件、充要条件（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第02讲 充分条件、必要条件、充要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1充分条件 题型2必要条件 题型3充分条件、必要条件、充要条件 题型4由充分、必要条件求参数 题型5根据充要条件求参数 题型6充要条件的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 充分条件、必要条件、充要条件 1. 了解命题的真假与充分条件、必要条件充要条件的关系； 2. 理解充分条件与必要条件的类型与判定； 学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的定义 学习难点：根据充分条件、必要条件、充要条件求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 知识点02充要条件 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 题型1 充分条件 【例1】下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【变式1-2】下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【变式1-3】已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型2 必要条件 【例2】在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【变式2-2】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型3充分条件、必要条件及充要条件 【例3】已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】（多选题）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【变式3-2】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式3-3】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-4】已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 题型4 由充分条件、必要条件求参数 【例4】已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 由是的必要不充分条件，得集合是的真子集，从而构造不等式，解不等式即可 【变式4-1】已知，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式4-2】已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【变式4-3】命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 根据充要条件求参数 【例5】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-2】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式5-3】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 题型6 充要条件的证明 【例6】已知，求证：成立的充要条件是．提示：. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知集合，． 若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【变式6-2】已知，求证：的充要条件是. 一、单选题 1．已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 3．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 8．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 10．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是___________． 四、解答题 11．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 12．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 13．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 充分条件、必要条件、充要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1充分条件 题型2必要条件 题型3充分条件、必要条件、充要条件 题型4由充分、必要条件求参数 题型5根据充要条件求参数 题型6充要条件的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 充分条件、必要条件、充要条件 1. 了解命题的真假与充分条件、必要条件充要条件的关系； 2. 理解充分条件与必要条件的类型与判定； 学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的定义 学习难点：根据充分条件、必要条件、充要条件求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 充分条件、必要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 知识点02充要条件 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 题型1 充分条件 【例1】下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【解答过程】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 p⇒q则p是q的充分条件 【变式1-1】两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【解题思路】由全等三角形的判定定理可得结果. 【解答过程】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 【变式1-2】下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【解题思路】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【解答过程】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C. 【变式1-3】已知，那么p的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案. 【解答过程】因为推不出，故不是的充分条件，A错误； 因为推不出，故不是的充分条件，B错误； 因为一定能推出，故是的充分条件，C正确； 因为推不出，故不是的充分条件，D错误； 故选：C. 题型2 必要条件 【例2】在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 q⇒p，则称p是q的必要不充分条件 【变式2-1】下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【解题思路】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【解答过程】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A. 【变式2-2】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解答过程】 ， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式2-3】已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【解答过程】由题意,且， 所以,则,可得; 故选：A. 题型3充分条件、必要条件及充要条件 【例3】已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 【易错提醒】/【方法总结】 如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. 【变式3-1】（多选题）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-2】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【解答过程】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 【变式3-3】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用推出充分性成立，举反例可说明必要性不成立. 【解答过程】，则，即， 于是，可得， 即可以推出，充分性成立； 但时，取，满足， 但，必要性不成立. 于是“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-4】已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【解答过程】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 题型4 由充分条件、必要条件求参数 【例4】已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 由是的必要不充分条件，得集合是的真子集，从而构造不等式，解不等式即可 【变式4-1】已知，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意知， ． 是的充分不必要条件，， 所以，，解得. 当时，，合乎题意. 因此，实数的取值范围是. 【变式4-2】已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，不是空集， 因为是的必要不充分条件，所以，解得， 即实数的范围. （2）因为是的必要不充分条件，， 所以是的充分不必要条件，故，解得， 所以实数的范围为. 【变式4-3】命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 题型5 根据充要条件求参数 【例5】方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 【易错提醒】/【方法总结】 讨论方程是一次方程或二次方程 【变式5-1】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式5-2】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【解答过程】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式5-3】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为恒成立即可求解. 【解答过程】恒成立，，所以，解得． 故选：B. 题型6 充要条件的证明 【例6】已知，求证：成立的充要条件是．提示：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【易错提醒】/【方法总结】 证明充要条件要分清谁推谁是充分，谁推谁是必要条件 【变式6-1】已知集合，． 若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【详解】 证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 【变式6-2】已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【解题思路】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【解答过程】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 一、单选题 1．已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 2．下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要条件定义即可得答案. 【解答过程】对于A，由不等式的性质知，是的充要条件，所以A错误； 对于B，因为，且，所以是的必要不充分条件，所以B正确； 对于C，显然，但当时，，所以是的充分不必要条件，所以C错误； 对于D，若，则，所以，所以，反之，所以是的充分不必要条件，所以D错误． 故选：B. 3．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【解答过程】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A. 4．若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【解答过程】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A. 5．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【解答过程】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件； 必要性：因为，，所以 “”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 二、多选题 7．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 【答案】BCD 【解题思路】根据必要条件定义依次判断即可. 【解答过程】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意； 对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意； 对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意. 故选：BCD. 8．“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【解答过程】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 三、填空题 9．已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【解题思路】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【解答过程】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 10．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是___________． 【答案】3 【解题思路】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【解答过程】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 四、解答题 11．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【解题思路】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【解答过程】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 12．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 13．已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $