第03讲 全称量词命题与存在量词命题（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第03讲 全称量词命题与存在量词命题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1全称量词命题与存在量词命题的判断 题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假 题型3根据命题的真假求参数 题型4全称量词命题的否定 题型5存在量词命题的否定 题型6命题否定的真假判断 题型7根据命题否定的真假求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题 1. 了解全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题； 2. 掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假； 学习重点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假 学习难点：根据命题的真假求参数、根据命题否定的真假求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点02 全称量词命题与存在量词命题的真假 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 知识点03 全称量词命题与存在量词命题的否定 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 知识点04 命题的否定与原命题的真假 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 题型1全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【解题思路】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【解答过程】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词的特征即可求解. 【解答过程】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 【变式1-2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A. 【变式1-3】下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【解题思路】根据存在量词命题的概念即可判断. 【解答过程】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 【易错提醒】/【方法总结】 利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解 【变式2-1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【解答过程】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式2-2】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【解题思路】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【解答过程】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【变式2-3】下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【解答过程】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 题型3根据命题的真假求参数 【例3】已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【解题思路】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 【易错提醒】/【方法总结】 根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解 【变式3-1】（已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解答过程】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 【变式3-2】已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【解答过程】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 【变式3-3】已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【解答过程】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 题型4全称量词命题的否定 【例4】设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由全称命题的否定为特称命题可得答案； 【解答过程】由全称命题的否定为特称命题可得为. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题 【变式4-1】若命题：，，则p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断即可. 【解答过程】命题：，的否定为，. 故选：D. 【变式4-2】已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由全称量词命题的否定可得出结论. 【解答过程】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：. 故选：D. 【变式4-3】命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【解答过程】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 题型5存在量词命题的否定 【例5】若命题，使，则为（   ） A．，使 B．， C．，使 D．， 【答案】B 【解题思路】利用带量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】因为命题，使，所以为“，”. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 利用带量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得 【变式5-1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答过程】根据特称命题的否定是全称命题， 命题“，”的否定是：“，”. 故选：A. 【变式5-2】已知命题，，则（    ） A．为真命题，且的否定是“，” B．为真命题，且的否定是“，” C．为假命题，且的否定是“，” D．为假命题，且的否定是“，” 【答案】A 【解题思路】举例可判断为真命题，进而根据存在量词命题的否定求解即可. 【解答过程】当时，，所以为真命题， 根据存在量词命题的否定， 命题的否定是“，”. 故选：A. 【变式5-3】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【解答过程】命题“”的否定是“”． 故选：． 题型6命题否定的真假判断 【例6】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可. 【解答过程】（1）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题． （2）存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题． （3）全称量词命题． 原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题． （4）全称量词命题． 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题. 【易错提醒】/【方法总结】 利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可 【变式6-1】已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解题思路】首先通过取特值判断命题与命题的真假，进而判断选项的正误即可. 【解答过程】对于命题：当时，，因此命题为真命题，从而为假命题； 对于命题：当，时，，，可得：，故命题为假命题，从而为真命题； 综上可得：命题与命题均为真命题. 故选：C. 【变式6-2】已知命题：，，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】先分别判断命题和命题的真假，从而得到，的真假，再根据选项求解 【解答过程】当时，显然不成立，所以是假命题，是真命题． 当时，显然成立，所以命题是真命题，是假命题． 【变式6-3】下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 【答案】D 【解题思路】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可. 【解答过程】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. 题型7根据命题否定的真假求参数 【例7】已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围； （2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由解得， 所以，解得， 因为命题是真命题，则命题是假命题， 所以或. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 若为真命题，即关于的方程有实数根， 因此，解得， 则为假命题时，. 当真假时，则，解得； 当假真时，则，解得. 综上，和中恰有一个是真命题时，的取值范围为. 【易错提醒】/【方法总结】 （1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围； （2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可. 【变式7-1】已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，使得 (2) 【解题思路】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 【变式7-2】命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【解答过程】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式7-3】已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【解答过程】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D. 一、单选题 1．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【解答过程】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C. 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【解答过程】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题否定的定义，先改变量词，再否定结论. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 4．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可. 【解答过程】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 故选：B. 5．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 6．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【解答过程】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 二、多选题 9．下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【解题思路】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 10．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【解答过程】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：AD. 三、填空题 11．命题“，，”的否定是__________. 【答案】， 【解题思路】根据全称命题的否定形式回答即可. 【解答过程】“，”的否定为“，”. 故答案为：，. 12．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【解答过程】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. 14．已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【解题思路】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【解答过程】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是. 15．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分和两种情况进行讨论即可； （2）分真假和假真两种情况进行讨论求解，再取并集即可． 【解答过程】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 4 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 全称量词命题与存在量词命题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1全称量词命题与存在量词命题的判断 题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假 题型3根据命题的真假求参数 题型4全称量词命题的否定 题型5存在量词命题的否定 题型6命题否定的真假判断 题型7根据命题否定的真假求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题 1. 了解全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题； 2. 掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假； 学习重点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断、全称量词命题与存在量词命题的否定、命题的否定与原命题的真假 学习难点：根据命题的真假求参数、根据命题否定的真假求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点02 全称量词命题与存在量词命题的真假 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 知识点03 全称量词命题与存在量词命题的否定 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 知识点04 命题的否定与原命题的真假 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 题型1全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【变式1-2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【变式1-3】下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 题型2判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式2-2】下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【变式2-3】下列命题中为真命题的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D． 题型3根据命题的真假求参数 【例3】已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】（已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4全称量词命题的否定 【例4】设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】若命题：，，则p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】命题的否定是（    ） A． B． C． D． 题型5存在量词命题的否定 【例5】若命题，使，则为（   ） A．，使 B．， C．，使 D．， 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】已知命题，，则（    ） A．为真命题，且的否定是“，” B．为真命题，且的否定是“，” C．为假命题，且的否定是“，” D．为假命题，且的否定是“，” 【变式5-3】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 题型6命题否定的真假判断 【例6】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数，都有； (2)存在实数，使得； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数． . 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】已知命题，命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式6-2】已知命题：，，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式6-3】下列命题的否定为真命题的是（    ） A．，使得方程有整数解 B．， C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．，方程是一元二次方程 题型7根据命题否定的真假求参数 【例7】已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式7-1】已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【变式7-2】命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 2．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．命题“，，”的否定是__________. 12．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为____________. 四、解答题 13．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 14．已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 15．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $