22.3实际问题与二次函数（4）综合训练（题型专练）数学人教版九年级上册

22.3二次函数与实际问题 题型一、二次函数的应用：图形面积问题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 3．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 题型二、二次函数的应用：拱桥问题 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 7．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． (2)求支柱的长度． 8．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 题型三、二次函数的应用：投球问题 9．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 10．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 11．（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 题型四、二次函数的应用：喷水问题 12．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 13．（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)点，点的坐标分别为________、__________； (2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式； (3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 14．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 题型五、二次函数的应用：销售问题 15．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 16．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 17．（24-25九年级上·广东云浮·期末）张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 18．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 19．（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 20．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 题型六、二次函数的应用：几何动点问题 21．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 22．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 23．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 24．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 25．（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 26．（24-25九年级上·全国·期中）某电器公司推出一款智能空调扇．经市场调研发现，该产品的月销售量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于月销量、销售单价的几组对应值如下表：已知该产品的成本是每台1500元． 销售单价x/元 1800 2000 2200 月销售量y/台 200 180 160 (1)求出y关于x的函数解析式； (2)设月销售利润为w元，求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少； (3)公司进行了技术创新，以降低成本．预计在今后的销售中，月销售量与销售单价仍存在（1）中的函数关系．若想实现当销售单价为1900元时，月销售利润不低于114000元的销售目标，则该产品的成本单价应不超过多少元？ 27．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 28．（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围． 29．（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 30．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 31．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）一人站在地面点O处朝正前方抛出一小球P，以点O为原点，正前方为x轴正方向，以为单位长建立如图所示的平面直角坐标系，小球P（当成一动点）从距离地面的点A处向右上方被抛出后沿抛物线运动，点D为抛物线的顶点，当点P落在地面上距离点O正前方的点B处后立即弹起，又形成一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，最终点P落到x轴上的点C后停止． (1)求小球落地点C距离点O的距离； (2)点P从点A出发运动到点C停止所形成的曲线段，称为“m”型曲线，试探究： ①在“m”型曲线上是否存在一点Q，使得平分，若存在，求出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由； ②已知直线与“m”型曲线有3个公共点，从左到右依次为点E，F，G，直线与“m”型曲线有2个公共点，从左到右依次为点M，N，若四边形是平行四边形，则 ． 32．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 33．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 34．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3二次函数与实际问题 题型一、二次函数的应用：图形面积问题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 【答案】(1) (2)当边的长为9米时，仓库的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设为米，则有为米，然后可得函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设为米， ∴为米； ∴． （2）解：∵， ∵S与的二次函数图象开口向下， ∴当时，S可取最大值， 当时，边的长为（米），仓库依靠的墙长度为18米，符合实际情况． ∴当时，仓库的面积可取最大； 答：当边的长为9米时，仓库的面积最大． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 【答案】矩形菜地的面积最大为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米， 面积， ∵ 解得：， ，对称轴， 当时，最大（平方米）， 答：矩形菜地的面积最大为平方米． 3．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系． （1）根据即可求得； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解： （2）， ， 又， 当时，S有最大值，为． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 题型二、二次函数的应用：拱桥问题 5．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 7．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． (2)求支柱的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据题意可知该抛物线经过点和点，据此利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求得到抛物线解析式，进而求出点N的纵坐标，从而可求出支柱的长度即可． 【详解】（1）解：由题意得该抛物线经过点和点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴支柱的长度为． 8．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 题型三、二次函数的应用：投球问题 9．（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 10．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 11．（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 题型四、二次函数的应用：喷水问题 12．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度； （2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可． 【详解】（1）解：抛物线为， 令，则，， 喷水管的高度为m； （2）解：设喷水管的高度要升高m， 则抛物线的表达式为． 把代入得：． 解得：． 喷水管的高度要升高m． 13．（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)点，点的坐标分别为________、__________； (2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式； (3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【答案】(1)， (2) (3)王师傅不会被淋湿，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由图可得点C、D的坐标； （2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可； （3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为， 故答案为：，； （2）解：由题意，可设抛物线的表达式为， 将点C的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为：； （3）解：当时，， ． 答：王师傅不会被淋湿． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解； （2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，， 将，分别代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得（舍去）， ， 洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为． 题型五、二次函数的应用：销售问题 15．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 16．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用， 对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式； 对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围讨论极值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：设总利润为w，根据题意，得，且， ∵，， ∴抛物线的开口向下， 当时，函数值y随着x的增大而增大， 当时，（元）． 所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248元． 17．（24-25九年级上·广东云浮·期末）张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)应降价10元，最大利润为800元 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用， （1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案． 【详解】（1）设， 依题意，得，解得 所以与之间的函数关系式是． （2）依题意，得， ∵， ∴当时，． 答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元． 18．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 【答案】(1) (2)28元；48400元 (3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； （2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； （3）解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 19．（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)，； (2)当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 20．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 题型六、二次函数的应用：几何动点问题 21．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 22．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 23．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 【答案】(1)2或3秒 (2)3秒 (3)不能，理由见解析 (4)， 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； （4）根据题意求出，根据配方法求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设运动t秒后的面积等于， 根据题意，知，， 根据三角形的面积公式，得， 则，即， 解得或3， 故2或3秒后，的面积等于； （2）根据勾股定理，得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴． 故3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ． 故线段不能把分成面积相等的两部分； （4）设运动时间为t秒，根据题意，知，， ∵， ∴时，S有最小值，最小值为， 故答案为：， 24．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 25．（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 【答案】(1) (2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解； （3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值． 【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内； （3）解：把代入，得：， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ， 的最大值为． 26．（24-25九年级上·全国·期中）某电器公司推出一款智能空调扇．经市场调研发现，该产品的月销售量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于月销量、销售单价的几组对应值如下表：已知该产品的成本是每台1500元． 销售单价x/元 1800 2000 2200 月销售量y/台 200 180 160 (1)求出y关于x的函数解析式； (2)设月销售利润为w元，求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少； (3)公司进行了技术创新，以降低成本．预计在今后的销售中，月销售量与销售单价仍存在（1）中的函数关系．若想实现当销售单价为1900元时，月销售利润不低于114000元的销售目标，则该产品的成本单价应不超过多少元？ 【答案】(1) (2)w关于x的函数解析式为，当销售单价定为时，月销售利润最大，最大月销售利润是元； (3)该产品的成本单价应不超过元 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，二次函数在实际问题中的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润等于每件利润乘以销售量得到函数解析式，再根据二次函数的图像和定义即可得到答案； （3）先计算出当时该产品的月销售量，再设产品的成本单价为元，根据题意得出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将分别代入， 得， 解得， 故y关于x的函数解析式为； （2）解：由题意得：， 故当时，有最大值， 故w关于x的函数解析式为，当销售单价定为时，月销售利润最大，最大月销售利润是元； （3）解：当时，， 设该单价成本为元，由题意得：， 解得， 故该产品的成本单价应不超过元． 27．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 【答案】(1)； (2)能顺利通行； (3)方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼.最多可挂8盏灯笼． 【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． （1）函数关系式为，将代入计算即可； （2）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案． （3）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：由题意可知点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接， 则米， ∴，解得米， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行； （3）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． 28．（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．） (3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】(1)120元 (2)商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程的应用，二次函数的应用； （1）由销售价格浮动的百分点之间的函数关系及售价（利润率）成本，即可求解； （2）由销售量单件的利润元，列方程，即可求解； （3）设捐赠后的日销售利润为元，可得，利用二次函数的性质，即可求解； 理解、的实际意义，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为元，由题意得 ， 解得：， 答：该公司生产销售每件商品的成本为元； （2）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 当时， （元）， 当时， （元）， 答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为660元； （3）解：设捐赠后的日销售利润为元，由题意得 ， 对称轴为直线， 当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， ， ． 29．（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】(1) (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）①根据题意可得当两物资相撞时，，据此列出方程，解方程即可求解； ②根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物质的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，号无人机的速度为：， ∴， 根据图可得：时，， 代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，， 解得：（负值已舍去）， 当时，， 解得：（负值已舍去）， ∵， 故两物资落点间的水平距离为米． （3）解：①当两物资相撞时，， 即， 解得：， 将代入，得 解得：， 故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米； ②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为， 将，，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度， 当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 30．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②可以过球网，不出边界 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式． （1）①由题知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入解析式求出a即可． ②求出时y的值，若则能过网，求出时y的值，若，则不出边界． （2）设击出的排球轨迹为，当该轨迹经过球网的顶端坐标时，，此时；当该轨迹经过右边界的坐标时，，此时，即可得h的取值范围是． 【详解】（1）解：①因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴； ②当时， ， ∴可以过球网， 当时，， ∴排球不出边界； （2）解：设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； 当该轨迹经过右边界的坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； ∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是． 31．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）一人站在地面点O处朝正前方抛出一小球P，以点O为原点，正前方为x轴正方向，以为单位长建立如图所示的平面直角坐标系，小球P（当成一动点）从距离地面的点A处向右上方被抛出后沿抛物线运动，点D为抛物线的顶点，当点P落在地面上距离点O正前方的点B处后立即弹起，又形成一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，最终点P落到x轴上的点C后停止． (1)求小球落地点C距离点O的距离； (2)点P从点A出发运动到点C停止所形成的曲线段，称为“m”型曲线，试探究： ①在“m”型曲线上是否存在一点Q，使得平分，若存在，求出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由； ②已知直线与“m”型曲线有3个公共点，从左到右依次为点E，F，G，直线与“m”型曲线有2个公共点，从左到右依次为点M，N，若四边形是平行四边形，则 ． 【答案】(1)小球落地点C距离点O的距离为 (2)①点Q的横坐标为或；②或 【分析】（1）由题意可得，，设抛物线的解析式为，待定系数法求出抛物线的解析式为，令，则，求解即可； （2）①求出抛物线，得到，连接，作轴于，作的平分线交于，作于，由（1）可得，则，，，由角平分线的性质定理可得，等面积法得出，从而可得， 设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立 ，，求解即可；②由题意可得，或，再分两种情况：当，时；当，时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵抛物线与形状相同，且最大高度为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：或， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：或， ∴， ∴小球落地点C距离点O的距离为； （2）解：①将，代入得， 解得：， ∴抛物线， ∵， ∴， 连接，作轴于，作的平分线交于，作于， ， 由（1）可得， ∴，， ∴， 由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 联立，得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时出点Q的横坐标为； 综上所述，点Q的横坐标为或； ②∵直线与“m”型曲线有3个公共点， ∴， ∵直线与“m”型曲线有2个公共点， ∴或， 如图，当，时， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， 令，整理可得：， 则，， ∴， ∴， 令，整理可得：， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图：当，时， ， 此时点的坐标为， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 令，整理可得：， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，求一次函数的解析式，角平分线的性质定理，一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 32．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 33．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【分析】（1）设，把，和，代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得一次函数解析式，将代入，即可求出在第天的日销售量； （2）根据“日利润每公斤利润日销售量”分别表示出前天和后天的日利润，然后求二次函数的最大值，进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：与之间的变化规律符合一次函数关系， 设， 把，和，代入，得： ， 解得：， ， 当时，， 答：在第天的日销售量是； （2）解：设利润为元， 当时， ， 当时，取得最大值，元； 当时， ， 当时，取得最大值，元； ， 综上，当时，元， 答：第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，计算多项式乘多项式，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的最值，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题中的数量关系正确列式是解题的关键． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 【答案】(1) (2)16 (3)在21个月的时候，月利润最大，为529万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值是解题的关键． （1）设时，，将、代入求解可得； （2）将将分别代入，进行求解即可； 分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式，当时，的值始终是240当时，，当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 将代入，得： ，得：， ； 当时，， 将、代入，得： ，得：， ； ； （2）将代入得：，解得：， 将代入得：，解得：， 预测月销量不低于15吨有（个月）， 故答案为：16； （3）设月利润为万元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的值始终是240， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为448， 当时，， 当时，取得最大值529， 综上，在21个月的时候，毛利润最大，为529万元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$