1.2.2 二次函数的图象（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象核心性质，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图象判断、对称轴与顶点坐标|选择填空为主，直接考查概念辨析，如判断抛物线开口方向| |提升层|解析式求解、图象绘制与性质分析|填空解答结合，综合性质应用，如根据顶点和形状写解析式| |拓展层|最值问题、新定义与动态探究|综合解答题，如“美点”计数、对称二次函数，培养创新意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.2.2二次函数的图象（第2课时) 正确判断出二次函数图象 求二次函数的对称轴 求二次函数的顶点坐标 根据二次函数的特点求解析式 ①基础达标题 写出符合要求的二次函数解析式 画出二次函数的图象 二次函数中最值问题 二次函数图象综合解答 。二次函数的图象 二次函数的图象比较大小 ②能力提升题 二次函数中图象探究题 二次函数中新定义类 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：正确判断出二次函数图象 1.（25-26九年级上·河南许昌·期末)在平面直角坐标系中，二次函数， 数y=x+12的图象可能是（) ○ x70 B. 2.(2026:福建厦门：三模)已知抛物线y=x-h,其中h>0该抛物线示意图是（） 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上·广东深圳阶段检测)在平面直角坐标系中，二次函数 y=2x-2的图象可能是 B 4.(25-26九年级上辽宁沈阳阶段检测)在平面直角坐标系中，反比例函数y=上h≠0的图象如图所示， 则二次函数y=alx-hPla≠0的图象可能是（）. 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. 5。(25-26九年级上，山东泰安阶段检测二次函数y=-X-1的图象大致是（） 题型二：求二次函数的对称轴 1.（25-26九年级上河北阶段检测)下列抛物线，对称轴是直线X=一2的是() A. y=x2-2 B.y=(x-2} C. y=x2+2 .y=(x+2 2.(25-26九年级上·吉林长春.阶段检测)抛物 y=-3x-22的对称轴是() A.直线X=3 B.直线X=2 C.直线X=-3 D.直线X=-2 3.（25-26九年级上·吉林·期中)己知二次函数 y=x-52,那么该二次函数图象的对称轴是() A.直线X=1 B.直线x=-5 C.直线x=5 D.直线X=-1 4.(25-26九年级上天津西青阶段检测)抛物线y=x-3}的对称轴是(） A.y轴 B.直线X=-3 C.直线y=3 D.直线X=3 3/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：求二次函数的顶点坐标 1.（25-26九年级上.甘肃陇南阶段检测)抛物线 y=2(x+32的开口：顶点坐标为 ；对称轴 是 _；当x>-3时，y；当x=-3时，y有 值是 2.(2425九年级上.山东济宁阶段检测)二次函数y=-2x-3的顶点坐标是 2 3.（24-25九年级上·吉林松原期末)抛物线 y=6x+82的顶点坐标是 4.（2025辽宁抚顺.一模)二次函数 数y=x-12图象的顶点坐标为 题型四：根据二次函数的特点求解析式 1. (25-26九年级上.青海西宁期末)某抛物线与抛物线y= ×的形状相同。且顶点为-60，开口向下。 该抛物线的函数表达式为() A.y=+6 8.y=x-62 c.y= 2x+6 0.y=2x-6 2。（2526九年级上广西铁州阶假检测顶点为60，开口向上，形状与两数y=-方X的图像相同的抛 物线对应的解析式为() Ay=号x-6 8.yx+6 c.y--x-6p .y=-2x+6 3.（2425九年级上-山东泰安：期中)抛物线y=2X-3图像关于坐标原点成中心对称的抛物线的表达式 为() Ay=21x+32B.y=-2x-3Cy=-2x-3P-1D.y=-2x+3 4/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上·河北保定·期中)顶点为5,0且开口方向、形状与函数y=- X的图象相同的抛物线 是() A.y=-3x-5 3 B.y=- 1x-5 c.y=- x+5 D.y=3x+5P 题型五：写出复合要求的二次函数解析式 1.(2425九年级下·全国随堂练习)若点pm,n 抛物 y=axa≠0上，写出一个在抛物线 y=ax+12上的点（顶点除外）： 2.（24-25九年级下，全国·随堂练习)下面是三位同学对某个二次函数的描述. 甲：图像的形状、开口方向与y=2x的相同： 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线x=-1. 请写出这个二次函数的表达式： 3.(24-25九年级上·福建莆田·期末)若一个二次函数的对称轴为直线X=1,则该二次函数的解析式可以 是（写出一个符合题意的解析式） 4.(25-26九年级下·全国课后作业)有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A:函数图像的顶点在x轴上： B:当x>1时，y随x的增大而减小： C:该函数图像的形状与函数y=-2x的图像相同. 己知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： 5.(25-26九年级上河南郑州期末)两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开 口向上：小智：抛物线对称轴是直线X=2;请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：一 题型六：画出二次函数的图象 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25:26九年级上新乌套木齐阶段检测)已知=次函数y-=x-2水 4 3 2 -5-4-3-210l 12.345x -2 、 --- (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象： (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (3)若-1≤x≤6，求y的取值范围. 0 1 3 … y-x- 2 1-2 0 1-2 2. (2024九年级上江苏专题练习)在同一直角坐标系中，画出=次函数y=吃X与y=x-2P的图象. 3.(25-26九年级上·全国课后作业)在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的 开口方向、对称轴和项点坐标及对称轴两侧图象的增减性， x -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 y=-x2 … y=-(x+2月. y=-(x-1月 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (y=-x 2)y=-(x+22 3)y=-(x-12 x -4 -3 -2 -1 0 3 y=-x2 … -16 -9 -4 0 -4 -9 -16 y=-(x+22 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -25 -36 y=-(x-12 -25 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 4. (25-26九年级下·全国课后作业)己知函数y= ,y=x+2+2和y=x*2-3. (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象： (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数y= x+22-3的性质. 1 -2 -1 0 2 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 2 0 2 2 2 -4 -3 -2 -1 0 -x+22 5 5 2 2 列表： … -4 -3 -2 -1 0 … y=x+2-3 -1 5 5 2 -3 2 5.（25-26九年级上河南安阳阶段检测)已知抛物线L: y=alx-mP-2经过点m+1,-1 其顶点为 M. (1)用含m的式子表示： ①直接写出顶点M的坐标_； ②直接写出点m+1,-1关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标_； ③求抛物线L的表达式. (2)当m=1时，求与抛物线L关于直线y=2成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表 示). (3)规定：抛物线L与直线1：y=-2m所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”.当 m<1时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个 6.(25-26九年级上·广西崇左阶段检测)在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对称轴和顶点：y=x+2-2,y=x-1+2. x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x*2r-2 5 3 2 0 -2 3 2 0 5 2 … -2 -1 0 5 5 13 2 4 2 4 2 2 2 7.(25-26九年级上全国期中)画出下列抛物线的大致图象： 四y=x-3-2 2y=-2x-1+3 题型七：二次函数中最值问题 1. （25:26九年级上-江西赣州：期未)二次函数y=-3引X-1+2的最大值是一 2.(25-26九年级上-江苏宿迁：期末)当-1≤X≤3时，二次函数y=-(X-m?+m2+1的最大值是5，则 m的值为 3.(25-26九年级上福建厦门阶段检测)二次函数y=X+2Y-1的最小值是 4.(25-26九年级上湖北宜昌：期中)如图，点A在抛物线y=X-2+3上运动.过点A作AC1X轴于 点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为 9/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八：二次函数图象综合解答 1.（25-26九年级上河北张家口·期末)已知抛物线 y=-(x-2P+5 (1)判断点4,1是否在此抛物线上. ②)若点A1,y,B4,y,在该函数图象上，试比较y,与y,的大小，并说明理由. 2.(25-26九年级上浙江绍兴期中)已知二次函数y=x-1P-2 (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标： (2)当-1<x<2时，请直接写出y的取值范围 3.（2425九年级上-厂广东潮州：阶段检测)把二次函数y,=ax-hP+k的图象先向左平移3个单位长度， 再向上平移4个单位长度可符到二次函数=号x+1+3的图象 (1)则a=,h=,k=: 2指出二次函数y,=aX-hP+k的开口方向、对称轴、顶点坐标： 3)当-2<x<5时，求二次函数y1的取值范围， 4.(25-26九年级上全国-课后作业)在平面直角坐标系x0y 中，己知抛物线、 y=a(x-a2-a3(a≠0) (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标. 2已知MX1,y和NX,y,是抛物线上的两点.若对于x=3a,3≤X,≤4：都有y,<y,'求a的取值范 围 5.(2425八年级下北京期中)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-h+k过点A1,1, B5,1. (1)求抛物线的解析式： 2已知MX,y和NX,y,是抛物线上的两点，若对于0≤X≤2：a≤X,≤a+1都有y,<y,'求。的取 值范围. 10/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25九年级上.吉林.期中)己知抛物线 y=x+12+m-3 (1)若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上，求m的值： ②若点Aa,yaA与点B3,ya在此抛物线上，且yA<ya, 直接写出。的取值范围. B 能力提升题 题型一：二次函数的图象比较大小 1.（2026河南周口二模)已知二次函数 y=ax+m+n（a≠0m,n为实数)，当x=1时，y=2:当 x=4时，y=5.下列说法正确的是() A.若m=-1,则a<0 B.若m=-2,则a<0 C.若m=-4,则a<0 D.若m=-5,则a>0 2.（25-26九年级上-浙江杭州期末)设函数y,=-(X-a,,y,=-(x-a,P直线x=1的图象与函数y y,的图象分别交于点A(1,CB1,c得（） A.若1<a1<a2,则C1<C2 B.若a1<1<a2,则C1<C2 C.若a1<a2<1,则c1<C2 D.若a1<a2<1,则C2<C1 3.(25-26九年级上浙江杭州，期中)设函数y,=-X-m·y,=-X-n,直线x=1与函数y,'y,的图 象分别交于点A1,a1B1,a,得（） A.若m<1<n,则a1>a2 B.若m<1<n,则a1<a2 C.若m<n<1,则a1<a2 D.若m<n<1,则a2<a1 4.（25-26九年级上浙江杭州阶段检测）设函数y,=-X-mP”y,=-X-n2,直线x=1与函数y'y2 的图象分别交于点A1,aB1,a,得（） A.若1<m<n,则a1<a2 B.若m<1<n,则a1<a2 C.若m<n<1,则a1<a2 D.若m<1<n,则a1>a2 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：二次函数中图象探究题 1.(25-26九年级上江苏南京期末)课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数y=(X+1}?+2的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 “x+12≥0（当且仅当 x=-1 函数的最大（小）值 时，等号成立)， 当x=-1时，y有最小值，最 x+12+2≥2 小值为2. ∴.当x=-1时，y有最小值，最 小值为2. 任取图像上两点X,y ① 函数的变化趋势 当x<-1时，y随x的增大而 xv2 减小： 当X1<X2<-1时，③… 当x>-1时，y随x的增大而 当-1<X1<x2时，同理可得当 增大. x>-1时，y随x的增大而增 大 图像的对称性 ④ 图像关于②对称. (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格： (2)③处的论证思路如下，将其补充完整： 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=(x+1)2+2 图像上任意两点(x1,y),(x2,y2) x1<x2<-1 x2x1>0,△ 1=(x1+1)2+2,y2=(x2+1)2+2 y2y1=(x2+1)2(x1+1)2 =(x1+x2+2)·（△) y2y1<0,即y2<y1 当x<-1时，y随x的增大而减小 (3)写出④处的论证图像对称性的过程， -3 -2 -1 0 … y 6 2 6 2. (25-26九年级上·北京朝阳期中)小静根据学习函数的经验，对函数 y= 1的图象与性质进行了 x-22 探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： )函数y= 1 的自变量x的取值范围是 x-22 (2)下表是y与x的几组对应值. X -1 0 1 32 52 3 4 1 1 … 1 4 4 1 m 9 表中的m= (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图 象，并写出一个该函数的性质： 13/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y 6 L--1- 5 4 --- 2 r -4-3-2-1 1234.5 6.7x 1 -2 3 =4 ④结合函数图象，点Aa,y和点B5-Q,y,在函数y=的图象上，且y,<y成立，则a的取值范 (x-2P 围是 3.(25-26九年级上·重庆阶段检测)在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像， 并结合图像研究函数的性质.请按要求完成对二次函数y=x-1的研究. 6 一十 3 5-4-3-219 1.2.345 (1)列表： 3 0 3 0 0 8 其中， m= 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-1的图像， (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有： (填序号) 14/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是y轴： ②该函数有最小值，没有最大值： ③当x<0时，y随x的增大而增大：当X>0时，y随x的增大而减小： ④当y=0时，x的值为1. (3)在同一平面直角坐标系中作出函数y=x+1的图像，并直接写出不等式x+1<x2-1的解集. 4.（2024江苏盐城一模)【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为12V的蓄电池，通 过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值R,=1)亮度的实验（如图1），已知串 U 联电路中，电流与电阻R、R之间的关系为R十R,通过实验得出如下数据： R/2 2 2 a I/A 4 3 2 (1)由题意可得a= 【探索研究】 2》根据以上实验，构建出函数y=12 x≥0，结合表格信息，探究函数y=12X≥01的图像与性质。 X+1 X+1 ①平面直角坐标系中画出对应函数y= 12 X+1 x≥0的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用 黑色水笔描黑)； 8 6 5 4 1 图1 0123456789x ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 【拓展提升】 (3)结合(2)中函数的图像，直接写出不等式y=12>X >x2-7x+12的解集为 x+1 15/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：二次函数中新定义类 1.（2026江西南昌二模)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的5倍，则称这个点为“五倍点”.下列函 数存在五倍点的是() A.y=5X+2 B.y=-2 C.y=-x2+2 D.y=x+22+8 X 2.(2026陕西宝鸡二模)对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，定义其图象上点 (X,y)的“点值”t=y-X已知二次函数y=mx-2P+3m-5m为常数，且m≠0)图象的顶点的 “点值”为-1，则m的值为() 8 0.3 4 A.2 C.3 3.(2026河南洛阳三模)探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标， @y=X-5的顶点坐标为： ②y=-4x-3的顶点坐标为， 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”· ②继续研究发现，对于y=alX-hP+k因为a≠0当=0时，y=ax-h+k的顶点在x轴上：当-0 时，y=ax-h+k的顶点在y抽上.请你写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：一 (3)与轴平行的直线 y=-4x-3交于M:N两点（点M在点N的左侧），若MN≤8请直接写出M 点横坐标XM的取值范围. 4.(24-25九年级上，江苏南京阶段检测)若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向 相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数” @请写出二次函数y=2X-2?+1的“对称二次函数”： 2已知关于x的二次函数y,=X-3x+1和y,=aX2+bx+c若y,与y,互为“对称二次函数”，求函数y2 16/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的表达式，并求出当-3≤x≤3时，y2的最大值. 5.(24-25九年级上·安徽合肥阶段检测)设二次函数y1,y2的图像顶点坐标分别为a,b),(c,d),若 a=2c,b=2d,且图像开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”. a如果y=a(x+h}+k是二次函数y=X+2x+2的一个“同倍项二次函数”，则。 h= k=(写出一种符合题意的a,h,k的值即可)； (2)已知关于x的二次函数y, =x2+和二次函数 y2=-X2-3x-1若y,-y,是y的“同倍项二次函数”， 求n的值. 拓展培优题 1.（25-26九年级上重庆忠县期末)下列函数的图象中，与y=3X-2P的函数图象形状一致的是（） A. y=3x2 B.y=x-2P+1 C.y=(x-2P D.y=3x-3到 2.(25-26九年级上·陕西榆林阶段检测)对于二次函数 y=-2x+3引的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.当x>-3时，y的值随x值的增大而减小 C.对称轴是直线x=3 D.顶点坐标为-2，-3 3.(25-26九年级上·云南昆明·期中)如图，点P从点A出发沿线段AB做匀速运动，到点B后立即按原路 返回.用S表示以点A为圆心，线段AP的长为半径的圆的面积，用t表示点P的运动时间.下列图象适合表 示S与t的对应关系的是() A P B 17/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026江苏常州模拟预测)抛物线 y=-3x+1?+2的顶点坐标是() A.1,2 B.-1,2 c.-3,2 D.-3,1 5.(25-26九年级上河北沧州期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L,y=aX-3P+k与L2 y=mx+2P+n的一个交点为A:过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C(点B在点A左 侧，点C在点A右侧)，已知点A的横坐标为1，则BC的长为() B A.9 B.9.5 C.10 D.10.5 6.（2026广东清远·二模)篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线.设篮球的高度y(米) 与水平距离x米的函数关系式为：y=-0.2x-1.5+3.210≤x≤4当x= 米时，篮球达到运动 轨迹的最高点。 7.（2026江苏南通.二模）二次函数y=a(x-1}+6当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条 件的a的值 18/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026浙江模拟预测)同一平面直角坐标系中，抛物线、，一 y=-x+mP-x+n关于原点成中心对称，则代数式m+2?+n+2P的值为 9.(25-26九年级上上海阶段检测)如图，某数学兴想小组运用《几何画板》软件探究y=aX2a>0型 抛物线图像时发现：该类型图像上任意一点P到对称轴上的定点F0,的距离PP 始终等于它到定直 4a 线1：y=-1的距离PN。他们称定点F为图像的焦点，定直线1为图像的准线.例如，抛物线y=2X, 4a 其焦点坐标为F0, . 准线方程为：y=-请写出抛物线y=X-1的焦点坐标一 8 8 4 VA H 10.(24-25九年级上江西南昌期中)在平面直角坐标系中，设二次函数 y=-2x-2a+3-a(a是 实数)· (1)当a=3时，若点A4,b在该函数图象上，求b的值； ②小明说该二次函数图象的顶点在直线y-之x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？ 11.(24-25九年级上北京海淀期中)在平面直角坐标系x0y 中，己知抛物 y=ax-a2+ca≠0'点 A2,y1B3a,y2小Ct,y,是抛物线上不同的三点. (1)若y1=y2,直接写出a的值： (2)若对于任意的-2<t<-1,都有y3>y2>y1,求a的取值范围. 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(24-25九年级上广西南宁.开学考试)小强同学想画出二次函数y=-2x2-4x的图象，并根据图象 研究它的性质 (1)请你帮小强先将该二次函数化 y=a(x-hP+k形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后 在平面直角坐标系中画出它的图象. 7 2 -3 3 -1 0 1 2 21 -6 0 0 -6 21 2 2 V 4 2 -5-4-3-2-1O12345x 3 5 6 7 (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是 ②该图象的顶点坐标为 该函数有最 值（填大、小）： ③当x 时，y随x的增大而减小 7 -3 -2 3 -1 0 1 2 2 … 21 21 y 2 -6 0 2 0 -6 13. (2024江苏南京.二模)二次函 y=ax-hP+4的图像过点-3，m'5,m (h的值为 2若0，y,n,y,是该函数图像上的两点，当a<0n>2时，试说明：y>y 20/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若关于x的方程ax-h+4=2a+5有一个正根和一个负根，直接写出。的取值范围. 21/21 1.2.2 二次函数的图象（第2课时） 题型一：正确判断出二次函数图象 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 5．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． 题型二：求二次函数的对称轴 1．（25-26九年级上·河北·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 题型三：求二次函数的顶点坐标 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 【答案】 向上 随的增大而增大 最小 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合函数的增减性可求得答案． 【详解】 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，有最小值， 故答案为：向上；；；随的增大而增大；最小；． 2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的顶点坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为： 3．（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的顶点坐标是， 故答案为： 4．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数图象的顶点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 题型四：根据二次函数的特点求解析式 1．（25-26九年级上·青海西宁·期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据形状相同，开口方向以及顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：根据形状相同，所以两个函数的相等， 根据开口向上，得出， 又∵顶点为， ∴解析式为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）抛物线图像关于坐标原点成中心对称的抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标． 先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的，顶点是， ∴关于坐标原点成中心对称的抛物线的，顶点是． ∴得到的抛物线是：． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 题型五：写出复合要求的二次函数解析式 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）：___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入，即可求出，然后令，则，进而可得点抛物线上． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 令，则， ∴点抛物线上． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是_____（写出一个符合题意的解析式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的图象的对称轴为直线，写出二次函数的顶点式即可． 【详解】解：由题意，对称轴为直线， 这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式：________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型六：画出二次函数的图象 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握描点法画图． 先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可． 【详解】先列表：            描点、连线，画出这两个函数的图象： 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 5．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）已知抛物线L：经过点，其顶点为M． (1)用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标 ； ②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标 ； ③求抛物线L的表达式． (2)当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）． (3)规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 ． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)无数或1 【分析】本题考查二次函数的图象与性质， （1）①根据顶点式对应的顶点坐标为，直接写出结果即可； ②根据顶点式对应的对称轴为直线，先求出对称轴，再利用点关于平行于y轴的直线对称的坐标特征求解即可； ③代入点，求出a的值即可； （2）先求出抛物线L的顶点关于直线对称的点的坐标，从而得到抛物线T的顶点式，再将顶点式转化为一般式即可； （3）由m的范围求出直线l的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出“美点”的个数即可． 【详解】（1）解：①由抛物线的顶点式，可知点M的坐标为； ②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线， 故关于直线对称点的坐标为； ③将点的坐标代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为：； （2）解：当时，抛物线L的顶点坐标为， ∴点关于直线的对称点为， 由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为， ∴抛物线T的表达式为； （3）解：由题意，可知，当时，， 作示意图如下： 由图，顶点一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义， 由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为，故只存在和两种纵坐标为整数的情况， 由图，当时，，此时封闭图形由直线被抛物线所截部分线段的纵坐标均为，均符合“美点”的定义，有无数个“美点”， 故“美点”的个数为无数或1． 6．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键． 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：列表， x … 0 1 … … 0 0 … x … 0 1 2 3 4 … … 4 2 4 … 描点，连线，得到函数图像如下， 由图象可知函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 7．（25-26九年级上·全国·期中）画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查用描点法画出函数图象，熟练掌握画函数图象方法的是解题的关键． （1）根据抛物线图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，画出大致图象即可； （2）根据抛物线图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为，画出大致图象即可． 【详解】（1）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，故函数图象如图所示： （2）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向下，对称轴在轴右侧，顶点在第一象限，故函数图象如图所示： ． 题型七：二次函数中最值问题 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）二次函数的最大值是_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题关键是明确二次函数的最值为顶点的纵坐标． 根据二次函数的顶点式，当开口向下时，函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为2． 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为； 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、矩形的性质，先利用抛物线的顶点式求出顶点坐标为，再根据矩形的性质得到，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为， ∵矩形， ∴， ∵轴于点C， ∴当点A在抛物线的顶点时，有最小值，最小值为3， ∴对角线的最小值为3． 故答案为：3． 题型八：二次函数图象综合解答 1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 5．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 题型一：二次函数的图象比较大小 1．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则或， 故A、B选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 题型二：二次函数中图象探究题 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值 当时，y有最小值，最小值为2． ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴． ∴当时，y有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 任取图像上两点，． 当时，③…… 当时，同理可得当时，y随x的增大而增大． 图像的对称性 图像关于②对称． ④ (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整； (3)写出④处的论证图像对称性的过程． 【答案】(1)图见解析，直线 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线对称； （2）根据图示求解即可； （3）分别求得横坐标和时的值，得到点和关于直线对称，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 列表 0 1 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 观察图像得：图像关于直线对称． ②处的空格为直线； （2）解：∵图像是任意两点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为， ∴， 而时，， ∴点和关于直线对称， ∴的图像关于直线对称． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)图象关于直线对称 (4) 【分析】本题主要考查二次函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； 故答案为； （2）解：把代入函数得：，即； 故答案为； （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： 由图象可知：该函数的一个性质可以为图象关于直线对称； 故答案为图象关于直线对称； （4）解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上，且成立，则可分： 当点A、B在直线的左侧时，则，此时无解； 当点A、B在直线的右侧时，则，解得：； 当点A、B在直线的两侧时，即，解得，则需满足点A到直线的距离比点B到直线的距离更远，则，此时无解； 综上所述：a的取值范围是； 故答案为． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）在初中阶段，一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 m 0 3 8 … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是y轴； ②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ④当时，x的值为1． (3)在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，见解析 (2)①② (3)见解析，或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得m的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．原说法错误； ④当时，x的值为1或．错误； 故答案为：①②； （3）解：由图象可知，不等式的解集为或． 4．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 【答案】 （1）； （2）①函数的图像如下： ②不断减小；（3）． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合． （1）根据已知列方程求解； （2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解； （3）作函数的图像，根据图像即可求解． 【详解】（1）根据题意可得， 由表可得，当时，， ， 解得：， 故答案为：； （2）①略 ②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图， 由图像可知，不等式的解集为， 故答案为：． 题型三：二次函数中新定义类 1．（2026·江西南昌·二模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的5倍，则称这个点为“五倍点”．下列函数存在五倍点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据五倍点定义，五倍点满足，存在五倍点即联立原函数与得到的方程有实数解，判断方程是否有实根即可得到结果． 【详解】解：∵五倍点的纵坐标是横坐标的倍， ∴五倍点满足， 若函数存在五倍点，则联立函数解析式与所得方程有实数解． 对选项A：联立，得，整理得，方程无解，故A不存在五倍点． 对选项B：联立，得，整理得，方程无实数解，故B不存在五倍点． 对选项C：联立，得，整理得．∵判别式，∴方程有两个不相等的实数根，故C存在五倍点． 对选项D：联立，得，整理得．∵判别式，∴方程无实数根，故D不存在五倍点． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 3．（2026·河南洛阳·三模）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）设二次函数，的图像顶点坐标分别为，，若，，且图像开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”． (1)如果是二次函数的一个“同倍项二次函数”，则______，______，______（写出一种符合题意的，，的值即可）； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若是的“同倍项二次函数”，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，理解“同倍顶二次函数”的定义是解答的关键． （1）先求出二次函数的顶点式为，二次函数的顶点为，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别将、的顶点式表达出来，进而得到两个函数的顶点坐标，最后根据“同倍顶二次函数”的定义求解即可． 【详解】（1）解： ，， 该函数开口向上，顶点坐标为， 二次函数的顶点为，且是二次函数的一个“同倍项二次函数”， ，，， ，，， 故答案为：，，； （2） ， 其图像的顶点为， ， 其图像的顶点为， 是的“同倍项二次函数”， ， 解得：． 1．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上：． 其图象如下： 故选：A． 4．（2026·江苏常州·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 5．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 6．（2026·广东清远·二模）篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 【答案】 【分析】由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点为轨迹最高点，求出顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：∵篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：， ∴当米时，篮球达到运动轨迹的最高点． 7．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图像时发现：该类型图像上任意一点P到对称轴上的定点的距离，始终等于它到定直线：的距离．他们称定点为图像的焦点，定直线为图像的准线．例如，抛物线，其焦点坐标为．准线方程为：．请写出抛物线的焦点坐标_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，新定义，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据题意可知，抛物线的焦点为，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是实数）． (1)当 时，若点在该函数图象上，求b 的值； (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)小明说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）把点，分别代入解析式即可求解； （2）根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确； 【详解】（1）解：当 时，， 把代入，得， ∴当 时，求b 的值为． （2）解：小明说法正确． ∵二次函数 ， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴顶点坐标为，在直线 上， ∴小明说法正确． 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点． (1)若，直接写出a的值： (2)若对于任意的，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查二次函数的性质及利用函数图象求解，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）根据题意得出对称轴为，结合题意得出，即可求解； （2）设点B、关于对称轴对称，分两种情况：当时，当时，分别作出相应草图，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴对称轴为， ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 解得：； （2）设点B、关于对称轴对称， 当时，如图所示，点A在对应抛物线的下方且在的右侧， 点C一定在对称轴左侧且在点的上方， ∴， ∴； 当时，如图所示，点A在的右侧且在的下方， 点C一定在B、上方的抛物线上， ∴， ∴； 综上可得：或． 12．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2)①直线；②，大；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质． （1）先把二次函数化为顶点式，然后分别求出当时，，当时，，最后画出函数图象即可； （2）①利用二次函数的性质求解即可； ②利用二次函数的性质求解即可； ③利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，，解得或（舍去）， 填表如下： x … 0 1 … y … 0 2 0 … 画出函数图象如下所示：    （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴它的对称轴是直线， 故答案为：直线； ②∵二次函数解析式为，， 该图象的顶点坐标为，该函数有最大值， 故答案为：，大； ③ 根据图象可知当，y随x的增大而减小． 故答案为：． 13．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2) 由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得 ，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）略 （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $