2026年广东省广州市中考数学满分卷

**基本信息** 2026年广州中考数学模拟卷，以三轮冲刺为目标，通过世界杯观众数、博物馆活动等真实情境，融合代数、几何、统计知识，设置新定义“对偶函数”等创新题型，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、视图、函数性质|结合空心圆柱体视图考查空间观念| |填空题|6/18|科学记数法、正八边形角度、反比例函数|以窗格正八边形求角度体现文化传承| |解答题|8/72|方程组、几何证明、统计分析、新定义函数|第24题“对偶函数”新定义考查创新意识，第25题菱形动态问题综合推理能力|

绝密★启用前 2026年广东省广州市中考数学满分卷 九年级数学 （共25小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义．根据无理数的定义即可判断选项． 【详解】解：A、，不是无理数，故本选项不符合题意； B、3.14不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 2．如图所示是一个空心圆柱体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：它的主视图是 ． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的特点，结合平移规律、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点的判断方法，逐一分析选项即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律“左加右减”，向左平移个单位长度，得到，故选项A错误，不符合题意； ∵抛物线为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 令，得， ∴该抛物线与轴交于，与y轴存在交点，故选项C错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为，不是，故选项D错误，不符合题意． 5．如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率估计概率得到点落在黑色部分上的概率为，利用正方形纸的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点落在黑色部分上的频率约为，即点落在黑色部分上的概率为， ∴图中黑色部分面积约为． 6．如图，在中，，，若反比例函数的图象经过点A，则k为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，含30度角的直角三角形，解直角三角形求出点A的坐标可得结论． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴． 故选：D． 7．一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 8．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，已知正六边形的半径为2，且点O为正六边形的中心，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作于点，得到，，得出是等边三角形，求出，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点， 正六边形的半径为2，且点为正六边形的中心， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，先解直角三角形求得AE=DE．设DE=m，则D（1+m，m），代入反比例函数解析式，求得点Ｄ坐标为D(，)，再证△CBG≌△DAE（AAS）得CG=DE=，BG=AE=-1=，所以xC=xB+，yC=yB+，代入反比例函数解析式得，，再解直角三角形求得yB=(1-xB)=-xB，代入得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BG⊥CH轴于点G，    ∵∠BAO=60°，∠BAD=90°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=DE． 设DE=m，则D（1+m，m）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴，即， 解得；m=或m=-(不符合题意，舍去)， ∴D(，)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AD=BC， ∴∠CBG=∠DAF， ∵∠CGB＝∠DFA， ∴△CBG≌△DAF（AAS）， ∴FG=DF=，BG=AF=-1=， ∴xC=xB+，yC=yB+， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∵∠BAO=60°， ∴yB=(1-xB)=-xB， ∴， 解得：xB=-1或xB=1(不符合题意，舍去)， ∴yB=2， ∴B(-1，2)， 故选：B． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11．2026“美加墨”世界杯中，加拿大的温哥华球场共承担7场比赛，预计7场比赛共接纳观众378000人，将378000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【详解】解：将378000用科学记数法表示为． 12．要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得且． 13．若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 14．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，交于点M ， ______° 【答案】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正八边形的内角度数，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出和的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：多边形为正八边形， ，， 在中，， 在中，， 是的外角， ． 15．若和在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是_____ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据得出反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小，根据即可得答案．熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象在一、三象限，在各象限随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为： 16．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理． 连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题． 【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为． ∵四边形和四边形是边长相等的正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ 连接，，，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分） 17．解方程组：． 【答案】 【详解】解： 由①②得，，解得 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为． 18．如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别在边上，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算化简原式即可； （2）结合负整数指数幂的定义求出的值，再代入（1）中进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， 将代入，得． 20．方寸之间，一览千年，博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂，为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信，西安某中学初一历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取m名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： (1)样本容量m的值是__________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是__________°； (3)若该校初一年级共有学生800人，试估计参与A项目的学生有多少人？ 【答案】(1)，图形见图 (2) (3)估计参与A项目的学生约有320人． 【分析】（1）从两个统计图中得到信息进行求解； （2）求出扇形D对应的百分比即可得到答案； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）， 样本中参与“B．制作博物馆专题手抄报”的人数为（人）， 补全统计图略； （2）解：； （3）解：A项目（人）， 答：估计参与A项目的学生约有320人． 21．已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 22．为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． (1)求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ (2)为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 【答案】(1)黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． (2)第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 【分析】（1）设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克．该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克，第二批购买费用不低于元，据此列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． 则 解得 答：黄皮甘蔗单价是元/千克，黑皮甘蔗单价是元/千克． （2）解：设第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克，则第二批收购黑皮甘蔗千克， 则 解得 答：第二批至少需要收购黄皮甘蔗千克． 23．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 25．【问题背景】菱形的边长为6，其中，E是边上的一个动点，作射线，点D关于直线的对称点为F，连接，直线与射线交于点G，连接、． 【知识技能】 (1)如图1， 连接，求证∶； (2)如图2， 连接，求证∶； 【拓展探索】 (3)当E在直线上运动时，求时，的长度是 ． 【答案】(1)证明：∵点D关于直线的对称点为F， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示， 由（1）得，且， ∴， ∴四点共圆， ∵与所对的弧为， ∴， ∵在四边形中， ，且， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据轴对称的性质得出相等的边，根据等边对等角得出，根据菱形的性质得出，最后根据等边对等角即可得出结论； （2）根据互补的对角得出四点共圆，根据圆周角定理以及菱形的性质得出相等的角，得出，然后利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况进行讨论，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，证明，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：①如图所示，当点在点右侧时，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 由（2）得，即， ∴； ②如图所示，当点在点左侧时，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 同（1）可证，，且和都是同侧所对； ∴四点共圆， ∵和是同弧所对圆周角，和都是同弧所对的圆周角， ∴； ∴， ∴； ∴，即； ∴， 综上，的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年广东省广州市中考数学满分卷 九年级数学 （共25小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．如图所示是一个空心圆柱体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．可由抛物线向左平移2个单位长度得到 B．当时，y随x的增大而增大 C．与y轴无交点 D．顶点坐标是 5．如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若反比例函数的图象经过点A，则k为（    ） A．2 B． C． D． 7．一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知正六边形的半径为2，且点O为正六边形的中心，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11．2026“美加墨”世界杯中，加拿大的温哥华球场共承担7场比赛，预计7场比赛共接纳观众378000人，将378000用科学记数法表示为_______． 13．若关于的一元二次方程的一个根为．则_______． 14．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，交于点M ， ______° 15．若和在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是_____ 16．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分） 17．解方程组：． 18．如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：． 19．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 20．方寸之间，一览千年，博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂，为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信，西安某中学初一历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取m名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： (1)样本容量m的值是__________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是__________°； (3)若该校初一年级共有学生800人，试估计参与A项目的学生有多少人？ 21．已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 22．为缓解某地区甘蔗滞销问题，某企业开展对口帮扶，收购当地农户种植的甘蔗．已知该企业第一批收购黄皮甘蔗千克，黑皮甘蔗千克，共支付元．据市场反馈，黑皮甘蔗每千克售价比黄皮甘蔗低元． (1)求本次收购的黄皮甘蔗、黑皮甘蔗的单价分别是多少元/千克？ (2)为持续帮扶农户，该企业计划第二批收购两种甘蔗总量增加至1300千克．由于市场回暖，黑皮甘蔗售价提高至元/千克，黄皮甘蔗售价不变．要求第二批购买费用不低于元，求第二批至少需要收购黄皮甘蔗多少千克？ 23．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 24．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 25．【问题背景】菱形的边长为6，其中，E是边上的一个动点，作射线，点D关于直线的对称点为F，连接，直线与射线交于点G，连接、． 【知识技能】 (1)如图1， 连接，求证∶； (2)如图2， 连接，求证∶； 【拓展探索】 (3)当E在直线上运动时，求时，的长度是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $