第39讲 空间直线、平面的平行——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直线、平面的平行”专题，依据课标要求系统梳理线面平行、面面平行的判定与性质定理，通过基础检测辨析易混结论，分类整合线面平行判定与性质、面面平行判定及综合应用三大考点，对接高考评价体系中空间形式的考查要求，明确证明平行关系、探究点位置等常考题型。 课件亮点在于融入2025年重庆三模、海南模拟等高考真题，以正方体中动点MN平行平面的证明为例，培养学生的空间观念和推理能力，小结归纳线面平行判定的四种方法，帮助学生掌握化归思想，教师可通过对应训练精准突破易错点，助力学生高效掌握答题技巧，提升高考冲刺得分率。

第7章 立体几何与空间向量 第39讲 空间直线、平面的平行 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，会把空间问题转化为平 面问题. 2.学会应用“化归思想”进行“线线平行、线面平行、面面平行”的互相转化. 3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题. 2 【知识要点】 1.直线和平面的位置关系 （1）直线和平面相交——有且只有______公共点. （2）直线在平面内——有________公共点. （3）直线和平面平行——______公共点. 一个 无数个 没有 3 2.直线与平面平行的判定 （1）判定定理：如果________一条直线和这个________的一条直线______，那么这条 直线和这个平面平行，即， ， . （2）如果两个平面______，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，即__________ ______，则 . 3.直线与平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 就和______平行，即 ， ， ，则______. 平面外 平面内 平行 平行 ， 交线 4 4.两个平面的位置关系 （1）两个平面平行——____________； （2）两个平面相交——________________. 5.两个平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内有两条______直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. （2）垂直于同一条______的两个平面平行. （3）平行于同一个______的两个平面平行. 没有公共点 有一条公共直线 相交 直线 平面 5 6.两个平面平行的性质定理 （1）两个平面平行，其中一个平面内的______________必平行于另一个平面. （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的______互相平行. （3）一条直线______于两个平行平面中的一个平面，它也______于另一个平面. 任意一条直线 交线 垂直 垂直 6 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(　　) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　) (4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　) (5)已知α，β是两个不同的平面，a为直线，若α∥β，a∥α，则a∥β.(　　) × × × × √ 7 2.[必修2p143T1]已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是(　　) A.若a∥α，b⊂α，则a∥b B.若a∥α，b∥α，则a∥b C.若a∥b，b⊂α，则a∥α D.若a ∥ b，a⊂α，则b∥α或b⊂α D [解析] 若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，A错; 若a∥α，b∥α，则a与b平行或异面或相交，B错; 若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错; 若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对. 8 3.[必修2p138T2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的 中点，则BD1与平面AEC的位置关系为　　　　.  平行 [解析] 如图，连接BD，设BD∩AC=O，连接EO， 在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO， 而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 9 4.(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C.若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β BC [解析] 若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m与n异面，或m，n相交，A错误;若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确;若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确;若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误. 10 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面， 则四边形EFGH的形状为　　　　 .  平行四边形 [解析] ∵平面ABFE∥平面DCGH， 且平面EFGH∩平面ABFE=EF， 平面EFGH∩平面DCGH=HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 11 考点1 直线与平面平行的判定与性质 角度1.直线与平面平行的判定 例1　(1)(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下列说法正确的是(　 　) A.OQ∥平面PCD B.PC∥平面BDQ C.AQ∥平面PCD D.CD∥平面PAB ABD 12 [解析] 因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点， 又Q为PA的中点，所以OQ∥PC， 又PC⊂平面PCD，OQ⊄平面PCD，所以OQ∥平面PCD，故A正确; 同理OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥BDQ，故B正确; 由四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB， 所以CD∥平面PAB，故D正确; 又AQ与平面PCD相交于点P，故C错误; 故选ABD. 13 (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段B1D1，A1D上的动点，且满足B1M=A1N=a(0<a<). 证明:MN∥平面CDD1C1. 14 [解析] 在平面A1B1C1D1内过点M作A1D1的平行线分别交A1B1，C1D1于点G，H; 在平面AA1D1D内过点N作A1D1的平行线分别交AA1，DD1于点E，F，连接EG，HF; 在△A1B1D1中，由MG∥A1D1， 可知=，又B1M=a且正方体棱长为1， 15 代入可得=，所以MG=a， 所以MH=1-a;同理可得NF=1-a. 又由MH∥A1D1∥NF，且MH=NF， 所以四边形MHFN为平行四边形，所以MN∥HF， 又因为MN⊄平面CDD1C1，HF⊂平面CDD1C1， 所以MN∥平面CDD1C1. 16 角度2.直线与平面平行的性质 例2　(1)设α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α∩β=l，则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C 17 [解析] 当m∥l时，m可能在α内或者β内，故不能推出m∥β且m∥α，所以充分性不成立; 当m∥β且m∥α时，设存在直线n⊂α，n⊄β，且n∥m， 因为m∥β，所以n∥β，根据直线与平面平行的性质定理，可知n∥l， 所以m∥l，即必要性成立，故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件. 18 (2)(2025·重庆·三模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面α分别交棱BC，CD(不含端点)于P、Q两点. 证明:PQ∥BD; 19 [解析] 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD， 因为BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD， 所以EF∥平面BCD， 又因为EF⊂平面α，平面BCD∩平面α=PQ，所以EF∥PQ， 又因为EF∥BD，所以PQ∥BD. 20 [小结]1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线. 21 1.下列结论正确的是(　　) A.如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面; B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行; C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b; D.如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α. [解析] 对于A:如图(1)所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AA1∥BB1， 此时AA1在过BB1的平面ABB1A1内，故A错误; 对于B，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 可得AA1∥平面BCC1B1，但AA1与BC为异面直线，故B错误; D 对应训练 22 对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AA1∥平面BCC1B1，A1D1∥平面BCC1B1，但AA1和A1D1为相交直线，故C错误; 对于D，如图(2)所示，过点A，B分别作AM⊥α，BN⊥α，可得AM∥BN， 因为AM=BN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AB∥MN， 又因为AB⊄α，MN⊂α，所以AB∥α，故D正确.故选D. 23 2.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证:AM∥平面BDE; (2)若平面ADM∩平面BDE=l，平面ABM∩平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论. 24 (1)求证:AM∥平面BDE; [解析] (1)如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点， 四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形， 所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. 25 (2)若平面ADM∩平面BDE=l，平面ABM∩平面BDE=m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论. (2)l∥m，证明如下: 由(1)知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE=l，所以l∥AM， 又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE=m，所以m∥AM，所以l∥m. 26 3.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点. (1)当M为PD的中点时，求证:MN∥平面PAB; (2)当PB∥平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由. [解析] (1)取AP的中点为E，连接EM，EB， 在△PAD中，M为PD的中点，E为AP的中点， ∴EM∥AD，EM=AD，在平行四边形ABCD中，N为BC的中点， ∴BN∥AD，BN=AD， ∴BN∥ME，BN=ME，∴四边形BNME为平行四边形， ∴MN∥BE，MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB. 27 (2)连接AN，BD，相交于O，连接OM， ∵PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN=OM，PB⊂平面PBD， ∴PB∥OM，===， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 28 考点2 面面平行的判定及性质 例3　(1)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(　　) A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B.若m∥n，n⊂α，则m∥α C.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β D.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β C 29 [解析] 因为m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， 对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误; 对于B，若m∥n，n⊂α，则m可能在α内，故B错误; 对于C，因为m⊂α，m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l∥m， 且l⊄α，进而可得l∥α，因为m，n是异面直线，n⊂β，所以l与n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确; 对于D，平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交， 故D错误.故选C. 30 (2)如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE=2CF. ①证明:平面ADE∥平面BCF; ②若G是棱BC的中点，证明:AE∥FG. 31 ①证明:平面ADE∥平面BCF; [解析] ①由平行四边形ABCD，得BC∥AD， 而AD⊂平面AED，BC⊄平面AED，则BC∥平面AED， 由DE∥CF，CF⊄平面AED，DE⊂平面AED，得CF∥平面AED， 又BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF. 32 ②若G是棱BC的中点，证明:AE∥FG. ②延长EF，AG与DC的延长线分别交于点O1，O2， 由DE∥CF，DE=2CF，得CO1=CD， 由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2=CD， 因此点O1，O2重合，记为O，显然平面AOE∩平面AED=AE，平面AOE∩平面BCF=FG，由①知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG. 33 [小结]证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化. 34 4.已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示不同平面，下列命题中正确的有(　　) A.若α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n，则α∥β B.若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β C.若m∥α，m∥β，则α∥β D.若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β B [解析] 对于A，若α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n，则α∥β或相交，故A错误; 对于C和D，α与β也可能相交，均错误; 对于B，设m，n相交确定平面γ，根据面面平行的判定定理知α∥γ，β∥γ， 根据平行平面的传递性得知α∥β，故B正确. 对应训练 35 5.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1; (2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l，证明:B1D1∥l. 36 (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1; [解析] (1)由题意知BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1B1C1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B=B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. 37 (2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l，证明:B1D1∥l. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，B1D1∥BD， 又平面ABCD∩平面B1D1C=l， 平面ABCD∩平面A1BD=BD， 所以直线l∥直线BD， 又因为B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 38 考点3 平行关系的综合应用 例4 　(2025·海南·模拟预测)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，△ABC与△A1B1C1都是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2，AA1=A1B1=4，E，F分别为AA1，B1C1的中点. (1)证明:EF∥平面AB1C; (2)求异面直线EF与BB1夹角的余弦值. 39 (1)证明:EF∥平面AB1C; [解析] (1)在三棱台ABC-A1B1C1中，设C1C1的中点为D，连接DE，DF，由F为B1C1的中点，得DF∥B1C，又B1C⊂平面AB1C，DF⊄平面AB1C，则DF∥平面AB1C， 由DE为梯形AA1C1C的中位线，得DE∥AC，又AC⊂平面AB1C，DE⊄平面AB1C， 则DE∥平面AB1C，而DE∩DF=D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF， 因此平面DEF∥平面AB1C，又EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C. 40 (2)求异面直线EF与BB1夹角的余弦值. (2)取A1B1的中点G，A1G的中点H，连接AG，EH，HF，GF，A1F， 由AB=2，A1B1=4，AB∥A1B1，G是A1B1中点，得四边形ABB1G是平行四边形， 则BB1∥AG，又H是A1G中点，E是AA1中点，则EH∥AG∥BB1， 即∠FEH就是异面直线EF与BB1的夹角， 又AA1⊥底面A1B1C1，△ABC与△A1B1C1都是等腰直角三角形，AB=2，AA1=A1B1=4， 则AG==2，A1F=B1C1=2，EH=AG=， EF==2，HF===EH，因此cos∠FEH==， 所以异面直线EF与BB1夹角的余弦值为. 41 例5　如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E=60°，已知CD=4，AB=8，G，H分别为O2B，BF的中点. (1)证明:平面CGH∥平面O1O2FE. (2)若三棱锥C-GBH的体积为，求圆台O1O2的侧面积. 42 (1)证明:平面CGH∥平面O1O2FE. [解析] (1)∵在梯形ABCD中，CD=4，AB=8，∴O1C∥O2B，O1C=O2B， 又G为O2B的中点，∴O2G=O2B，∴O1C∥O2G，O1C=O2G， 故四边形O1O2GC为平行四边形，∴CG∥O1O2. 又CG⊄平面O1O2FE，O1O2⊂平面O1O2FE，∴CG∥平面O1O2FE. ∵G，H分别是O2B，BF的中点，∴GH∥O2F. 又GH⊄平面O1O2FE，O2F⊂平面O1O2FE，∴GH∥平面O1O2FE. 又CG∩GH=G，CG⊂平面CGH，GH⊂平面CGH， ∴平面CGH∥平面O1O2FE. 43 (2)若三棱锥C-GBH的体积为，求圆台O1O2的侧面积. [解析](2)设O1O2=h，由(1)可知CG∥O1O2，CG=O1O2，则CG为三棱锥C-GBH的高h. 故=·S△GBH·h，由∠DO1E=60°，可得∠AO2F=60°，∴∠BO2F=120°. 又∵GH∥O2F，GH=O2F=2，BG=O2B=2， ∴S△GBH=·BG·HG·sin 120°=×2×2×=. 故=·S△GBH·h=××h=，∴h=5. 在Rt△CGB中，|BC|==. 故圆台的侧面积S=(2πr+2πR)l=(2π+4π)×=6π. 44 6.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC，点D，M分别为AC，PB的中点，PF=2FC. (1)证明:AM∥平面BDF; (2)若平面AMN∥平面BDF，其中PD∩平面AMN=N，MN⊥PC，证明:AN是AM在平面PAC上的投影. 对应训练 45 (1)证明:AM∥平面BDF; [解析] (1)取PF的中点E，连接AE，由PF=2FC， 得PE=EF=FC，点F为EC的中点， 又点D为AC的中点，则DF∥AE， 又AE⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，于是AE∥平面BDF， 又点E为PF的中点，点M为PB的中点，则EM∥BF， 又EM⊄平面BDF，BF⊂平面BDF， 因此EM∥平面BDF，又AE∩EM=E，AE，EM⊂平面AEM， 所以平面AEM∥平面BDF，又AM⊂平面AEM，所以AM∥平面BDF. 46 (2)若平面AMN∥平面BDF，其中PD∩平面AMN=N，MN⊥PC，证明:AN是AM在平面PAC上的投影. [解析](2)平面AMN∥平面BDF，且平面AMN∩平面PDB=MN，平面BDF∩平面PDB=BD，则MN∥BD，由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC，则MN⊥AC， 又MN⊥PC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，因此MN⊥平面PAC， 所以AN是AM在平面PAC上的投影. 47 7.(2025·上海杨浦·三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证:平面EFG∥平面PBC; (2)若PA=AD=DC=BC=2，求点F到平面AEG的距离. 48 (1)求证:平面EFG∥平面PBC; [解析] (1)由F，G分别为AB，AC的中点，得FG∥BC，而FG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，则FG∥平面PBC，延长FG交CD于点H，连结EH，由GH∥BC，AD∥BC，得GH∥AD，由G是AC的中点，得H是CD的中点，又E是PD的中点， 则EH∥PC，而EH⊄平面PBC，PC⊂平面PBC， 因此EH∥平面PBC，又EH，FG⊂平面EFG，且EH∩FG=H， 所以平面EFG∥平面PBC. 49 (2)若PA=AD=DC=BC=2，求点F到平面AEG的距离. [解析](2)设点F到平面AEG的距离为d，取AD的中点M，连结ME，MG， 则EM∥PA，GM∥CD，且EM=PA=1，GM=CD=1， 由PA⊥平面ABCD，得EM⊥平面ABCD，由=，得S△AEG·d=S△AFG·EM， 在△AEG中，AE=PD=，AG=AC=，EG=，则S△AEG=， 又EM=1，S△AFG=S△ABC=1，于是d=1×1，解得d=， 所以点F到平面AEG的距离为. 50 $