第39讲　直线的方程及位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何“直线的方程及位置关系”专题，覆盖倾斜角与斜率、五种方程形式、平行垂直判定、距离公式及对称问题等高考核心考点，通过表格对比方程适用范围、归纳位置关系判定条件，对接高考评价体系中数学思维与运算能力的考查要求，明确斜率计算、对称问题等高频考点的题型分布。 课件亮点在于“教材经典题改编+高考模拟题训练”的实战设计，如以对称问题为例，通过中点坐标公式和垂直斜率关系构建解题模型，培养学生的几何直观与逻辑推理素养。特设易错点警示（如截距与距离的区别）和答题模板，帮助学生掌握待定系数法等得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第八章 第39讲　直线的方程及位置关系 解析几何 1 1．(教材经典题改编)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【解析】 　　　　由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2． D 2．(教材经典题改编)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 (　　) A．3x＋2y－1＝0　 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0　 D．2x－3y＋8＝0 【解析】 A 3．(教材经典题改编)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝ (　　) 【解析】 C D 5．(教材经典题改编)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是 (　 　) A．2　 B．－1 C．－2　 D．1 【解析】 　　　　因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1． AB 1．直线的倾斜角 (1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． (2) 范围：直线l的倾斜角的取值范围是__________． 注意：倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角． 向上方向 [0，π) 2．斜率公式 (1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_________． (2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝_________． 注意：如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在． tan α 3．直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 4．两条直线平行与垂直的判定 (1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________. 特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行． (2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ _____________. 特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． k1＝k2 k1·k2＝－1 5．三个距离公式 (1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__________________． (2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ _________________． (3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ ___________． 6．常用结论 (1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． (2) 对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”． (3) 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量为a＝(－B，A)． 目标 1 直线的方程 1 【解析】 A 　　　(2) 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为 (　　) A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0 C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0 【解析】 1 A 求直线方程的两种方法：(1) 直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．(2) 待定系数法：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数． 变式1　(1) 过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是___________________________． 【解析】 y＝－x－1 变式1　(2)(多选)若直线l经过点(4，－2)，且l与坐标轴围成的三角形面积为2，则l的方程可能是 (　 　) A．x－y－2＝0　 B．2x＋y－6＝0 C．x＋y－2＝0　 D．x＋4y＋4＝0 【解析】 【答案】 CD 目标 2 两直线的位置关系 　　　(多选)设a为实数，直线l1：ax＋2ay＋1＝0，l2：(a－1)x－(a＋1)y－4＝0，则 (　 　) A．当a＞0时，l1不经过第一象限 C．若l1⊥l2，则a＝－3或a＝0 D．l2恒过点(2，2) 2 【解析】 　　　　对于A，若l1经过第一象限的点P(m，n)，则m＞0，n＞0，且am＋2an＋1＝0，但a＞0，故am＋2an＋1＞0，矛盾，故l1不经过第一象限，故A正确． 对于C，若l1⊥l2，则a(a－1)＋2a(－a－1)＝0，解得a＝0或a＝－3，但a不为零，故C错误． 【答案】AB 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 变式2　若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：x＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值有 (　　) A．2个　 B．3个 C．4个　 D．5个 【解析】 B 目标 3 距离问题 　　　(1) 原点O(0,0)到动直线l：(m＋1)x＋(2m－1)y－3m＝0(m∈R)的距离的最大值为______． 3 【解析】 【解析】 3 －5或15 使用距离公式时应注意：(1) 点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2) 应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 【解析】 因为|AB|＝10，d1＋d2＝10，所以当点A，B在直线ax＋by＋1＝0同侧时，直线AB与直线ax＋by＋1＝0平行，当点A，B在直线ax＋by＋1＝0异侧时，A，B关于直线ax＋by＋1＝0对称． 目标 4 对称问题 　　　(1) 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，直线l关于点A对称的直线l′的方程为_________________． 4 【解析】 　　　　方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0． 2x－3y－9＝0 　　　(2) 已知点P在直线y＝x＋3上，点A(1,0)，B(3,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为 (　　) 【解析】 4 【答案】D 　　　(3) 已知直线l1：3x－4y－4＝0关于直线l2的对称直线为y轴，则l2的方程为 __________________________． 【解析】 4 对称问题的求解策略 (1) 解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2) 中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 【解析】 B 1．若直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为 (　　) D 2．(2025·马鞍山一模)设点A(2,1)，B(－2,3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为 (　　) A．(－∞，－1)　 B．(－2,1) C．(－1,2)　 D．(1，＋∞) 【解析】 C 3．在x轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3,4)和P为顶点的三角形的面积为10，则点P的坐标为___________________． 【解析】 (9，0)或(－11，0) 4．已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为______． 【解析】 配套练习题 一、单项选择题 1．(2025·新余一模)已知直线l的方程为y＝(－a2＋1)x＋b，则直线l的倾斜角的取值范围为 (　　) 【解析】 D 2．(2025·济南一模)若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则m＝ (　　) A．4　 B．－4 C．1或－4　 D．－1或4 【解析】 　　　　若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则(m－2)(m－1)＝3×2＝6，整理可得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1．若m＝4，则直线l1：2x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋3y＋2＝0平行，符合题意； 若m＝－1，则直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x－y＋1＝0平行，符合题意．综上所述，m＝4或m＝－1． D 3．若两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为 (　　) 【解析】 D 【解析】 【答案】D　 5．已知三条直线l1：y＝x＋1，l2：y＝－2x＋4，l3：mx＋y＋1＝0不能围成三角形，则实数m的取值集合为 (　　) 【解析】 由直线l1，l2，l3不能围成三角形，得直线l1∥l3或l2∥l3或点A在直线l3上，则－m＝1或－m＝－2或m＋2＋1＝0，解得m＝－1或m＝2或m＝－3，所以实数m的取值集合为{－1，2，－3}． C 6．(人A选必一P80T15)若□ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，则□ABCD的面积为 (　　) A．9　 B．12 C．15　 D．18 【解析】 　　　　如图，由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0联立得交点C(3,2)；由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0联立得交点B(－1,1)；由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0联立得交点D(2，4)． 【答案】A　 7．若直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，直线l1与l2交于点P，则∠APB＝ (　　) 【解析】 【答案】D　 【解析】 【答案】B 二、多项选择题 9．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是 (　 　) A．4x＋y－6＝0　 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0　 D．2x＋3y－7＝0 【解析】 【答案】AC　 10．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsin α－y＋1＝0，则 (　 　) A．当m变化时，l1的倾斜角不变 B．当α变化时，l2过定点 C．l1与l2可能平行 D．l1与l2不可能垂直 【解析】 对于B，直线l2：xsin α－y＋1＝0恒过定点(0,1)，故B正确； 【答案】AB　 11．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的是 (　 　) A．y＝x＋1　 B．y＝2 【解析】 对于B，d＝2＜4，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意； 【答案】BC 三、填空题 12．已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为_________________． 【解析】 　　　　由点A(1，2)在l1：ax＋by＋1＝0上可知a＋2b＋1＝0．同理，由点A(1，2)在l2：cx＋dy＋1＝0上可知c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0．由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为x＋2y＋1＝0． x＋2y＋1＝0 【解析】 14．(2025·沈阳三模)已知过点P(2 025，1)的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线l的条数为______． 【解析】 15 名称 方程 适用范围 点斜式 ______________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ________________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ______________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 变式3　若非零实数对(a，b)满足关系式|a＋b＋1|＝|7a－7b＋1|＝5，则＝____________． 【答案】－或 【答案】 $