第41讲 空间向量及空间位置关系——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何与空间向量专题，依据课标要求系统梳理空间直角坐标系、向量运算、数量积等核心考点，通过知识要点整合与基础检测，对接高考评价体系，明确共线共面判断、数量积应用等高频考点，归纳线性运算、坐标表示等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如利用数量积求投影向量例题，培养数学思维的运算与推理能力，通过共面向量定理证明四点共面，强化数学语言的符号表达。设置对应训练与易错点分析，帮助学生掌握坐标法等解题技巧，教师可据此实施精准复习，助力学生高效备战高考。

第7章 立体几何与空间向量 第41讲 空间向量及空间位置关系 2027届高考一轮复习数学 1 必备知识 基础知识夯实 关键能力 命题视角突破 2 【课标要求】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式. 2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 3 【知识要点】 1.空间向量的有关概念 （1）在空间中，我们把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量 的__________，用____表示，长度为零的向量叫做零向量，记为___；模为___的向量 叫做单位向量. （2）长度相等且方向相同的向量叫做__________，一个向量在空间平移到任何位置， 仍与原来的向量______. 大小 方向 模或长度 0 1 相等向量 相等 4 2.空间向量的加、减法法则和运算律 （1）向量加法运算法则是____________法则或________法则，即①加法法则： ；②减法法则： . （2）运算法则：①加法交换律：______；②加法结合律： ___________. （3）线段的中点公式：设是空间任意一点，点是线段的中点，则 _ ___________ 平行四边形 三角形 5 3.向量的数乘运算 （1）实数 与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的__________，向量 的 长度为_____，当时与同向，当时与 反向. （2）运算法则：①数乘分配律：________；②数乘结合律： _______. 4.平行向量（共线向量） （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________，则这些向量叫做共 线向量或平行向量平行于，记作 . （2）共线向量定理：对空间任意两个向量，， 的充要条件是存在唯一 的实数 ，使得 ____. 数乘运算 平行或重合 6 5.向量与平面平行 （1）如果表示向量的有向线段所在直线与平面 ______或在平面 ____，我们就 说向量平行于平面 ，记作 . （2）共面向量：我们把平行于同一______的向量叫做共面向量. （3）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量， 共面的充要条件 是存在唯一的实数对，，使得 ________. 平行 内 平面 7 6.空间向量基本定理 （1）基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量 ，存在有序实 数组，，，使 ______________. （2）三个向量，，不共面，我们把,,叫做空间的一个______，，， 都叫 做________. 基底 基向量 8 7.空间两向量的数量积 （1）向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作， ， 则叫做向量与的夹角，记作, . ①规定___,___，因而,, ； ②如果,_ _，则称与互相垂直，记作 ； ③如果非零向量，同向，则,___；如果非零向量，反向，则, ___. 0 0 9 （2）向量的模长公式：_______ _____. （3）向量的数量积定义：|,叫做向量，的数量积，记作 ，即 ______________. （4）（， 为非零向量）. 10 8.空间向量的坐标运算 （1）若为原点，，为空间任意两点，则 __________， _______________________. （2）各种运算的坐标表示：设，，则 _______________________； ② _______________________； ③ ______________； ④ __________________. 11 （3）平行、垂直、模长、夹角的坐标表示： ① _ _________________________________________； ② _____________________； ③ ______________； ④, _ __________________. （4）空间两点的距离公式：设，为空间任意两点，则 __________________________________. （不与坐标轴平行）或 12 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在向量的数量积运算中，(a·b)c=a(b·c).(　　) (2)对于非零向量b，若a·b=b·c，则a=c.(　　) (3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(　　) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有+++=0.(　　) (5)若a·b<0，则<a，b>是钝角.(　　) [解析] <a，b>=π时不是钝角. × × × √ × 13 2.[选择性必修1p21T2]已知a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且a⊥b，则x=　　　　.  [解析] 因为a⊥b，所以a·b=-8-2+3x=0，解得x=. 14 3.设x，y∈R，a=，b=，c=，且a⊥c，b∥c，则=　　　　.  3 [解析] 由a⊥c⇒a·c=0⇒x-4+2=0⇒x=2，由b∥c⇒==⇒y=-2，z=1. 所以|2a+b|=|2(1，1，1)+(1，-2，1)|=|(3，0，3)|=3. 15 4.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若=++λ，则A，B，C，M四点共面的充要条件是(　　) A.λ= B.λ= C.λ=- D.λ=- B [解析] O是平面ABC外任意一点，且=++λ， A，B，C，M四点共面的充要条件是++λ=1，即λ=.故选B. 16 5.[选择性必修1p12例1]如图，M是四面体OABC的棱BC的中点， 点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON，AP=AN， 则=　　　　　　　　　　(用向量表示).  -++ [解析] 　因为=+=+ =+(-)=+- =+ =++. 所以=-=-++. 17 考点1 空间向量的线性运算 例1　(1)在空间四边形ABCD中，=(-3，5，2)，=(-7，-1，-4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A.(2，3，3) B.(-2，-3，-3) C.(5，-2，1) D.(-5，2，-1) B [解析] 因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， 所以=-=(+)，=(+). 所以=(+)-(+)=(+)=×[(3，-5，-2)+(-7，-1，-4)] =×(-4，-6，-6)=(-2，-3，-3). 18 (2)在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=，b=，c=，则=(　　) A.a+b+c B.-a-b-c C.-a-b-c D.a+b+c D [解析] 取BC中点为M，a==-=-， b==-=-，c==-=-， 三个式子相加可得a+b+c=-(++)⇒++=-2(a+b+c)， 又=-=--=--×(+)=--(-+-) =---=-(++)=(a+b+c)，故选D. 19 [小结]空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,可从以下角度入手: (1)要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来; (2)把被表示向量用其他向量线性表示,进而寻找这些向量与基向量的关系; (3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘. 20 1.化简:(a+2b-3c)+5-3(a-2b+c)=　　　　　.  a+b-c 对应训练 21 2.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设=a，=b，=c，则=(　　) A.a+b-c B.a-b-c C.-a-b+c D.-a+b-c A 22 [解析] 由已知得，==c，==b，==a， =+=+ =+(+)=c-b-a =-a-b+c. 故=a+b-c，故选A. 23 考点2 共线、共面向量定理及应用 例2　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且|D1E|=|EB|，点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，则|D1F|=　　　　|FC1|.  [解析] 因为正方体中，=+=+， 设|D1F|=λ|FC1|，又|D1E|=|EB|， 所以4=+，即=+， 因为A，E，F三点共线，所以+=1，解得λ=，即|D1F|=|FC1|. 24 (2)已知空间向量a=(2，1，3)，b=(-1，2，-2)，c=(7，6，λ)，若向量a，b，c共面，则实数λ的值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 B [解析] 因为向量a，b，c共面，所以存在实数m，n使得c=ma+nb. 则可得(7，6，λ)=m(2，1，3)+n(-1，2，-2). 由(7，6，λ)=m(2，1，3)+n(-1，2，-2)=(2m-n，m+2n，3m-2n)， 可列出方程组 25 由2m-n=7可得n=2m-7，将其代入m+2n=6中，得到m+2(2m-7)=6，解得m=4. 将m=4代入n=2m-7，可得n=1. 将m=4，n=1代入3m-2n=λ， 可得λ=3×4-2×1=10.故选B. 26 (3)如图，在正四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PA，PC的中点，=2. 证明:B，E，G，F四点共面. 27 [解析] 证明:设{}为空间的一组基底， 因为E，F分别为PA，PC的中点， 所以=+=+. 又=2， 所以=+=+=+(-) =+=++ =+=+. 故B，E，G，F四点共面. 28 [小结]1.对空间任一点O，=x+y，若x+y=1，则点P，A，B共线. 2.证明空间四点P,M,A,B共面的方法 (1)=x+y. (2)对空间任一点O,=+x+y. (3)对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1). (4)∥(或∥或∥). 29 3.已知a=(2，-1，2)，b=(-1，3，-3)，c=(13，6，λ)，若向量a，b，c共面，则λ=　　　.  3 [解析] ∵向量a，b，c共面，∴存在实数m，n，使得c=ma+nb， ∴解得 对应训练 30 4.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若=2+μ，则μ=　　　　;存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么λ+m+n的值为　　　　.  -1 0 [解析] 由A，B，C三点共线， =2+μ，∴2+μ=1，∴μ=-1， 又由λ+m+n=0， 得=--，由A，B，C三点共线知: --=1，则λ+m+n=0. 31 5.在正四棱锥P-ABCD中，==2，设平面AEF与直线PC交于点G，=λ，则λ=　　　.  [解析] =+=++=+-+-=+-， 因为==2，所以=+-=+-， 又=λ，故=，即=+-， 故=+-， 因为平面AEF与直线PC交于点G， 所以A，E，F，G四点共面，所以+-=1，解得λ=. 32 考点3 空间向量的数量积及应用 例3　(1)已知直线l的方向向量为u=(1，-2，2)，则向量a=(-1，1，2)在直线l上的投影向量坐标为(　　) A. B. C. D. D [解析] 由直线l的方向向量为u=(1，-2，2)，a=(-1，1，2)， 可得u·a=1，|u|==3，则向量a=(-1，1，2)在直线l上的投影向量的坐标为·=×(1，-2，2)=.故选D. 33 (2)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.则AC'的长为(　　) A. B. C.12 D.2 A [解析] 记a=，b=，c=，则a·b=4×3×cos 90°=0， 同理b·c=，a·c=10，由空间向量加法法则得=a+b+c， ∴||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=42+32+52+2×+2×10=85， ∴||=，即AC'=.故选A. 34 (3)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1=3，BD=4，·-·=5，则cos <>=(　　) A. B.- C. D.- B [解析] 如图:∵·-· =(+)·-(+)· =(+)·-(+)· =·+·-·-·=·-· =·(-)=·=5， ∴·=-5，∴cos <>===-.故选B. 35 [小结]数量积的应用 (1)求夹角,设向量a,b所成的角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角. (2)求长度(距离),运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题,利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 36 6.若a，b，c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|a-2b+c|=　　　.  3 [解析] 由|a-2b+c|= = ==3. 对应训练 37 7.已知棱长为2的正四面体A-BCD中，E是AB的中点，F是CD上一点，则·=(　　) A. B.1 C.2 D.4 B [解析] 依题意，有||=||=||=2，<>=<>=60°，设=λ， 则·=·[(1-λ)+λ]=·+· =||||cos <>+||||·cos <> =×2×2×+×2×2×=1.故选B. 38 8.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°. 则线段AC1的长为　　　　　;异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为　　　　.  39 [解析] 设=a，=b，=c，则|a|=|b|=1，|c|=2，a·b=0， c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1. 因为=++=a+b+c， 所以||=|a+b+c|= = ==， 所以线段AC1的长为. 40 因为=a+b+c，=b-c， 所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+1-4=-2， ||=|b-c|====， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ=|cos<>|===， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 41 $