7.6　利用空间向量研究线、面位置关系——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“利用空间向量研究线、面位置关系”专题，依据高考评价体系梳理了方向向量与法向量求解、线面平行垂直证明、探索性问题三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“法向量应用”占50%“平行垂直证明”占30%的高频考查权重，归纳出选择填空及解答题三类常考题型。 课件亮点在于“知识清单+真题训练+方法建模”的备考策略，如以直三棱柱中平面法向量求解为例，提炼“两向量垂直建方程”步骤，培养学生的数学思维与运算能力。特设“学霸笔记”总结平行垂直证明通法，结合深圳、武汉等模拟题强化训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第六节　利用空间向量研究线、面位置关系 1 知识清单 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量． 剖析　若A，B是直线l上的两点，则是直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量． 返回导航 2 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔________ 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔________ l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔________ u1·u2＝0 u·n＝0 n1·n2＝0 返回导航 3 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的，平面的单位法向量也是唯一确定的．(　　) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　　) (3)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　　) (4)若两个不重合的平面的法向量平行，则两平面平行；若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．(　　) × √ × √ 返回导航 4 2．(人教A版选修一P29练习T3改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.以D为原点，以}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，则平面ACD1的一个法向量为(　　) A．(3，4，6) B．(4，3，6) C．(3，6，4) D．(6，3，4) 答案：B 返回导航 5 解析：依题意，A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)， 所以＝＝(－3，0，2)，设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则．所以取x＝4，则y＝3，z＝6，所以n＝(4，3，6)，所以平面ACD1的一个法向量为(4，3，6)． 返回导航 6 3．(人教A版选修一P31练习T1改编)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量． (1)若l∥α，则a，b的关系式为________； (2)若l⊥α，则a＝________，b＝________． 答案：(1)5a－b＋3＝0　(2)　－ 返回导航 7 解析：(1)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量， n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l∥α，则u⊥n， ∴3＋2(a＋b)＋3(a－b)＝0，可得5a－b＋3＝0. (2)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l⊥α，则u∥n，∴＝＝， 即解得a＝，b＝－. 返回导航 8 命题点一　平面的法向量、直线的方向向量及其应用 例1 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点C，D，P，M的坐标； (2)求直线AM，PB的方向向量与平面PCD的法向量． 返回导航 9 答案：(1)由底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点，由题图知，A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，0，2)，M(1，0，1)． (2)由(1)知，直线AM，PB的方向向量分别为＝(1，0，1)， ＝(0，2，－2)，因为＝(2，2，－2)，＝(0，2，0)， 设m＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量， 则故可取m＝(1，0，1)． 返回导航 10 学霸笔记：平面的法向量的确定：设是平面α内两个不共线向量，为平面α的一个法向量，则可用方程组求出平面α的一个法向量. 返回导航 11 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P41习题T2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面A1BC的法向量． 返回导航 12 答案：(1)B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)， ＝(0，0，2)，＝(－1，1，0)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝1，则y＝1，z＝0，∴n＝(1，1，0)为平面BCC1B1的一个法向量． 返回导航 13 (2)A1(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，∴A1B＝(1，0，－2)，A1C＝(0，1，－2)．设平面A1BC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， ∴取x1＝2，则z1＝1，y1＝2， ∴m＝(2，2，1)为平面A1BC的一个法向量． 返回导航 14 命题点二　利用向量证明平行问题 例2 如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 返回导航 15 证明：(1)以D为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)， M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)． 由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0，1，－1)， 则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D. 返回导航 16 (2)由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则 所以＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 又M∉平面CC1D1D，则平面MNP与平面CC1D1D不重合， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 返回导航 17 学霸笔记：向量法证明平行的方法 (1)线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别是，则要证明l1∥l2，只需证明∥，即＝k(k∈R)； (2)线面平行 设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证明l∥α，只需证明⊥，即·＝0，注意说明直线l⊄平面α； (3)面面平行 分别求出平面α，β的法向量，则要证明α∥β，只需证明∥. 返回导航 18 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P42习题T4)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD. 返回导航 19 证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)． 设点C的坐标为(x0，y0，0)． 因为＝3，所以＝ ＝(x0，y0－，－2)， 所以＝(x0，y0－，－)，所以Q(x0，y0，)． 返回导航 20 因为M为AD的中点，故M(0，，1)． 又P为BM的中点，故P(0，0，)， 所以＝(x0，y0，0)． 又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0. 又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 返回导航 21 命题点三　利用向量证明垂直问题 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 返回导航 22 证明：(1)取BC的中点O，连接PO，因为BC＝PB＝PC＝2，所以PO⊥BC，因为侧面PBC⊥底面ABCD，且侧面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥底面ABCD，又因为四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，取AD的中点M，连接OM，则OM，OB，OP两两垂直，所以以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O(0，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A(2，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)，所以＝(2，1，－)，＝(1，－2，0)，·＝2×1＋1×(－2)＋(－)×0＝0，所以PA⊥BD. 返回导航 23 (2)＝(2，1，－)，＝(－1，－2，0)，＝(－2，0，0)，＝(0，1，－)，设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝2，则y1＝－1，z1＝， 则可以求得平面PAD的一个法向量n1＝(2，－1，)． 返回导航 24 设平面PAB的法向量为＝(x2，y2，z2)， 则令y2＝，则x2＝0，z2＝1， 则可以求得平面PAB的一个法向量＝(0，，1)． 又因为＝2×0－1××1＝0， 所以，所以平面PAD⊥平面PAB. 返回导航 25 学霸笔记：向量法证明垂直的方法 (1)线线垂直 证明两条直线的方向向量相互垂直，只需证明·＝0即可； (2)线面垂直 分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积，由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证； (3)面面垂直 证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面． 返回导航 26 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P43习题T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1. 返回导航 27 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D­xyz， 可得A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，2，1)，B1E＝(－1，－1，－1)， ＝＝(－1，0，1)， 由B1E·＝1－1＋0＝0，可得B1E⊥， 由＝1＋0－1＝0，可得， 即有B1E垂直于平面AED1内两条相交直线AE，AD1，则B1E⊥平面AED1. 返回导航 28 命题点四　平行与垂直关系中的探索性问题 例4 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是A1B1的中点． (1)求证：A1B⊥C1N； (2)F为线段AB上的动点，则是否存在F使得AB⊥平面CC1F？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 返回导航 29 答案：(1)证明：以C为坐标原点， CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， ∵CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)， B1(0，1，2)，C1(0，0，2)， ∵N是A1B1的中点，则N(，2)，C1N＝(，0)， A1B＝(－1，1，－2)， ∵A1B·C1N＝－1×＋1×＋(－2)×0＝0， ∴A1B⊥C1N，即A1B⊥C1N. 返回导航 30 (2)假设存在F使得AB⊥平面CC1F，由(1)得＝(－1，1，0)，C1C＝(0，0，－2)，∴＝λ＝λ(－1，1，0)＝(－λ，λ，0)，其中0≤λ≤1，则F(1－λ，λ，0)，＝(1－λ，λ，0)， ∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴CC1⊥AB，CC1＝C，CC1，CF⊂平面C1CF， 若AB⊥平面C1CF，则只需·＝－(1－λ)＋λ＝0，解得λ＝， ∴＝1，故存在点F，使得AB⊥平面C1CF，此时＝1. 返回导航 31 学霸笔记：与空间平行、垂直关系有关的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的平行、垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组)．若方程(组)有解，则点存在；否则，点不存在． 返回导航 32 跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P30例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1? 返回导航 33 答案：存在，当P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1，证明如下． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)， (0，4，0)，(0，0，2)， 所以＝＝(－3，0，2)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量， 则n·＝＝0， 即取z＝6，则x＝4，y＝3， 所以n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量． 返回导航 34 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)， 得＝(0，4，0)，B1C＝(－3，0，－2)． 设点P满足B1P＝λB1C(0≤λ≤1)，则B1P＝(－3λ，0，－2λ)， 所以A1P＝＋B1P＝(－3λ，4，－2λ)． 令n·A1P＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，所以这样的点P存在， 当B1P＝B1C，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 返回导航 35 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．(2026·深圳模拟)已知直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．l∥α或l⊂α 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：∵直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，∴a·u＝(－3，2，1)·(1，2，－1)＝(－3)×1＋2×2＋1×(－1)＝0，∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 2．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－2，3)，若直线l∥平面α，则直线l的一个方向向量u可以是(　　) A．(－2，4，－6) B．(0，0，1) C．(0，3，2) D．(1，1，1) 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：因为已知平面α的一个法向量为n＝(1，－2，3)，且直线l∥平面α，则满足u·n＝0，对于A，若u＝(－2，4，－6)，则u·n＝－28≠0，所以A不符合题意；对于B，若u＝(0，0，1)，则u·n＝3≠0，所以B不符合题意；对于C，若u＝(0，3，2)，则u·n＝－6＋6＝0，所以C符合题意；对于D，若u＝(1，1，1)，则u·n＝2≠0，所以D不符合题意．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 3．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，7)，b＝(2，3，－4)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 答案：C 解析：平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，7)，b＝(2，3，－4)，不存在λ使a＝λb，则a，b不平行，则平面α，β不平行，又a·b＝－2＋6－28＝－24≠0，则平面α，β不垂直，故平面α与β相交但不垂直．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 4．(2026·孝感模拟)已知平面α经过点A(0，0，－1)，m＝(1，2，－2)为平面α的一个法向量，点P(x，y，z)是平面α内异于点A的任意一点，则(　　) A．x＋2y－2z＝－2 B．x＋2y－2z＝2 C．x－2y－2z＝2 D．x－2y－2z＝4 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：因为m＝(1，2，－2)是平面α的一个法向量，所以⊥m，故·m＝(x，y，z＋1)·(1，2，－2)＝x＋2y－2z－2＝0，即x＋2y－2z＝2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 5．(2026·新余模拟)在空间直角坐标系中，O为坐标原点，P为其内一点，A(1，1，2)，B(－2，1，0)，平面PAB⊥平面OAB，则平面PAB的一个法向量可以为(　　) A．(－5，24，21) B．(－6，10，9) C．(－7，11，13) D．(－8，13，12) 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：设Q为空间内一点，且＝(λ－2μ，λ＋μ，2λ)，由于平面PAB⊥平面OAB，所以平面PAB的法向量垂直AB且平行平面OAB(或在平面OAB内部)，故不妨取为其法向量，则OQ⊥AB，＝(－3，0，－2)，所以＝0⇒6μ＝7λ，取λ＝6，μ＝7代入得到＝(－8，13，12)，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝AA1＝，E是侧棱CC1的中点，则下列直线中与BE垂直的是(　　) A．AC B．A1C C．AB1 D．A1B 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 由题意可得A(0，2，0)，C(2，0，0)，A1， B1，E，所以＝ ＝(2，－2，0)，＝ ＝＝，所以＝2×2＋0×(－2)＋＝2×2＋0×(－2)＋＝0，＝2×0＋0×(－2)＋＝2×0＋0×(－2)＋＝－4，所以BE⊥A1C.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：由题意可知A，D，B，E(0，0，1)，设M(λ，λ，1)，则＝＝，＝.设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z)，则令z＝，则x＝y＝1，可得n＝，因为AM∥平面BDE，则⊥n，即＝0，解得λ＝，即点M的坐标为.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 8．(2026·武汉模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°.设＝c，则平面AB1D1的一个法向量为(　　) A．a－b－c B．a＋b－c C．a＋b－ D．a＋b－ 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 设＝c，所以a·b＝b·c＝a·c＝＝b＋c，对于A，(a－b－c)·(a＋c)＝a2＋a·c－a·b－b·c－a·c－c2＝－1≠0，故A错误；对于B，(a＋b－c)·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－a·c－c2＝1≠0，故B错误；对于C，·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－c2＝2≠0，故C错误；对于D，·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－c2＝0，·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b2＋b·c－与都垂直，则a＋b－是平面AB1D1的一个法向量，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面BCC1B1的法向量的有(　　) A．(4，－4，0) B．(－3，3，0) C．(－2，－2，0) D．(1，1，0) 答案：CD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：因为B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)， 所以1＝(0，0，2)，＝(－1，1，0)，设平面BCC1B1的一个法向量n＝(x，y，z)，则有即可得即故n＝(x，x，0)＝x(1，1，0)，写出符合以上条件的向量即可，如＝(－2，－2，0)． 故选CD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 10．(2026·武汉模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱B1C1，CD的中点，则(　　) A．AE⊥BD B．A1E⊥平面BB1F C．EF∥平面AB1C D．BE∥DC1 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.对于A，因为A(2，0，0)，E(1，2，2)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，所以＝(－1，2，2)，＝(2，2，0)，因为＝－2＋4＋0＝2≠0，所以AE⊥BD不成立，A错误； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 对于B，因为A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，E(1，2，2)，F(0，1，0)，所以＝(－1，2，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，－1，0)，因为＝2－2＝0，所以A1E⊥BB1，A1E⊥BF，而BB1∩BF＝B，BB1，BF⊂平面BB1F，所以A1E⊥平面BB1F，B正确；对于C，设平面AB1C的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为C(0，2，0)，所以＝(－2，2，0)，＝(0，2，2)，于是有⇒⇒m＝(1，1，－1)，＝(－1，－1，－2)，因为·m＝－1－1＋2＝0，EF⊄平面AB1C，所以EF∥平面AB1C，C正确；对于D，因为C1(0，2，2)，所以＝(0，2，2)，而＝(－1，0，2)，显然不存在实数λ，使得成立，所以BE∥DC1不成立，D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 三、填空题(每小题5分，共10分) 11．在空间直角坐标系中，已知平面α的法向量为a＝(4，2，－2k)，平面β的法向量为b＝(k－3，－1，1)，若α∥β，则实数k的值为____． 答案：1 解析：∵α∥β，∴a∥b，∴存在实数λ使得 a＝λb. ∴ 解得 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足(λ∈R)，当A1P∥平面D1CE时，λ的值为 ________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：根据已知条件，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， A1(3，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，，B1(3，4，2)，＝(－3，0，－2)，＝(0，4，0)，＝λ(－3，0，－2)＝(－3λ，0，－2λ)，＝(0，4，0)＋(－3λ，0，－2λ)＝(－3λ，4，－2λ)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 设平面D1CE的一个法向量n＝(x，y，z)， ＝＝(0，4，－2)，则 令y＝3，有x＝8，z＝6，所以n＝(8，3，6)， A1P∥平面D1CE，则·n＝0，即－24λ＋12－12λ＝－36λ＋12＝0， 解得λ＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 四、解答题(共28分) 13． (13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，求证：E为CC1的中点． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 证明：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)，＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，∵＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴⊥，即A1E⊥BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 (2)设平面A1BD和平面EBD的一个法向量分别为n1＝＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)， ∴即令x1＝1，则y＝z＝－1，则＝(1，－1，－1)，即令x2＝1，则y2＝－1，z2＝，则n2＝.由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 14． (15分)(2026·江门模拟)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝4，M，E，N分别为OA，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1)证明：直线MN∥平面OCD； (2)线段OB上是否存在点F使EF∥平面MND成立？如果存在，求出OF的长；如果不存在，说明理由． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 答案：(1)证明：在四棱锥O-ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，得直线AB，AD，AO两两垂直，以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，4)，E(1，0，0)，N(2，1，0)，M(0，0，2)，＝(2，1，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，2，－4)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 设n＝(x，y，z)为平面OCD的一个法向量， 则即 得n＝(0，2，1)，·n＝0， MN⊄平面OCD，所以直线MN∥平面OCD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 (2)由(1)知，＝(2，－1，0)，＝(0，－2，2)， ＝(2，0，－4)． 设平面MND的一个法向量n＝(x，y，z)， 则令x＝1，得n＝(1，2，2)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 68 假设线段OB上存在点F，使EF∥平面MND，设＝(2t，0，－4t)，0≤t≤1，则F(2t，0，4－4t)，＝(2t－1，0，4－4t)，由EF∥平面MND，得·n＝0， 因此2t－1＋2(4－4t)＝0，解得t＝，而>1， 所以线段OB上不存在点F使EF∥平面MND成立． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 69 优生选做题 15．(5分)若在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝4，则四面体ABB1C1与四面体A1C1BD公共部分的体积为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 70 解析：设AB1∩A1B＝E，AC1∩平面A1BD＝G，连接BG，GE，DG，可知四面体ABB1C1与四面体A1C1BD公共部分为四面体GEBC1，以D为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 71 则A(1，0，0)，B(1，3，0)，D(0，0，0)，E，A1(1，0，4)，＝(1，0，4)，＝(1，3，0)，＝＝(－1，3，4)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝12，则y＝－4，z＝－3，可得n＝(12，－4，－3)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 72 设＝(－λ，3λ，4λ)，0<λ<1，则＝(1－λ，3λ，4λ)，因为⊥n，则12(1－λ)－12λ－12λ＝0，解得λ＝，可得＝，即.在△A1BD中，结合E为A1B的中点，可知G为△A1BD的重心，则S△BEG＝，所以四面体 的体积＝＝＝×3×1×4＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 73 16. (5分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 74 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 75 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)．设P(0，m，0)，Q(n，0，t)，m，n，t∈[0，1]，所以＝(n－1，－1，t－1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，m，0)，因为B1Q⊥平面AD1P，所以＝1－n＋t－1＝t－n＝0，故t＝n，＝1－n－m＝0，故m＝1－n，其中＝(n，－m，t)，故(1－n)2＝3n2－2n＋1＝32＋，故当n＝时，，此时m＝1－n＝满足要求，所以线段PQ的最小值为 . 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 76 $