第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“用空间向量研究线、面位置关系及距离”专题，依据课标要求梳理方向向量、法向量的概念及空间位置关系的向量表示，结合近5年高考真题分析，明确线面平行垂直证明（占比45%）和点到平面距离计算（占比30%）为高频考点，归纳出证明类、计算类典型题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“知识夯实+真题突破+素养提升”的备考路径，如以四棱锥线面垂直证明为例，通过建系求向量培养数学思维（推理能力）和数学眼光（空间观念），总结距离计算“建系-求向量-设法向量-代公式”四步法，设“诊断自测易错点”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升高考冲刺效率。

第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 课标要求 1. 理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系. 2. 能用向量方法解决空间中点到直线以及点到平面的距离问题. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α 的法向量. 高中总复习·数学 目 录 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向 向量分别为u1， u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔ ＝0 直线l的方向向量 为u，平面α的法 向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn 平面α，β的法向 量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 u1·u2　 高中总复习·数学 目 录 3. 空间距离 （1）两点的距离：设点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB＝｜ ｜＝ ； （2）点到直线的距离： 设 ＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量 在 直线l上的投影向量 ＝ .在Rt△APQ中， 由勾股定理，得PQ＝ ＝ ； （a·u）u　 高中总复习·数学 目 录 （3）点到平面的距离： 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平 面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度.因此PQ＝ ＝ ⁠； 　 （4）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线的方向向量是唯一确定的. （　×　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行. （　×　） （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （　√　） （4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量 的长度. （　×　） × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·重庆调研）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别 是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　） A. x＝6，y＝15 C. x＝3，y＝15 √ 解析： 由题意得， ＝ ＝ ，∴x＝6，y＝ . 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·江苏南京、盐城质检）已知平面α内有两点M（1，－1，2）， N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝ （　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 √ 解析： 　因为M（1，－1，2），N（a，3，3），所以 ＝（a－1， 4，1），因为平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），所以n⊥ ， 则n· ＝6（a－1）－3×4＋6＝0，解得a＝2. 高中总复习·数学 目 录 4. 平面α的法向量为n＝（1，－1，2）， ＝（2，0，－1），那么直线 AB与平面α的位置关系是 ⁠. 解析：因为 ·n＝0，所以 ⊥n，则AB∥α或AB⊂α. 5. 已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向 量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为 ⁠. 解析： ＝（－2，0，－1），｜ ｜＝ ， ＝ ，则点P到 直线l的距离d＝ ＝ ＝ . AB∥α或AB⊂α 　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 向量法证明平行、垂直（师生共研过关） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明： 高中总复习·数学 目 录 （1）BE⊥DC； 证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如 图）， 可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2）. 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）. （1） ＝（0，1，1）， ＝（2，0，0）， 故 · ＝0，所以BE⊥DC. 高中总复习·数学 目 录 （2）BE∥平面PAD； 证明：因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 所以 ＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而 · ＝（0，1， 1）·（1，0，0）＝0， 所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD. 高中总复习·数学 目 录 （3）平面PCD⊥平面PAD. 证明：由（2）知平面PAD的法向量为 ＝（1，0，0）， ＝（0，2， －2）， ＝（2，0，0）， 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量， 则n· ＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0， 所以n⊥ ， 所以平面PCD⊥平面PAD. 高中总复习·数学 目 录 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 高中总复习·数学 目 录 训练1 如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝ AC，BC＝ AB，B1C1∥BC且B1C1＝ BC，二面角A1-AB-C是直二面 角.求证： 高中总复习·数学 目 录 （1）A1B1⊥平面AA1C； 证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正 方形，可得AA1⊥平面ABC. 又∵AB＝AC，BC＝ AB，∴AB2＋AC2＝BC2， ∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB， ∴AB，AC，AA1两两互相垂直. 以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0， 2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）. 高中总复习·数学 目 录 （1） ＝（0，2，0）， ＝（0，0，－2）， ＝（2，0，0）， 设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则 即 即 取y＝1，则n＝（0，1，0）， ∴ ＝2n，即 ∥n，∴A1B1⊥平面AA1C. 高中总复习·数学 目 录 （2）AB1∥平面A1C1C. 证明：易知 ＝（0，2，2）， ＝（1，1，0）， ＝（2，0，－ 2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1）， 则 即 取x1＝1， 则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1）， ∴ ·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴ ⊥m.又AB1⊄平面 A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C. 高中总复习·数学 目 录 空间距离（定向精析突破） 考向1　点到直线的距离 〔一题多解〕如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD， AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱 AD上，DE＝2EA. 当AO＝1时，则点E到直线BC的距离为 ⁠. 　 高中总复习·数学 目 录 解析：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD， 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝ BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF， 因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，－1，0），C（ ， ，0），E（0， ， ），则 ＝（ ， ，0）， ＝（0， ， ）， 高中总复习·数学 目 录 法一　所以点E到直线BC的距离d＝ ＝ ＝ . 法二　所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，则 sin ＜ ， ＞＝ ，所以点E到直线BC的距离为｜ ｜ sin ＜ ， ＞ ＝ × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 点线距的求解步骤 　　直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量 及其在直线 的方向向量a上的投影向量→代入公式. 高中总复习·数学 目 录 考向2　点到平面的距离 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F 分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； 解： 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E （1， ，0），F（ ，1，0）. ∴ ＝（1， ，－1）， ＝（－ ， ，0）， ＝（0，0，1）. 设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z）， 高中总复习·数学 目 录 令x＝1，则n＝（1，1， ）， ∴点D到平面PEF的距离d＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）求直线AC到平面PEF的距离. 解：∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF， ∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离. ∵ ＝（0， ，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1， ）， ∴点A到平面PEF的距离d1＝ ＝ ＝ ， ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 高中总复习·数学 目 录 利用向量法求点B到平面α的距离的步骤 高中总复习·数学 目 录 训练2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. （1）求点N到直线AB的距离； （1） ＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝4， · ＝8. 设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝ ＝ ＝4. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0）， B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1 （0，0，4）， ∵N是CC1的中点， ∴N（0，4，2）. 高中总复习·数学 目 录 （2）求点C1到平面ABN的距离. 解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由 n⊥ ，n⊥ ，得 令z＝2， 则y＝－1，x＝ ，即n＝（ ，－1，2）. 易知 ＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为 d2，则d2＝｜ ｜＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向 量是（　　） A. （2，2，6） B. （1，2，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　∵M，N在直线l上，且 ＝（1，1，3），故向量（2，2， 6）是直线l的一个方向向量. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的 一个法向量是（　　） A. （1，1，1） B. （2，2，3） C. （2，3，3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题可知 ＝（－3，2，0）， ＝（0，－2，2）.设n＝ （x，y，z）是平面ABC的法向量，则 即 得 取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n＝ （2，3，3）是平面ABC的一个法向量.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知经过点M（2，－1，1）的平面α的一个法向量为n＝（－1，－2， 3），则点N（0，－2，2）到平面α的距离为（　　） √ 解析： 　∵M（2，－1，1），N（0，－2，2），∴ ＝（－2，－ 1，1），又n＝（－1，－2，3），∴点N（0，－2，2）到平面α的距离为 d＝ ＝ ＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则 △ABC的面积为（　　） B. 2 D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则 ＝（2，－1，0）， ＝（2，0，－4），则｜ ｜＝ ＝ 2 ，且点A到直线BC的距离为d＝ ＝ ＝ ，所以△ABC的面积是S△ABC＝ ｜ ｜×d＝ ×2 × ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线 段BB1上一点，且A1C⊥EF，则 ＝（　　） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC， EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，则E（0，0，0），C（ ，0，0），A1（0， － ，2）， ＝（ ， ，－2）.设F（0， ，λ） （0≤λ≤2），则 ＝（0， ，λ）.由A1C⊥EF，得 · ＝ －2λ＝0，解得λ＝ ，故 ＝ ＝15.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别 在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，则下列选项正确的为 （　　） A. EF∥BD1 B. EF⊥A1D √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　如图，以D为坐标原点，分别以DA， DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1 （3，0，3），A（3，0，0），D（0，0，0），B （3，3，0），D1（0，0，3），∴ ＝（1，1，－ 1）， ＝（－3，－3，3）， ＝－ ，故EF∥BD1，故A正确；由 ＝（－3，0，－3）， · ＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜ ｜＝ ＝ ，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由 得 令z＝1，得n＝（1，0，1）.易知 ＝（－1，1，0）， 则点F到平面ABD1的距离d＝ ＝ ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝ （2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝ ⁠. 解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝ （1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的 距离是 ⁠. 　 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0， 0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1， 0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法 向量为m＝（x1，y1，z1）， ＝（1，0，1）， ＝ （1，1，0），由 取x1＝1，可得m＝（1，－1， －1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ＝（1，0，1），由 取x2＝1， 可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平 面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，又 ＝ （0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°， BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D， F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. 证明：（1）B1D⊥平面ABD； 证明： 以B为坐标原点， BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系，如图所示， 则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝ a，则A（a，0，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 所以 ＝（a，0，0）， ＝（0，2，2）， ＝（0， 2，－2）， · ＝0， · ＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA， B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面 ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）平面EGF∥平面ABD. 证明：由（1）知，E（0，0，3），G（ ，1，4），F（0，1，4）， 则 ＝（ ，1，1）， ＝（0，1，1）， · ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0， 即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此 B1D⊥平面EGF. 结合（1）可知平面EGF∥平面ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB， CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ， AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A. （1，1，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0， 0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ， 1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的法 向量为n＝（a，b，c），则 即 解得 取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以n· ＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M点的坐标为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也 具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S-ABCD，其 所有棱长都为6，AC，BD交于点O，点E在线段SC上，且CE＝ SC， 则△SAD的重心G到直线OE的距离为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为所有棱长都 为6，所以OA＝3 ，SO＝ ＝3 ， 所以O（0，0，0），A（3 ，0，0），D（0，－3 ，0），S（0，0，3 ），C（－3 ，0，0），因为G为△SAD的重心，所以G（ ，－ ， ）.设E（x，y，z），则 ＝（x＋3 ，y，z），因为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ＝ ， ＝（3 ，0，3 ），所以 ⇒ 即E（－2 ，0， ）.因为 ＝ （－2 ，0， ）， ＝（ ，－ ， ），则G到直线OE的距 离d＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分 别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列结论正确的 是（　　） A. MN⊥A1M B. MN⊥平面D1MC D. 三棱锥C1-A1D1M体积为定值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原 点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立 空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0， 3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y， 0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），故 ＝（3，y，－3）， ＝（0，3－y，z），又D1M⊥MN，则 · ＝y（3－y）－3z＝0，即z＝ y（3－y）.对于A选项， ＝（0，y，－3），则 · ＝y（3－y）－3z＝0，故 ⊥ ，即MN⊥A1M，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 对于B选项， ＝（3，y－3，0）， · ＝（y－3） （3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，从而 MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项， ＝ （0，0，z），则线段BN的长度｜ ｜＝z＝ ［－（y － ）2＋ ］≤ ，当且仅当y＝ 时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ＝ ＝ ·3· ＝ ，所以三棱锥C1-A1D1M体积为定值，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录   　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：如图，以O为原点，OB，OS所在直线为y，z轴， 圆锥底面垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，－1，0），S（0，0， ），M（0，0， ），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则 ＝（0，1， ）， ＝（x，y，－ ）.由于AM⊥MP，所以（0，1， ）·（x，y，－ ）＝0，即y＝ ，此为点P的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·海南海口模拟）如图，△ABC和 △DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA ＝∠CBD＝120°，点M，N分别在直线AB和CD上移动. （1）证明：AD⊥BC； 解： 证明：依题意，由平面ABC⊥平面BCD，得以 B点为坐标原点，以BC所在直线为y轴， 分别在平面BCD、平面ABC内过点B作垂直于BC的直线 为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∵AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ∴B（0，0，0），A（0，－1， ），C（0，2，0），D（ ，－1，0）， ＝（ ，0，－ ）， ＝（0，2，0）， 则 · ＝0，∴ ⊥ ，故AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离. 解： 设 ＝λ ， ＝μ ，则 ＝ ＋ ＝ ＋μ ， 则M（0，－λ， λ），N（ μ，2－3μ，0）， ∴｜ ｜2＝（ μ－0）2＋（2－3μ＋λ）2＋（0－ λ）2 ＝（2λ－ μ＋1）2＋ （μ－ ）2＋ ， 当 即 时，MN的长最小值为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 此时 ＝（ ， ， ）， ＝（ ，－3，0）， ∴ · ＝0，即 ⊥ ， 故MN⊥CD，又点N在直线CD上， 因此当MN的长最小时，点M到直线CD的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新定义〕定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异 面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面 直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线 的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得 连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，则 MN的长为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　如图，以A为坐标原点， ， ， 的 方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标 系.由题意得A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1， 0），C1（1，1，1），则 ＝（1，1，0）， ＝ （1，0，1）， ＝（0，1，0）.设异面直线AC与DC1的公垂线的方向 向量n＝（x，y，z），则 即 令x＝1，得y＝ －1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1），∴异面直线AC与DC1之间的距 离MN＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $