第37讲 直观图、简单几何体的表面积与体积——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何与空间向量中的直观图、简单几何体表面积与体积核心考点，依据课标要求梳理结构特征、斜二测画法、公式应用等考查维度，通过近五年高考真题分析明确表面积与体积计算占60%、结构特征辨析占25%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考策略，如以2025年全国二卷铁球半径题为例，运用补形法和转化法突破体积最值问题，培养学生的空间观念与逻辑推理素养。特设“易错警示”（如棱台结构特征误判）和“方法模板”（斜二测画法面积关系），助力学生高效得分，教师可据此系统开展专题复习，提升备考针对性。

第7章 立体几何与空间向量 第37讲 直观图、简单几何体的表面积与体积 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,掌握柱、锥等简单几何体的性质. 2.了解空间图形的直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系,能画出简单空间图形的直观图,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简单问题. 2 【知识要点】 1.简单几何体 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 ______________________ _______________________ _______________________ 底面 互相______且______ 多边形 互相______ 侧棱 ____________ 相交于______，但不一定相 等 延长线交于 ______ 侧面形状 ____________ ________ ______ 平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 3 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 _____________________ _______________________ ____________________ _____________________ 母线 互相平行且相等， ______于底面 相交于______ 延长线交于 ______ 轴截面 全等的______ 全等的________ __________ 全等的________ __ ____ 侧面展开图 ______ ______ ______ 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 4 2.特殊多面体的结构特征 （1）直棱柱：______垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是__________时，叫正棱柱 （如正三棱柱，正四棱柱）. （2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是__________的棱锥.特 别地，各条棱均相等的__________又叫正四面体. （3）平行六面体：指的是底面为____________的四棱柱. 侧棱 正多边形 底面中心 正三棱锥 平行四边形 5 3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： （1）画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的轴、轴，两轴相交于点 ，画直观图时，把它们画成对 应的轴、轴，两轴相交于点，且使 ，已知图形中平行于轴、 轴 的线段在直观图中平行于轴、轴；已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中长度 ______，平行于 轴的线段，长度变为____________. （2）画几何体的高 在已知图形中过点作轴垂直于平面，在直观图中对应的 轴，也垂直于平面 ，已知图形中平行于轴的线段，在直观图中仍平行于 轴且长度______. 不变 原来的一半 不变 6 4.柱、锥、台和球的侧面积和体积 侧面积 体积 圆柱 _____ 圆锥 ____ 圆台 直棱柱 正棱锥 _ ____ 7 侧面积 体积 正棱台 球 ______ _ _____ 表中表示面积，，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高， 表示母线长. 续表 8 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　) (2)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.(　　) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(　　) (5)长方体既有外接球又有内切球.(　　) × × × √ × 9 2.[必修2p109T1]以下利用斜二测画法得到的结论中，正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍相等 B.相等的线段在直观图中仍相等 C.平行四边形的直观图是平行四边形 D.菱形的直观图是菱形 C [解析] 根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故A，B，D错误;对于C，根据平行性不变原则，平行四边形的直观图仍然是平行四边形，C正确.故选C. 10 3.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为(　　) A.2π B.3π C.4π D.5π C [解析] 设圆锥的母线长为l，则l·=2π，解得l=3， 则该圆锥的表面积为π×1×3+π×12=4π.故选C. 11 4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.12π B.π C.8π D.4π A [解析] 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径， 所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π，故选A. 12 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥C-AA1D1的体积记为V1，正方体ABCD-A1B1C1D1的体积记为V2，则=　　　　.  [解析] 设正方体的棱长为1， ∵=··CD=××1=， V2=1，∴=. 13 考点1 空间几何体的结构特征 例1　(1)下列说法正确的是(　　) A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 D [解析] 由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误;由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误;底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确. 14 (2)(多选)下列结论正确的是( 　　) A.圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B.长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D.用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 ABC [解析] 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱， 可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确; 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确; 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确; 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故D错误; 故选ABC. 15 [小结]熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算. 16 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 B.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台 C.平行六面体各个面都是平行四边形 D.棱台的侧面是等腰梯形 AC [解析] 对于A，由圆锥母线的定义可知圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故A正确;对于B，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台，故B错误;对于C，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，故C正确;对于D，当棱锥不是正棱锥时，所得棱台的侧面不一定是等腰梯形，所以D错误;故选AC. 17 2.下列说法正确的是(　　) A.四棱柱的所有面均为平行四边形 B.球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三 角形，一个面是等边三角形的四面体 D 18 [解析] 对于A:四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错误; 对于B:作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故B错误; 对于C:如图在圆台OO1的上底面的圆周上取点A，在下底面的圆周上取点D，连接AD，则AD不是圆台的母线，所以在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误; 19 对于D:如图取正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B，D，A1， 由这四个点构成四面体AA1BD，设AB=a， 则AD=AA1=AB=a，A1D=A1B=BD=a， 所以在四面体AA1BD中，△AA1D，△AA1B，△ABD均是直角三角形， △DA1B为等边三角形，故D正确.故选D. 20 考点2 空间几何体的直观图 例2　用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C'B'⊥x'轴，C'D'∥y'轴，C'B'=，A'B'=5，则△A'B'C'的原图形的面积为　　　　.  10 [解析] 在△A'B'C'中，C'B'⊥x'轴，C'D'∥y'轴，则△B'C'D'为等腰直角三角形，C'D'=C'B'=2，又A'B'=5，于是△A'B'C'所对原图形为△ABC， 边AB=A'B'=5，AB边上的高CD=2C'D'=4， 所以△ABC的面积为S△ABC=AB·CD=10. 21 [小结]1.斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 22 2.有关斜二测画法的常用结论与方法 (1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S'与原平面图形的面积S之间的关系是S'=S. (2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置. 23 3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=2，B'C'=4，则原四边形ABCD的周长为　　　.  20 [解析] 由题设，易知O'B'=A'B'=2，则O'A'=2，故OA=2O'A'=4，OB=O'B'=2，所以AB==6，而AD=BC=B'C'=4，CD=AB=6， 所以原四边形ABCD的周长为20. 对应训练 24 考点3 空间几何体的表面积与体积 角度1.表面积 例3　(1)若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为(　　) A.4 B.8 C.12 D.24 D [解析] 如图，PO是正四棱锥的高，所以PO=，PE是斜高， 25 由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得4×BC×PE=2BC2，所以BC=PE， 在Rt△POE中，PO=，OE=BC=PE，所以6+=PE2， 所以PE=2，底面积S1=BC2=PE2=8，侧面积为S2=2S1=16， 表面积S=S1+S2=8+16=24.故选D. 26 (2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=2，AB=4，BC=5.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周，形成的旋转体的表面积为(　　) A.64π B.68π C.72π D.76π B 27   [解析] 由题意可知以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球，其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为=5，挖去半球的半径为2，故形成的旋转体的表面积为π×52+π×5+×4π×22=68π. 28 [小结]空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 29 角度2.体积——直接法、分割法、补形法、转化法 例4　(1)如图是一个直径为12 cm的球形容器和一个底面直径为6 cm、深8 cm的圆柱形水杯(壁厚均不计)，则球形容器装满时，约可以倒满　　　　杯的水.  4 [解析] 球的体积V1=π×63=288π(cm3)，圆柱的体积V2=π×32×8=72π(cm3)， 所以V1=4V2，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯. 30 (2)已知三棱锥P-QMN的四个顶点满足:PQ，MN分别是圆柱O1O的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为6，则圆柱O1O的体积为(　　) A.2π B.6π C.9π D.12π C [解析] 设圆柱O1O的底面圆半径为r，圆柱的高为h， 设点M到平面POQ的距离为d，因为O是MN的中点， 所以N到平面POQ的距离也为d， 故=+=×2d×S△POQ=××2r×h=drh≤r2h=6 ⇒r2h=9， 所以圆柱O1O的体积为πr2h=9π. 故选C. 31 (3)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，过点C，E，D1的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成体积为V1，V2(V1<V2)的两个几何体，则=　　　　.  [解析] 设AA1中点为F， 32 又E为线段AB的中点，所以EF∥BA1，又正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD1∥BA1， 所以EF∥CD1，所以E，F，D1，C四点共面，即过点C，E，D1的截面为四边形EFD1C， 不妨设正方体边长为1，易知多面体AEF-DCD1为三棱台， S△AEF=××==×1×1=， =××1=， ∵<，∴V1=，V2=1-=， ∴==. 33 [小结]空间几何体体积问题的求法 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)补形法: 把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.常见的补形有:①将正四面体补形成正方体;②将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;③将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;④将台体补成锥体等. 34 (3)分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,当不规则的几何体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱柱+四棱锥,从四棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”. (4)转化法: ①等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性. ②尽可能寻找在表面的三个点,通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积.转化的目的是找到易于计算的“好底”与“好高”. 35 4.(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下列结论正确的是(　　 ) A.轴截面为等腰梯形 B.母线长是20 C.高是10 D.表面积是1100π ABD [解析] 圆台的轴截面是等腰梯形，故A正确;设圆台母线长为l， 又圆台侧面展开图圆心角是180°，即π，所以l==20，故B正确; 高h==10，故C错误.表面积为S=π×102+π×202+π(10+20)×20=1100π，故D正确;故选ABD. 对应训练 36 5.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π B [解析] 在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=，取AB中点C， 连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图， ∠ABO=30°，OC=，AB=2BC=3，由△PAB的面积为， 得×3×PC=，解得PC=，于是PO===， 所以圆锥的体积V=π×OA2×PO=π×()2×=π.故选B. 37 6.(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.并已知AD=1，BE=2，CF=3.则该五面体的体积为(　　) A. B.+ C. D.- C 38 [解析] 用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，L;E，M;F，N重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD=1，BE=2，CF=3，所以形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4，==××1×1××4=. 39 考点4 折叠与展开问题 例5　(多选)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是(　　) A.AM∥BN B.△CEM是等边三角形 C.DB与AE是异面直线 D.AM与DF是异面直线 ABC 40 [解析] 如图，将正方体的平面展开图折起复原为如下正方体， 对于A，由于AB∥MN，AB=MN，即四边形ABNM为平行四边形， 故AM∥BN，A正确; 对于B，在正方体ABCD-FENM中，CE，EM，CM为面对角线， 故CE=EM=CM，故△CEM是等边三角形，B正确; 对于C，由于DB⊂平面ABCD，AE∩平面ABCD=A，A∉BD，故DB，AE为异面直线，C正确; 对于D，在正方体ABCD-FENM中，AM，DF⊂平面ADMF，且AM，DF相交，D错误. 41 [小结](1)常见的几种截面:①过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面,②平行于底面的截面,③旋转体中的轴截面,④球的截面. (2)求多面体或旋转体表面上的最短距离问题时,一般采用转化与化归思想求解,即将侧面展开为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 42 7.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6，AA1=4，点P为棱BB1上的动点(含端点)，则AP+PC的最小值是(　　) A.6 B.6 C.8 D.8 B [解析] 如图，把四边形A1ABB1，BB1C1C展开至同一个平面，连接AC，过点B1作B1E⊥AB，则BE=2，又BB1=AA1=4，则∠ABB1=60°， 对应训练 43 在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=120°，则AC=2×6×=6， 此时线段AC中点到点B的距离为ABcos 60°=3<4=BB1，即线段AC与BB1相交， 因此AP+PC的最小值就是展开图中AC的长，点P为AC与BB1的交点， 所以AP+PC的最小值为6. 44 8.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B，则绳长最短为　　　　　　.  50 cm [解析] 沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，如图所示. 45 易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似，得==， 由AB=20 cm，解得OA=20 cm. 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10=20π(cm). 又扇形OBB'的半径OB=OA+AB=20+20=40(cm)， 设扇形OBB'的圆心角为α，40α=20π，解得α=，则OB⊥OB'. 在Rt△B'OM中，B'M2==402+302， 所以B'M=50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm. 46 走进高考 1.(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　　　cm.  2.5 [解析] 圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2，即4r2-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0，∵r<4，∴r=2.5 cm. 47 $