基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本立体图形、表面积与体积”核心考点，依据高考评价体系梳理结构特征、表面积体积计算等考查要求，通过真题与模拟题分析体积计算占比40%、空间最短路径占25%的高频考点，归纳单选、多选、填空等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+素养提升”策略，如2023年新课标Ⅱ卷棱台体积题，用相似比求原棱锥高，培养数学思维与空间观念。通过正三棱柱侧面展开（第4题）、直三棱柱外接球补形法（第8题）等典型题型，指导学生掌握转化技巧，教师可分层训练，助力高效备考。

基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 一、单项选择题 1.下列命题正确的是(　　) A.用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 B.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 C.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 D.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台 基础过关 只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一 个圆锥和一个圆台,当平面不平行于圆锥底面时,得 到的几何体并非圆锥和圆台,所以A错误;棱柱的侧 棱都相等且平行,且侧面是平行四边形,但其底面多边形各边不一定相等,则侧面并不一定全等,所以B错误;圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形,所以C正确;直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示,所以D错误.故选C. 解析 2.如图,矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图,其中A'B'=2,B'C'=4,则原四边形ABCD中最长边的长度为 (　　) A.2 B.2 C.4 D.6 将直观图还原为原图,如图,在直观图中,O'B'=A'B'=2,则O'A'=2,故在原图中,OA=2O'A'=4,OB=O'B'=2,所以AB== =6,而AD=BC=B'C'=4,所以原四边形ABCD中最长边为6.故选D. 解析 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　) A.12π B.12π C.8π D.10π 因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8,所以圆柱的高为2,底面直径为2,所以圆柱的表面积S=2π××2+2×π×()2=12π.故选B. 解析 4.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1=4,一小虫从点A途经三个侧面爬到点A1,则小虫爬行的最短距离为(　　) A.4 B.5 C. D. 三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA'A'1A1,如图所示,因为正三角形ABC的边长为3,侧棱AA1=4,所以AA'=9,所以A'A1== =,即小虫爬行的最短距离为.故选C. 解析 5.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球,使得剩余部分最少,则球的体积与剩余部分体积之比为(　　) A.1∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶1 设底面半径为r,由题意挖去球的半径最大为r,所以V球=πr3,V剩余=2πr3-πr3=πr3,=2∶1.故选B. 解析 6.(2026·新乡模拟)已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形,侧面展开图是圆心角为β的扇形,若β=3α,则β=(　　) A. B. C. D.π 设圆锥的母线长为l,则圆锥的底面半径r=lsin,因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长,所以lβ=2πlsin,即β=2πsin,因为0<β<2π,β=3α,则0<α<,故0<<,所以β关于α单调递增,验证选项可知当α=时,β=π=3α符合题意. 解析 7.(2026·北京模拟)《天工开物》是我国明代科学家宋应 星所著的一部综合性科学技术著作,书中记载了一种制造 瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法,为同学们 准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶,圆桶底面外圆 的直径为20 cm,高为20 cm.首先,在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2 cm的黏土,然后,沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份(如图),等黏土干后,即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦,全年级共500人,需要准备的黏土量(不计损耗)约为(参考数据:π≈3.14)(　　) A.0.8 m3 B.1.4 m3 C.1.8 m3 D.2.2 m3 由条件可得四片瓦的体积V=π×122×20-π×102×20=880π(cm3),所以500名学生,每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π= 440 000π(cm3),又π≈3.14,所以共需黏土的体积约为1.381 6 m3≈ 1.4 m3,故选B. 解析 8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则该棱柱体积的最大值为(　　) A.8 B.12 C.16 D.24 设AB=a,AA1=h.因为三棱柱为直三棱柱且AB⊥BC,所以可将其补形为一个长方体,如图,则该长方体的外接球即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球,所以外接球的直径为=6,所以a2+h2=32.该三棱柱的体积V=S△ABC·h=·2a·h=ah≤=16, 当且仅当a=h时等号成立,故选C. 解析 二、多项选择题 9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=3,CC1=4,且AB⊥BC,P为BC1的中点,则(　　) A.三棱锥A-BCC1的体积为4 B.三棱锥C-APC1的体积为 C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8 D.三棱锥C1-ABC的表面积为14+2 对于A,==×CC1×S△ABC=×4×× 2×3=4,故A正确;对于B,=,而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高,因为P为BC1的中点,所以=,所以==×4=2,故B错误;对于C,==×2×3×4-4=8,故C正确;对于D,由题可知, 解析 AC=,AC1=,BC1=5,所以AB2+B=A,所以△ABC1是直角三角形,AB⊥BC1,所以三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC++ +=×2×3+×3×4+××4+×2×5=14+2,故D正确. 解析 10.(2026·长沙模拟)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则(　　) A.该圆台的高为1 cm B.该圆台轴截面面积为3 cm2 C.该圆台的体积为 cm3 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm 对于A,如图①,过点B作BE⊥CD于点E,则CE==1,所以BE===,即圆台的高为 cm,故A不正确.对于B,圆台的轴截面面积为×(2+4)×=3(cm2),故B正确.对于C,圆台的体积为××(π+4π+)=(cm3),故C正确. 解析 对于D,将该圆台侧面的一半展开,得到如图②所示的扇环ADCB,再将其补成扇形PDC,则弧CD长为2π,半径PC长为4,所以圆心角∠CPD=,取 AD的中点为M,连接CM,则从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点M的最短路径即扇环中线段CM的长,CM== =5(cm),故D正确.综上所述,选BCD. 解析 三、填空题 11.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 　　　　.  由于=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32,截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4,所以棱台的体积为32-4=28. 解析 28 12.某圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为15,则该圆台的侧面积为　　　　.  设该圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l===5r=15,所以r=3,R=12,故S侧=π(R+r)l=π(12+3)×15=225π. 解析 225π 13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,CC1=,动点M在 棱CC1上,连接MA,MD1,则MD1+MA的最小值为　　　　.  由题意,将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面, 结合展开图可知当A,M,D1三点共线时,MD1+MA取得 最小值,最小值为展开图中D1A的长度.因为AC= =2,CD=1,所以展开图中AD=3.又因为DD1=CC1=,所以展开图中D1A==. 解析 14.(多选题)如图所示,长方体ABCD-EFGH的表面积为6,AE=1,则 (　　) A.该长方体不可能为正方体 B.该长方体体积的最大值为1 C.若长方体下底面的一条边长为2,则三棱锥 H-AFC的体积为 D.该长方体外接球表面积的最小值为3π 素养提升 对于A,当长方体的所有棱长都为1时,表面积为6,长方体为正方体,错误.对于B,设AD=a,AB=b,则2(ab+a+b)=6,ab+a+b=3,V长方体=ab·1 =ab=3-(a+b)≤3-2,解得0<ab≤1,当且仅当a=b时取“=”,故长方体体积的最大值为1,正确.对于C,当长方体底面的一条边长为2时,可得与其相邻的边长为,VH-AFC=V长方体-4VF-ABC=2××1-4××2× ××1=,错误.对于D,设AD=a,AB=b.长方体外接球的直径为其体对 解析 角线,长为,S球=4πR2=4π=π(a2+b2+1),因为a+b≥2=2,所以(a+b)2≥4[3-(a+b)],解得a+b≥2,当且仅当a=b时取“=”,又,所以a2+b2≥2,当且仅当a=b时取“=”,所以外接球表面积的最小值为3π,正确.故选BD. 解析 15.(2026·晋城模拟)若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},则n的最小值为　　　　,该棱台各棱的长度之和的最小值为　　　　.  根据正棱台的结构特征可知,正n棱台的总棱数为3n(n≥3,n∈N*),则3n>15,得n>5,所以n的最小值为6.要想各棱长之和最小,则棱数总和要最小,故n=6,又因为棱台的上、下底面边长不相等,所以可取上底面边长为2,下底面边长为3,要使各棱长之和最小,则侧棱长取2,故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42. 解析 6 42 $