第一节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何与空间向量第一节，覆盖柱锥台球结构特征、直观图绘制、表面积与体积计算等核心考点，依据高考评价体系明确“体积公式应用”“组合体表面积”等高频考点权重，归纳展开图最短路径、斜二测画法面积转化等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，精选2024新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023全国乙卷圆锥表面积等真题，通过等体积法、割补法突破体积计算，培养学生空间观念与推理能力。如圆台表面积计算中轴截面分析技巧，助力学生掌握得分要点，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第一节 第七章 立体几何与空间向量 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【目标要求】　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题;3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       底面 互相______且_____ 多边形 互相_____且______ 平行 全等 平行 相似 侧棱 互相_______且_______ 相交于_________,但不一定相等 延长线交于　　　  侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 平行 相等 一点 一点 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 互相平行且相等, _______于底面 长度相等且相交于_______ 延长线交于______   垂直 一点 一点 (2)旋转体的结构特征 轴截面 全等的______ 全等的____________ 全等的_________ 圆 侧面 展开图 ________ 扇形 扇环   矩形 等腰三角形 等腰梯形 矩形 [微点清]　球的截面的性质:①球的任何截面都是圆面;②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=. 2.立体图形的直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直;②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;③平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_____________,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_____________. 不变 一半 3.几何体的表面积与体积公式 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图       侧面积 公式 S圆柱侧=_________ S圆锥侧=_________ S圆台侧=_________ 2πrl πrl π(r+r')l (2)空间几何体的表面积与体积公式 　　　 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底h 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　) (3)圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.(　　) (4)圆台的母线长都相等.(　　) 2.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图,则直观图的面积为(　　) A.36 B.18 C.9 D. 在斜二测画法中,直观图面积是原图形面积的,而边长为6的正方形面积为36,所以所求的直观图的面积为×36=9. 解析 3.(人A必二P120T6改编)如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体,该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的,其中O为圆台下底面圆心,O2,O1分别为圆柱上、下底面的圆心,经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm,O1O2=5 cm,OO1=4 cm,圆台下底面圆半径为5 cm,则该组合体的表面积为(　　) A.42π cm2 B.84π cm2 C.36π cm2 D.64π cm2 由题知,圆柱的上底面面积为4π cm2,圆柱的侧面积为4π×5=20π(cm2),圆台的下底面面积为25π cm2,圆台的母线长为=5(cm),所以圆台的侧面积为π(2+5)×5=35π(cm2),则该组合体的表面积为4π+20π+25π+35π=84π(cm2). 解析 4.如图,在正三棱锥S-ABC中,∠BSC=40°,BS=2,一质点自点B出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(　　) A.2 B.3 C.2 D.3 将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开,其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB',根据余弦定理得BB'==2. 解析 5.(人A必二P119T1改编)如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为3 cm的正方形,那么这个八面体的表面积是_____________cm2. 18 (1)(2026·枣庄调研)给出下列四个命题,正确的是(　　) A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 考点一 基本立体图形………………自练自悟 对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错;对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错;对于C,若底面不是矩形,则C错;对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确. 解析 (2)(多选题)对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法,其中正确的是(　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成 如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成,故选AB. 解析 (3)在梯形ABCD中,AB∥CD,用“斜二测画法”作出梯形ABCD水平放置的直观图,如图所示.若A'B'=4,C'D'=2,O'D'=2,则梯形ABCD的面积为_________. 由斜二测画法知,AB=A'B'=4,CD=C'D'=2,且OD=2OD'=4,所以梯形ABCD的面积为OD·(AB+CD)=×4×(4+2)=12. 解析 12 (4)某圆柱的高为2,底面周长为16,M,N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点,其中ME垂直于底面,OE⊥ON,如图所示,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为_____________. 2 圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为EE'的四等分点)如图所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.EN=×16=4,EM=2,所以MN===2. 解析 1.辨别空间几何体的两种方法 (1)定义法:紧扣定义进行判定. (2)反例法:要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可. 2.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段:平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半. 3.展开图问题要确定几何图形与其展开图哪些量发生变化,哪些量不发生变化. 【例1】　(1)《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3,上底面半径为1,下底面半径为5,则此圆亭的表面积为(　　) A.25π B.26π C.30π D.56π 考点二 空间几何体的表面积 由题意,可作该圆亭的轴截面,如图所示,则圆亭的高h=O1O2=BE=3,上底面半径r=O2B=1,下底面半径R=O1A=5,母线l=AB==5,所以圆台的表面积S=π(r+R)l+πr2+πR2=56π.故选D. 解析 (2)(2026·周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为(　　) A.4+4 B.4+4 C.12 D.8+4 连接A1B.因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=2,BC=.又AB⊥BC,则AB=,则该三棱柱的侧面积为2×2+2×2= 4+4.故选A. 解析 求空间几何体表面积的技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 【训练】　(1)若圆锥侧面展开图是圆心角为,半径为1的扇形,则这个圆锥表面积与侧面积的比为(　　) A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶3 如图,由题意,知=,所以r=l=,S侧=πrl=, S表=S侧+πr2=,故S表∶S侧=4∶3.故选C. 解析 (2)(2026·长沙质检)如图,一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形,面积分别为4 cm2,9 cm2,且A1A=B1B=C1C= D1D.若该容器模型的体积为 cm3,则该容器模型的表面积为_____________. (5+9) cm2 由题意得,该容器模型为正四棱台,上、下底面的边长分别为2 cm, 3 cm,设该棱台的高为h,则由棱台体积公式V=h(S上+S下+),得该容器模型的体积为=h×(4+9+6),解得h=1(cm),所以侧面等腰梯形的高h'== (cm),所以S表=4×+9=5+ 9 (cm2). 解析 【例2】(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 考点三 空间几何体的体积 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为,且侧面积相等,所以2πr×=πr,得r2=9,所以圆锥的体积V=πr2×=3π.故选B. 解析 (2)已知正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为,则该正四棱台的体积为________. 28 如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,连接 AC,A1C1,由AB=2,A1B1=4,得AC=2,A1C1=4, 过A作AG⊥A1C1,G为垂足;过C作CH⊥A1C1,H为 垂足,则AC=GH=2,A1G=C1H=,又AA1=, 在Rt△AA1G中,得AG===3,所以正四棱台的高h=3,正四棱台上下底面积分别为4和16,体积V=×3×(16++4)=28. 解析 规则几何体的体积,直接利用体积公式求解. 等体积法与割补法求体积 1.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积. 2.在求不规则几何体的体积时,可以把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体,然后再计算体积. 【典例】　(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为________. 如图,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,所以S△AMN=×1×1=,所以==××2=. 解析 (2)(2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2, CF=3,则该五面体的体积为(　　) A.　　　　　　　 B.+ C. D.- 因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××=.故选C. 解析 【微练】　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AA1的中点,F为CC1靠近C1的四等分点,点B,E,F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分,则较大部分的体积与较小部分的体积之比为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 将直三棱柱补形成直四棱柱ABDC-A1B1D1C1,使 底面ABDC为平行四边形,如图所示,设底面面积 为S,AC边上的高为h0,AA1=h,则直四棱柱的体积 解析 V=Sh,S=AC×h0,四边形AEFC的面积S'=(AE+FC)×AC=×AC=×AC,所以四棱锥B-AEFC的体积VB⁃AEFC=××AC× h0=S=V,所以直三棱柱ABC-A1B1C1中,剩余部分的体积V'=-VB⁃AEFC=V,所以较大部分的体积与较小部分的体积之比为=.故选C. 解析 (2)(2026·昆明模拟)如图,在三棱锥S-ABC中,AS,AB, AC两两垂直,且AS=AB=AC=2,点E,F分别是棱AS,BS的中点,点G是棱SC上靠近点C的三等分点,则空间几何体EFG-ABC的体积为(　　) A. B. C.2 D. 过点G作GH∥AC,交SA于点H,如图.因为AC⊥AB, AC⊥AS,AB∩AS=A,AB,AS⊂平面SAB,所以AC⊥平 面SAB,又GH∥AC,所以GH⊥平面SAB,且== ,GH=AC=.因为E,F分别为SA,BS的中点,所以 S△SEF=S△ABS=××(2)2=1,所以VG-SEF=S△SEF·GH=×1× =,VC-SAB=S△SAB·AC=××(2)3=,因此VEFG-ABC=VC-SAB- VG-SEF=-=.故选D. 解析 1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 (　　) A.π B.π C.3π D.3π 在△AOB中,∠AOB=,而OA=OB=,取AB的中 点C,连接OC,PC,则OC⊥AB,PC⊥AB,如图,∠ABO =,OC=,AB=2BC=3,由△PAB的面积为,得 ×3×PC=,解得PC=,于是PO= ==,所以圆锥的体积V=π×OA2×PO=π×()2 ×=π.故选B. 解析 2.(2025·北京高考)某科技兴趣小组用3D打印 机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面 体,其中ABCDEF是一个平面多边形,平面AFR⊥ 平面ABC,平面CDT⊥平面ABC,AB⊥BC,AB∥EF ∥RS∥CD,BC∥DE∥ST∥AF.若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD =,则该多面体的体积为　　　　. 60 连接BE,以SBE为截面将该多面体分为两个等体 积的多面体.下面求多面体AFR-BES的体积:作RG ⊥AF于G,由题设RG=,△AFR的面积为S△AFR=× 4×=3,延长CB交EF于M,在RS上取点N使RN=AB=8,则直三棱柱AFR-BMN的体积VAFR-BMN=3×8=24,三棱锥S-BMN的体积VS-BMN=× S△BMN×SN=×3×2=2,作SH⊥BE于H,则H是BE的中点,SH=.三棱锥S-BME的体积VS-BME=S△BME·SH=×(×4×4)×=4,所以多面体AFR-BES的体积为24+2+4=30,所求多面体的体积为2×30=60. 解析 3.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为_____________. 两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为==. 解析 ∶4 4.(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1 =,则该棱台的体积为________. 正四棱台ABCD-A1B1C1D1如图所示.设其上、下底面中心分别为O1,O,连接O1O,O1A1,OA,由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD,O1O⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD,A1B1C1D1均为正方形.因 解析 为AB=2,A1B1=1,所以AO=,A1O1=,易知AO∥A1O1,又因为AA1=,所以在直角梯形A1O1OA中,O1O==,所以=×(1+4+)×=. 解析 $