专题04 随机变量及其分布（期末真题汇编，云南专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布专题，涵盖11个核心考点，精选云南各地模拟题与阶段检测题，以知识竞赛、航天科技、体育赛事等真实情境为载体，构建基础巩固到创新应用的梯度训练体系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|条件概率、正态分布等|结合“七彩云南知识竞赛”“张衡一号卫星”等情境考查概念辨析| |填空|5题|期望方差、全概率公式|设置“混合检测方案”等实际问题，强化数据处理能力| |解答|18题|二项分布、马尔科夫链等|以“滇超联赛”“AI图像识别”为背景，综合考查分布列、决策分析及概率递推|

专题04 随机变量及其分布 高频考点概览 考点01条件概率 考点02全概率公式（贝叶斯公式） 考点03离散型随机变量分布列 考点04 离散型随机变量的均值和方差及其性质 考点05 离散型随机变量的均值和方差的应用 考点06 二项分布 考点07 超几何分布 考点08 正态分布 考点09 比赛问题、决策问题 考点10 马尔科夫链 考点11 概率的最值和范围 ( 考点01 条件概率 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）在“七彩云南•青春学习”知识竞赛中，分别来自大理和丽江的两位选手甲､乙参与必答题环节.每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2026·云南·模拟预测）（多选）记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（2024·云南大理·模拟预测）（多选）假设是两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． ( 考点 02 全概率公式（贝叶斯公式） ) 1．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 3．（24-25高二下·云南保山·阶段检测）运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（ ） A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53 4．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南丽江·期末）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南昭通·期末）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·云南保山·期末）在本次数学试卷的8道单选题中，学生小明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选做一题，则他做对这道题的概率为________． 7．（24-25高二上·云南昆明·期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是__________；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是__________. 8．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 9．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 10．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ (2)从该校学生中任选一人，设事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ( 考点 03 离散型随机变量分布列 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） 0 1 A．或 B． C． D． 2．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）随机变量的分布列如下表所示，且，则（ ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 4．（23-24高二下·云南迪庆·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 A． B． C． D． 5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 6．（22-23高二下·云南保山·期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A．1 B． C． D． ( 考点 04 离散型随机变量的均值和方差及其性质 ) 1．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（ ） 1 2 A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）设，随机变量的分布列是： 1 2 则当在内增大时（ ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 5．（21-22高三上·云南玉溪·阶段检测）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ） -2 -1 0 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 6．（24-25高三上·云南楚雄·期末）（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·云南楚雄·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则（ ） A． B． C． D． ( 考点 05 离散型随机变量的均值和方差的应用 ) 1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 2．（2026·云南昭通·模拟预测）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行一轮比赛，在这轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人获胜，则甲获胜的概率为______；若甲选出数字3且赢时记3分，甲选出数字5且赢记2分，甲选出数字7且赢时记1分，甲输掉比赛记作0分，则甲最终得分的期望为______． 3．（24-25高二下·云南·期末）甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． (1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； (2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 4．（25-26高二下·云南楚雄·期中）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 6．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. ( 考点 06 二项分布 ) 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙三人每人射中目标的概率均为，射中目标的概率均为，且所有射击事件的结果相互独立．在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次． (1)求甲至少射中一个目标的概率； (2)记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望． 3．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． (1)有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 5．（25-26高三下·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 7．（2025·云南昭通·模拟预测）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 8．（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． ( 考点 07 超几何分布 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）（多选）某设备生产的10件产品中有6件一等品，4件二等品，现从中任取4件，记随机变量为取出一等品的件数，随机变量为取出二等品的件数，若取出一件一等品得2分，取出一件二等品得分，随机变量为取出4件产品的总得分，则下列结论中正确的是（ ） A．服从超几何分布 B． C． D． 3．（22-23高三上·云南保山·期末）（多选）一袋中有质地､大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A．从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C．从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为，则 D．从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为 4．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为__________. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 6．（22-23高二下·云南楚雄·阶段检测）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的名旅行者进行满意度调查，将其分成以下组：，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望； (3)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，再从这人中一次性抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望. 7．（25-26高三上·云南曲靖·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 8．（24-25高二下·云南红河·期末）2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. ( 考点 08 正态分布 ) 1．（25-26高二下·云南·期中）已知随机变量，若，则（ ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 3．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 4．（2025·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（ ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 5．（2026·云南大理·二模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三上·云南楚雄·阶段检测）（多选）影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 8．（2025·云南·模拟预测）（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A． B． C． D． ( 考点 09 比赛问题，决策问题 ) 1．（2026·云南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 3．（24-25高三下·云南丽江·阶段检测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率均为. (1)求第2次投篮的人是甲的概率. (2)记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 4．（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 5．（2025·云南·模拟预测）某环境监测机构负责筛查某地区水体中的一种特定有毒污染物．已知一个水样中该污染物超标的概率为，该检测方法有如下特性：若水样确实超标，检测结果呈阳性（提示超标）的概率为；若水样未超标，检测结果呈阴性（提示未超标）的概率为．为节约成本，监测人员采用“混合检测”方案：将3份水样混合后进行一次检测，若混合样本检测呈阴性，则认为3份水样均未超标，不再进行下一步检测；若混合样本检测呈阳性，则需对这3份水样逐一进行检测，以确定具体是哪一份水样超标．记为在此方案下，为确定3份水样的最终结果所需的检测次数． (1)求一份水样在检测中结果呈阳性的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)与传统逐一检测方案（每份水样检测一次，共需要3次）相比，此混合检测方案平均能减少多少次检测？（参考数据，计算结果精确到） 6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? ( 考点 10 马尔科夫链 ) 1．（25-26高二下·云南·期中）一个不透明的盒子中有2个红球，2个白球，所有小球除颜色外完全相同，每次从盒子中随机取出两球（不考虑顺序），记录取出的红球的个数并放回盒子中，搅拌均匀后重复进行至次，记为次摸取后红球的总个数，表示为偶数的概率. (1)求第一次取出红球个数的分布列； (2)求，； (3)求（用含的表达式表示）. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 3．（2023·云南昆明·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式，并求出. 4．（25-26高三上·云南楚雄·期中）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． ( 考点 11 概率的最值 和范围 ) 1．（2025·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 3．（22-23高三下·云南曲靖·阶段检测）从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名学生独立解题. (1)假设每道题甲全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为；乙全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率； (2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）. 4．（22-23高三上·云南保山·阶段检测）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习的情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格： 分段 人数 5 a 20 25 10 (1)①求表中a的值； ②在，，这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自的概率； (2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求p的取值范围. 5．（2024·云南曲靖·一模）2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率． (1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围． 41 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机变量及其分布 高频考点概览 考点01条件概率 考点02全概率公式（贝叶斯公式） 考点03离散型随机变量分布列 考点04 离散型随机变量的均值和方差及其性质 考点05 离散型随机变量的均值和方差的应用 考点06 二项分布 考点07 超几何分布 考点08 正态分布 考点09 比赛问题、决策问题 考点10 马尔科夫链 考点11 概率的最值和范围 ( 考点01 条件概率 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）在“七彩云南•青春学习”知识竞赛中，分别来自大理和丽江的两位选手甲､乙参与必答题环节.每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件A：甲答对，事件：乙答对，分别求出，，利用条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A：甲答对，事件：乙答对，则有，， 所以. 故选：B 2．（2025·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算公式求解. 【详解】设“记者甲被选中”为事件，“记者乙被选中”为事件， 则“记者甲和记者乙都被选中”为事件． 因为，，所以． 故选：D． 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定和的值，再代入公式计算. 【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”，，， 所以，， 故选：C. 4．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算. 【详解】从人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种， 剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 所以甲参加九连环活动的情况数共有种， 则甲参加九连环活动的概率. 若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 则甲和乙都参加九连环活动的概率. 根据条件概率公式. 故选：B. 5．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加投铅球比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助排列数与组合数计算出所有安排方法即可得相应事件发生的概率，再结合互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可. 【详解】先将人分为组，再安排参加项比赛，则有种安排方法， 若参加跳高比赛，即甲所在的组参加跳高比赛，则， 同理：， 事件，即甲参加跳高比赛且乙参加投铅球比赛，此时有种安排方法， 则，同理：， 依次分析选项： 对于A，，，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C． 6．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知，是随机事件，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设及条件概率公式，概率加法公式可得，，联立解方程即可. 【详解】因，则， 又因，，且事件与事件互斥， 则，可得，从而. 故，解得. 7．（2026·云南·模拟预测）（多选）记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据全概率、条件概率、和事件的概率计算公式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 8．（2024·云南大理·模拟预测）（多选）假设是两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，利用条件概率公式得到；B选项，与相互独立，故；C选项，根据求出答案；D选项，利用条件概率得到. 【详解】A选项，因为，，，， 所以，A正确； B选项，因为事件与相互独立，所以与相互独立， 所以，B错误； C选项，，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：AD. ( 考点 02 全概率公式（贝叶斯公式） ) 1．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 2．（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是， 则，且，两两互斥， 设表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”， 则， ， 则 . 故选：D. 3．（24-25高二下·云南保山·阶段检测）运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（ ） A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53 【答案】D 【分析】利用全概率公式及条件概率进行求解. 【详解】设表示“甲使用自由泳参加比赛”，表示“甲使用蛙泳参加比赛”，表示“甲使用仰泳参加比赛”，表示“甲没有获得奖牌”，则. 故选：D 4．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球．分别以，和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可得到答案. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以； 若发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以， 所以， ， 故选：B． 4．（23-24高二下·云南丽江·期末）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】使用古典概型方法可以计算得出，，利用缩小样本空间的方法求得，，再结合条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，故A错误； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确； 对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以， 若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为， 所以，故C正确； 对于D，结合以上分析， ，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高二下·云南昭通·期末）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由3台车床加工零件数的比可得判断A；全概率公式求判断B；即为第2台车床加工的次品率判断C；利用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·云南保山·期末）在本次数学试卷的8道单选题中，学生小明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选做一题，则他做对这道题的概率为________． 【答案】 【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解. 【详解】设事件：小明选到有思路的题；事件：小明选到的题做对， 由题有，，，， 所以，由全概率公式得． 故答案为： 7．（24-25高二上·云南昆明·期末）周先生到某地开会，他乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为，且乘坐这四种交通工具到达会议地迟到的概率分别为，则周先生到达会议地迟到的概率是__________；若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是__________. 【答案】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式来求解即可. 【详解】周先生到达会议室心到的概率为：； 若周先生本次到达会议地迟到了，则他本次是乘飞机前往的概率是： ； 故答案为：①；②. 8．（25-26高三上·云南保山·期末）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设为比赛终止时小明的积分，要计算，列举全部三种积分达到分且比赛终止的胜负平序列，分别计算概率并相加. （2）设为“比赛两场便终止”，为“晋级成功”，两场终止只有连胜或连负两种情况，计算和（连胜情形），代入条件概率公式即可. 【详解】（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场､第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负. ∴. （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知， . 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为. 9．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 10．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ (2)从该校学生中任选一人，设事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有差异 (2)①，；② 【分析】（1）先由独立性检验计算卡方来说明体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯是否有差异 （2）利用条件概率公式逐一求解，进而求出指标的值. 【详解】（1）零假设：体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯没有差异， 由卡方公式可得， 解得，. 根据小概率值的独立性检验,没有充分证据说明零假设成立， 即认为体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异． （2）①因为事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标” 因为，； 所以，. ②因为, 所以， 所以有，. 又因为，所以. 所以，． ( 考点 03 离散型随机变量分布列 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（ ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量的概率非负且不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【详解】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成等差数列、随机变量分布列的性质可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质：， 所以， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）随机变量的分布列如下表所示，且，则（ ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 【答案】D 【分析】根据分布列的性质即可求解. 【详解】由分布列的性质可得，，即，， 故选：D. 4．（23-24高二下·云南迪庆·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质建立等式求解即可． 【详解】根据概率和为1， 得， 解得， 故选：A． 5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项和分布列性质列方程求出即可得解. 【详解】因为构成等差数列，所以， 又，所以，，所以. 故选：C 6．（22-23高二下·云南保山·期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求得正确答案. 【详解】依题意， 即，解得， 经检验可知，符合题意. 故选：C ( 考点 04 离散型随机变量的均值和方差及其性质 ) 1．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质以及期望的概念求出，的值，再求方差即可. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D 3．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（ ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此. 因为，解得. 则，进而. 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）设，随机变量的分布列是： 1 2 则当在内增大时（ ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 【答案】A 【分析】根据方差的计算公式得到关于的二次函数，结合二次函数的单调性进行判断即可. 【详解】根据题意，， 方差， 该二次函数的对称轴为，开口向上， 所以当在内增大时，先减小后增大. 故选：A. 5．（21-22高三上·云南玉溪·阶段检测）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（ ） -2 -1 0 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【分析】由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性. 【详解】由分布列的性质：，可得， ∴，， ∴， 又， ∴在上增大时，增大. 故选：A 6．（24-25高三上·云南楚雄·期末）（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高二下·云南楚雄·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由随机变量分布列的性质，得，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. ( 考点 05 离散型随机变量的均值和方差的应用 ) 1．（25-26高二下·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 【答案】 【分析】确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有6种， 故， ：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次）， 选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式， 其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三只不同蝴蝶飞出， 由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以. 2．（2026·云南昭通·模拟预测）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行一轮比赛，在这轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人获胜，则甲获胜的概率为______；若甲选出数字3且赢时记3分，甲选出数字5且赢记2分，甲选出数字7且赢时记1分，甲输掉比赛记作0分，则甲最终得分的期望为______． 【答案】； 【详解】甲要获胜，则取出的数字只能是3，5，7，记甲得分为随机变量． 当甲选出3且获胜，则乙只能选2，概率为； 当甲选出5且获胜，则乙选出的是2，4，概率为； 当甲选出7且获胜，则乙选出的是2，4，6，概率为，所以甲获胜的概率； 由以上推出． 3．（24-25高二下·云南·期末）甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． (1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； (2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.9 【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 【详解】（1）记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． （2）的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 4．（25-26高二下·云南楚雄·期中）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 【分析】（1）通过“从袋中取两个标号为2的球的概率”列组合数方程，解方程即可得到； （2）先确定的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，最后整理分布列求期望即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为， 取到两个标号为2的球的组合数为， 由取到的标号都是2的概率是，得， 整理得，解得或（舍去） （2）的可能取值为. ， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列后，通过数学期望公式计算. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 的数学期望（元）. 6．（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列； (3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率. 【答案】(1) (2)分布列为： 0 1 2 (3) 【分析】（1）由题意结合条件概率知识可得答案； （2）由题可得可取0，1，2，即可得分布列及相应期望； （3）由（2）结合全概率公式可得答案. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，， 由条件概率公式，； （2）由题意：，1，2. ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”， 事件“发射器发射了个“1指向”光子”， 由（2）知：，，， 则，，， 由全概率公式，得： . ( 考点 06 二项分布 ) 1．（25-26高二下·云南昭通·期中）设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，联立已知条件，解方程组即可求出参数. 【详解】因为服从成功概率为的二项分布，且，，所以， 解得：. 2．（25-26高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙三人每人射中目标的概率均为，射中目标的概率均为，且所有射击事件的结果相互独立．在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次． (1)求甲至少射中一个目标的概率； (2)记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）根据对立事件和相互独立事件概率公式求解； （2）根据二项分布概率公式求出随机变量取对应的概率，列出分布列，求出期望. 【详解】（1）甲至少射中一个目标的概率为 （2）每个人两个目标均射中的概率为， 的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 3．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）一个袋子中有3个红球，3个绿球，这些球只有颜色不同．从袋中依次随机摸出2个球作为样本，设采用有放回和不放回摸球的两种方式摸球． (1)有放回摸球得到的样本中绿球的个数为X，求X的分布列与数学期望； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，所得样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】(1)X的分布列为： 0 1 2 数学期望； (2)有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【分析】（1）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （2）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【详解】（1）由题得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ①有放回摸球时，所求概率为. ②不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 4．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. (1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率； (2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，30 【分析】（1）由独立重复试验求解即可； （2）由总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50，由此求解分布列与数学期望即可. 【详解】（1）3道必答题中恰好答对2道的概率. （2）因为必答题的得分可能为0，10，20，30，选答题的得分可能为0，20， 所以总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50. 若必答题全错且选答题答错，则； 若只答对1道必答题且选答题答错，则； 若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对， 则； 若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对， 则； 若只答对2道必答题且选答题答对，则； 若答对3道必答题且选答题答对，则. 因此，的分布列为 0 10 20 30 40 50 所以. 5．（25-26高三下·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 且三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合频率分布直方图中每组的频率，利用百分位数的定义求解即可； （2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望． 【详解】（1）由于当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌， 所以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染的频率为， 所以一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数为：； （2）因为这3人中感染幽门螺杆菌的人数为，幽门螺杆菌的感染概率为， ， 因为的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 7．（2025·云南昭通·模拟预测）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)29 (2) 0 1 2 3 4 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 期望为 【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解； （2）确定可能取值，由题意得到，即可求解. 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则， 则， ； ． 列出的分布列如下： 0 1 2 3 4 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 ． 8．（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 【答案】(1) X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 2.4 (2) 【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率. 【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3. X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数学期望为. （2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”. 根据题意，， . 9．（2026·云南玉溪·模拟预测）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 【答案】(1)17.5 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图的中位数公式求解即可； （2）先根据频率估计概率得甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，再求对应的取值的概率，列出分布列，求期望即可 【详解】（1）依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为 （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望 ( 考点 07 超几何分布 ) 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用超几何分布求出概率结合互斥事件和概率公式计算求解即可. 【详解】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品， 故选:C． 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）（多选）某设备生产的10件产品中有6件一等品，4件二等品，现从中任取4件，记随机变量为取出一等品的件数，随机变量为取出二等品的件数，若取出一件一等品得2分，取出一件二等品得分，随机变量为取出4件产品的总得分，则下列结论中正确的是（ ） A．服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，随机变量X，Y服从超几何分布，利用超几何分布的期望公式和方差公式，即可求解. 【详解】由题可知， 所以服从超几何分布，A正确； 因为， 所以，所以B正确； 因为，故C错； ，所以D正确. 故选：ABD． 3．（22-23高三上·云南保山·期末）（多选）一袋中有质地､大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A．从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C．从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为，则 D．从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为 【答案】AC 【分析】根据古典摡型的概率计算公式，独立重复试验的概率计算公式，以及条件概率的计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，故正确； 对于，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为，所以恰好有2个白球的概率为，故B不正确； 对于，表示事件“取完白球时，取到1个红球”，共取球3次，前2次1红1白，第3次为白球，概率为，故正确； 对于，设第1次取到白球为事件，第2次再取到白球为事件，所以第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高二下·云南保山·阶段检测）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为__________. 【答案】 【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【答案】(1) 1 2 3 4 (2)获得张或张的概率最大，最大概率为 【分析】（1）由题可知变量服从超几何分布，按超几何分布概率公式求解即可； （2）每轮获得“挑战达人”票的概率即为变量取或，概率相加即可；由题可知，在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数服从二项分布，代入二项分布概率公式求解即可. 【详解】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 6．（22-23高二下·云南楚雄·阶段检测）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的名旅行者进行满意度调查，将其分成以下组：，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望； (3)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，再从这人中一次性抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；数学期望 (3)分布列见解析；数学期望 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得的值； （2）易知，根据二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布期望公式可求得期望值； （3）根据比例可得人的分数分布情况，从而确定的可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值. 【详解】（1）由题意得：，解得：. （2）由频率分布直方图知：从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，得分在的概率为，则， 所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. （3）从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，则人中得分在的人数为人，得分在的人数为人； 则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 数学期望. 7．（25-26高三上·云南曲靖·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 【答案】(1)甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为，至少有1次查验不顺利的概率， (2)分布列见解析，均值为 (3) 【分析】（1）由独立事件概率的乘法公式可得甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，根据对立事件的概率关系，求至少有1次查验不顺利的概率； （2）由题可知，的可能取值为，分别求出相应的概率，可得的分布列，根据均值的计算公式可得的均值； （3）由全概率公式求得被选中选手的得分在8-10分的概率，根据条件概率公式求得得分在8-10分的条件下，该选手是广东选手的概率. 【详解】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 至少有1次查验不顺利的概率为. （2）的可能取值为， ； ； . 所以的分布列列表为： 所以的均值为. （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 8．（24-25高二下·云南红河·期末）2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9 (2) (3) 【分析】（1）根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. ( 考点 08 正态分布 ) 1．（25-26高二下·云南·期中）已知随机变量，若，则（ ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 2．（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【答案】D 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 3．（25-26高三上·云南曲靖·期中）某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 4．（2025·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（ ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 【答案】C 【分析】利用标准正态分布求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：C. 5．（2026·云南大理·二模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】由随机变量，且，得， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3． 故选：C. 6．（25-26高三上·云南楚雄·阶段检测）（多选）影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，则，根据正态分布的对称性得，结合选项即可判断. 【详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 8．（2025·云南·模拟预测）（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的性质及图象逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以，故A错误； 由图象知，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：BCD． ( 考点 09 比赛问题，决策问题 ) 1．（2026·云南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 【分析】（1）根据题意，甲赢得本次比赛的情况共3种，分别求得对应的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）的可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得分布列，利用期望公式计算即可求解. 【详解】（1）甲赢得本次比赛的情况共3种： 第1种情况，甲连胜2局，其概率； 第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率； 第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率． 故甲赢得本次比赛的概率为． （2）依题可知，的所有可能取值为0，1，2，3． ． 甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜． ， ， ． 的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 0 2 3 4 5 6 期望为 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： 1 直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. （2）解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 3．（24-25高三下·云南丽江·阶段检测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率均为. (1)求第2次投篮的人是甲的概率. (2)记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）由题设有的所有可能取值为0,1,2,3，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件,“第次投篮的人是乙”为事件， 所以 （2）由题设，的所有可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4．（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)第一题选题库中的题目，理由见解析. 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；（ii）根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率； （2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 所以小明恰好获得100元奖金的概率为； （ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且， 所以， ， 综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率； （2）由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件， 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目. 5．（2025·云南·模拟预测）某环境监测机构负责筛查某地区水体中的一种特定有毒污染物．已知一个水样中该污染物超标的概率为，该检测方法有如下特性：若水样确实超标，检测结果呈阳性（提示超标）的概率为；若水样未超标，检测结果呈阴性（提示未超标）的概率为．为节约成本，监测人员采用“混合检测”方案：将3份水样混合后进行一次检测，若混合样本检测呈阴性，则认为3份水样均未超标，不再进行下一步检测；若混合样本检测呈阳性，则需对这3份水样逐一进行检测，以确定具体是哪一份水样超标．记为在此方案下，为确定3份水样的最终结果所需的检测次数． (1)求一份水样在检测中结果呈阳性的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)与传统逐一检测方案（每份水样检测一次，共需要3次）相比，此混合检测方案平均能减少多少次检测？（参考数据，计算结果精确到） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)次 【分析】（1）用全概率公式即可求出概率； （2）找到可能值，根据题意求出相应概率，再写分布列即可； （3）由（2）的分布列可求混合检测方案的平均检测次数，再与传统逐一检测方案次数做差即可. 【详解】（1）记事件为“水样超标”，事件为“检测呈阳性”． 由题意，， 所以，由全概率公式得 ． 因此，一份水样在检测中结果呈阳性的概率为． （2）随机变量表示检测次数，可能取值为1，4． 混合样本检测呈阴性时，可能有两种情况： ①若混合样本未超标，则检测呈阴性的概率为； ②若混合样本超标，则至少有一份水样超标，检测为阴性的概率为， 则， 若混合样本检测呈阳性，则． 所以． 所以随机变量的分布列为： 1 4 （3）混合检测方案的平均检测次数为， ． 所以此混合检测方案平均能减少次检测． 6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 【答案】(1)；(2)（i），；（ii）需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）（i）计算药物对两种致病菌都没杀灭的概率，再用对立事件的概率公式计算治愈率； （ii）分别列出先使用A和先使用B两种情况下痊愈天数的所有可能取值，对应计算各取值的概率，再根据期望公式分别计算两种情况的痊愈天数期望，比较两个期望的大小. 【详解】（1）设使用治疗方案C治愈疾病为事件，使用治疗C方案能杀灭致病菌为事件， 则. 因为事件发生则事件必发生，故, . （2）（i）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率，则有，． （ii）设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，则， ， 所以 ． 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为 同理得， ， 则有 ， 从而有，故需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短． ( 考点 10 马尔科夫链 ) 1．（25-26高二下·云南·期中）一个不透明的盒子中有2个红球，2个白球，所有小球除颜色外完全相同，每次从盒子中随机取出两球（不考虑顺序），记录取出的红球的个数并放回盒子中，搅拌均匀后重复进行至次，记为次摸取后红球的总个数，表示为偶数的概率. (1)求第一次取出红球个数的分布列； (2)求，； (3)求（用含的表达式表示）. 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 (2)，. (3) 【分析】（1）求出的可能值，及每个的可能值的概率，从而得到的分布列； （2）为偶数即，，则；计算得解；为偶数即：第一次摸到红球个数为偶数且第二次摸到红球为偶数或第一次摸到红球为奇数，第二次摸到红球为奇数，从而计算出； （3）为偶数即为偶数且第次摸到红色小球为偶数个；为奇数，且第次摸到红色小球为奇数个；从而得到，通过构造等比数列及利用等比数列的通项公式得到. 【详解】（1）从2个红球2个白球中摸出2球，的可能值为0，1，2， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 （2）为偶数即，；所以，； 为偶数即：第一次摸到红球个数为偶数且第二次摸到红球为偶数或第一次摸到红球为奇数，第二次摸到红球为奇数； ， 所以，，. （3）为偶数即为偶数且第次摸到红色小球为偶数个；为奇数，且第次摸到红色小球为奇数个； 所以，， 构造等比数列，，， 整理可得，，， 所以，.代入验证符合； 所以，. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)证明见解析，； (3)10，5. 【分析】（1）求出第二天选择水果的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出递推公式，再构造并证明求出. （3）由（2）得，由此求出求出分发水果和牛奶的人数. 【详解】（1）依题意，第二天选择水果的概率为， 第二天选择牛奶的概率为， 第二天选择水果的人数X的可能值为， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 期望为. （2）依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列的通项公式为. （3）由（2）知，，当时，非常小，趋近于0，， ，即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的， 所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶的人数分别为. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： ①根据题中条件确定随机变量的可能取值； ②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； ③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 3．（2023·云南昆明·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式，并求出. 【答案】(1) 1 2 3 数学期望为 (2)①，，；②， 【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3.则 ；；. 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 数学期望. （2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为. 则有. 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”. 所以 . 即. 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 即次传球后球在甲手中的概率是. 4．（25-26高三上·云南楚雄·期中）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； (3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型确定基本事件总数与事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”的事件总数，从而得概率； （2）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可得分布列与数学期望； （3）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：1．第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，2．第次由小明投掷，第次由小芳投掷，从而可得相邻两次的概率关系，结合数列的递推关系式即可得结论． 【详解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则． （2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ； （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． （3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． ( 考点 11 概率的最值 和范围 ) 1．（2025·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【分析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，利用独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，得到比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望； （3）分别求得三局二胜制进行比赛甲获胜的概率和五局三胜制进行比赛甲获胜的概率，结合作差比较法，以及函数的性质，即可得到结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． （2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ． 所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：． 令， 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，． 所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响． 由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 2．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）． (1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率； (2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案： Ⅰ：随机选一个选项；Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项． （i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望； （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 【答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出； （ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案. 【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”． ， 即学生甲该题得分的概率为． （2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，， ，， ， 所以的分布列为 则数学期望． （ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 则， ， ， 所以 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：， 故的取值范围为． 3．（22-23高三下·云南曲靖·阶段检测）从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名学生独立解题. (1)假设每道题甲全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为；乙全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率； (2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可. （2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可. 【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含： ：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分. ：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分. ：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分. . . . . （2）若为甲出方案. 则甲可能的选项个数为：1，2，3. 记表示选1个选项的得分，则期望为. 记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5， ， ， 此时期望为. 记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5 ， ， 此时期望为. ∵，. ∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩. 若为乙出方案. 则乙可能的选项个数为：1，2，3. 记表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则 记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5， 此时. 记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时. ∵. ∴当时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩. 当时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩， 当时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩. 4．（22-23高三上·云南保山·阶段检测）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习的情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格： 分段 人数 5 a 20 25 10 (1)①求表中a的值； ②在，，这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自的概率； (2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求p的取值范围. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据总人数为100列方程求解即可；②这3个分数段按的比例可求出每一段所抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式可求得结果， （2）设小明参加考试的次数为，所有可能取值为2，3，4，求出期望，再列不等式即可求解. 【详解】（1）①由题意得，解得， ②因为，，的频率比为， 所以抽取的7个学生中，应从，，分别抽取1人，2人，4人， 所以这2人均来自的概率为， （2）设小明参加考试的次数为，所有可能取值为2，3，4，则 ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 所以， 由，得，得， 因为，所以， 即p的取值范围为. 5．（2024·云南曲靖·一模）2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率． (1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围． 【答案】(1)的分布列如下， 2 3 期望为； (2). 【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可； （2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论. 【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能值为， ，， 的分布列如下， 2 3 所以. （2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则， 甲最终获胜的概率为， 采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则， 甲最终获胜的概率为 ， 则 ，得. 41 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $