精品解析：云南省罗平县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年下学期期末考试试卷 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解不等式和，得到集合,再求其并集即得. 【详解】由可得，则得； 由可得，则得, 故 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据已知条件恒成立，将函数表达式代入，通过三角函数公式展开并整理，得到一个关于与的等式.因为该等式恒成立，所以与的系数都为，由此可求出的值.再将代入函数，化简后根据正弦函数性质求最大值. 解法二：利用已知条件，取特殊值，代入得到关于的方程，解出.然后将代入函数化简，同样根据正弦函数性质求最大值. 【详解】解法一：由题意，得恒成立，即恒成立， 整理，得恒成立，所以，从而， 故当，，即时，取得最大值. 解法二：由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，取得最大值. 故选：D. 4. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 5. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 6. 已知某圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据侧面展开图弧长等于底面周长，求得底面积.再利用勾股定理算得圆锥高，求得体积. 【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，故圆锥的母线为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则 ，解得， 所以底面圆的面积为， 设圆锥高为 ，则， 即 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，抓住展开图和圆锥的线段长度关系是解题的关键. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 8. 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及二次函数的性质求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的极小值点为 B. 的极大值为 C. 曲线在单调递减 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，直接求出的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的几何意义，求出切线方程，即可判断出选项D的正误. 【详解】因为，所以， 由，得到或， 当或时，，当时，， 所以极大值点为，极大值为，极小值点为，所以选项A错误，选项B正确， 又的增区间为，，减区间为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即，所以选项D正确. 故选：BD. 10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 11. 已知，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示，和向量共线的坐标表示求参数，判断选项正误. 【详解】由题知，， 对A，由，得，所以A错误； 对B，由，得，B正确； 对C，由，得，又时，反向， 所以，所以C错误； 对D，若，则，， 所以，得，所以，D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出点的轨迹，然后再用点的坐标表示，然后建立方程组，求解即可. 【详解】设，， 所以有， 因为点在圆上， 所以有， 显然，得， 故联立，得， 由题可知方程有解， 得，解得. 因为，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求点轨迹时用相关点法；可以数形结合易知为直线斜率. 13. 已知数列的前项和满足且，则＝________. 【答案】5 【解析】 【分析】先对已知的前项和递推式 赋值，再根据数列前项和与通项的关系推出即可. 【详解】数列的前项和满足且， 令，则， 所以， 因为，所以， 即数列 为常数列， 因为数列各项均为，所以. 故答案为：5. 14. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过分的人数大约为人， 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知：函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的单调区间． 【答案】（1）; （2）单调减区间为:,单调增区间为:. 【解析】 【分析】(1)用诱导公式与二倍角公式，辅助角公式将化为一个角的一个三角函数形式，再用公式求最小正周期即可； (2) 令解出在内的解集，从而判断出单调减区间，进而得到另一部分为单调增区间即可． 【小问1详解】 故最小正周期为． 【小问2详解】 ， 令 解得： 又，得， 即单调减区间为：，单调增区间为：． 16. 已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标和半径; （2）求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 【答案】（1）圆心坐标，半径. （2） 【解析】 【分析】（1）将一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径； （2）设，根据垂径定理可知，结合数量积的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 因为，即， 所以圆的圆心坐标，半径. 【小问2详解】 因为，可知在圆内， 设，则， 因为，则，即， 所以轨迹的标准方程为. 17. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率． ②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率． 【答案】（1）0.3072 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，应为正确答案是三个里面选对两道，假设正确答案，写出所有可能，利用古典概型即可求解. 【小问1详解】 设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； 【小问2详解】 ①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 对于方案I，若正确答案是两个选项，选错的概率是，若正确答案是三个选项，选错的概率是，则 . ②记事件为“学生乙本题得分”， 对于方案Ⅱ：应该正确答案是三个选项里选对两题，假设ABC为正确项. 故而所有可能为：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，满足条件的有AB，AC， BC，有3种. 则. 18. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. （1）判断直线与的位置关系并证明； （2）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 【答案】（1），证明如下： 由题意可知，又平面，平面，故平面， 又平面平面，平面， 所以. （2） 当为的中点时，平面平面，证明如下： 取的中点，连接， 在中，，又平面，平面， 故平面， 同理可证，平面，又平面，， 所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）先判断平面，进而根据线面平行的判定定理可证； （2）利用面面平行的判定定理可证. （3）将下面的几何体分为三棱锥和四棱锥，利用底和高之比可得体积比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，设到平面的距离为， 则 因为分别为的中点，故四边形的面积为 故下面的几何体的体积为 即下面的几何体与四棱锥的体积比为. 19. 设函数对任意实数都有 （1）若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 （2）设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 （3）设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【答案】（1），（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当时，. 又令，，则； 令，则； 令，，则. 猜测：当为负整数时，亦有：.（数学归纳法证明略） 综上：，. （2）（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，则. 当时，，，命题成立； 假设时，命题成立，即. 当时，， 所以 . 所以当时，命题也成立. 综上可知：，成立. （3） 【解析】 【分析】（1）先根据，求，，猜测的表达式，再用数学归纳法证明.注意一定要分情况讨论. （2）利用数学归纳法证明等式：. （3）先用累加法求的不等式，再根据二次函数的单调性求参数的取值范围. 【小问1详解】 令得：. 又， 令，则； 令，，则. 猜测：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，， 所以. 所以，，，，，. 各式相加得：. 因为在区间上严格递增，所以函数的对称轴， 所以. 【点睛】关键点点睛：再第一问中，一定要注意对，，分情况讨论，最后综合得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期期末考试试卷 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知某圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的极小值点为 B. 的极大值为 C. 曲线在单调递减 D. 曲线在点处的切线方程为 10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 11. 已知，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为______. 13. 已知数列的前项和满足且，则＝________. 14. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知：函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的单调区间． 16. 已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标和半径; （2）求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 17. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率； （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，求学生乙本题得0分的概率． ②若，且学生乙选择方案Ⅱ，求学生乙本题得4分的概率． 18. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. （1）判断直线与的位置关系并证明； （2）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 19. 设函数对任意实数都有 （1）若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 （2）设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 （3）设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $