微专题17概率与统计的新情境问题——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“概率与统计的新情境问题”专题，依据高考评价体系梳理了新概念理解、二项分布、数学期望等核心考点，通过2025年全国二卷及山东模考题分析考点权重，归纳概率计算、逻辑证明等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+素养导向+解题建模”，如2025年全国二卷例1通过新概念p_k定义培养数学抽象（数学眼光），证明不等式时的递推关系推导发展逻辑推理（数学思维），训练题用全概率公式解决摸球问题强化模型观念（数学语言）。提供“题型归类+技巧总结”，帮助学生掌握新情境问题突破方法，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 微专题17：概率与统计的新情境问题 2027届高考一轮复习数学 1 【典型例题】 类型一:新概念 例1　(2025·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3，p4(用p表示). (2)若=4，求p. (3)证明:对任意正整数m，p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 2 (1)求p3，p4(用p表示). [解析] (1)p3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三球， 故所求为p3=(1-p)0p3=p3， p4为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三球或四球， 故所求为p4=(1-p)1p3+(1-p)0p4=4p3(1-p)+p4=p3(4-3p). 3 (2)若=4，求p. [解析](2)由(1)得p3=p3，p4=p3(4-3p)， 同理q3=q3，q4=q3(4-3q)， 若=4，p+q=1，则=====4， 由于0<p，q<1，所以p=2q=2(1-p)>0， 解得p=. 4 (3)证明:对任意正整数m，p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. [解析](3)由题设 5 6 7 8 9 10 11 [小结](1)直接由二项分布概率计算公式即可求解; (2)由题意q3=q3,q4=q3(4-3q),联立=4,p+q=1即可求解; (3)首先p2m-p2m+1=pm+1qm,p2m+2-p2m+1=pm+2qm, 同理有q2m-q2m+1=qm+1pm,q2m+2-q2m+1=qm+2pm, 作差有p2m+1-q2m+1<p2m-q2m, 另一方面p2m+2-p2m=pmqm·p, q2m+2-q2m=pmqm·q, 作差能得到p2m-q2m<p2m+2-q2m+2,即可得证. 12 【训练巩固】 1.(2025·山东·二模)盒子中装有N(N∈N*，N≥3)个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从中无放回地随机取出1个球. (1)若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率; (2)若盒中白球数为随机变量X，E(X)=M，证明:第1次取出白球的概率为; (3)若盒中白球数为m(m∈N*，m<N)，每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第n次取出白球的概率. 参考公式:若X，Y是离散型随机变量，有E(X+Y)=E(X)+E(Y). 13 (1)若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率; [解析] (1)设事件A为“2次摸球后，摸出的球不同色”， 则P(A)===， 所以2次摸球后，摸出的球不同色的概率为. 14 (2)若盒中白球数为随机变量X，E(X)=M，证明:第1次取出白球的概率为; [解析] (2) 15 (3)若盒中白球数为m(m∈N*，m<N)，每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第n次取出白球的概率. 参考公式:若X，Y是离散型随机变量，有E(X+Y)=E(X)+E(Y). [解析] 16 17 2.(2025·山东日照·二模)设n∈N，数对(Xn，Yn)按照如下方式生成:①规定(X0，Y0)=(1，1);②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，Xn+1=Xn+1，Yn+1=当硬币反面朝上时，Yn+1=Yn+1，Xn+1= (1)写出数对(X2，Y2)的所有可能结果; (2)当n≥1时，记Xn=Yn的概率为Pn. (ⅰ)求Pn及Pn的最大值; (ⅱ)设Xn的数学期望为En，求En. 18 (1)写出数对(X2，Y2)的所有可能结果; [解析] (1)当抛掷两次硬币结果为(正，正)时，(X2，Y2)=(3，2); 当抛掷两次硬币结果为(正，反)时，(X2，Y2)=(2，2); 当抛掷两次硬币结果为(反，正)时，(X2，Y2)=(2，2); 当抛掷两次硬币结果为(反，反)时，(X2，Y2)=(2，3). 19 (2)当n≥1时，记Xn=Yn的概率为Pn. (ⅰ)求Pn及Pn的最大值; [解析](2)(ⅰ)易知当n=1时，P1=0;当n=2时，P2=; 由题知，|Xn-Yn|≤1，当Xn>Yn，即Xn=Yn+1时， 若掷出反面，则Yn+1=Yn+1，Xn+1=Xn，此时Xn+1=Yn+1; 当Xn<Yn，即Yn=Xn+1时，若掷出正面，则Yn+1=Yn，Xn+1=Xn+1，此时Xn+1=Yn+1; 当Xn=Yn时，无论抛出正面还是反面，Xn+1≠Yn+1， 所以Pn+1=P(Xn>Yn)+P(Xn<Yn) =[P(Xn>Yn)+P(Xn<Yn)]=(1-Pn)， 20 所以Pn+1-=-，所以是以P1-=-为首项，-为公比的等比数列， 所以Pn-=-×， 所以Pn=-×(n≥1). 当n为奇数时，Pn=-×<; 当n为偶数时，Pn=+×≤P2=. 所以，Pn的最大值为. 21 (ⅱ)设Xn的数学期望为En，求En. [解析](ⅱ)显然，E1=1×+2×=. 由题分析得，Xn>Yn与Xn<Yn的概率相等，均设为Qn， 则由(ⅰ)知，Qn=(1-Pn)， 若Xn>Yn，当下次投掷硬币为正面朝上时，Xn+1=Xn+1; 当下次投掷硬币为反面朝上时，Xn+1=Xn; 若Xn=Yn，当下次投掷硬币为正面朝上时，Xn+1=Xn+1; 当下次投掷硬币为反面朝上时，Xn+1=Xn; 若Xn<Yn，当下次投掷硬币为正面朝上时，Xn+1=Xn+1; 22 当下次投掷硬币为反面朝上时，Xn+1=Xn+1. 所以当Xn+1=Xn时，概率为Qn+Pn=，此时Xn不变; 当Xn+1=Xn+1时，概率为1-=，此时Xn加1; 所以En+1=En×+(En+1)×=En+. 故En=En-1+=En-2++ 23 =E1++…+=1+++…+ =1+=n++. 经检验，当n=1时也成立. ∴En=n++. 24 $