比赛情境下的概率分布问题课件-2027届高三数学一轮复习

比赛情境下的概率分布问题 　　解决体育比赛中的概率问题首先要对体育比赛的赛制有所了解，其次 是能准确判断事件之间是否互斥、独立，理解积事件、和事件，及n次独 立重复实验k次发生的意义，真正把握概念和各模型之间的联系与区别. 高中总复习·数学 n局m胜制 〔多选〕在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采 用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为 ， 没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（　　） A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大 B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等 C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利 D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过50％的可能性获得冠军 √ √ 高中总复习·数学 解析：对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为 × ＝ ，甲以2∶1获胜的概率为 × × × ＝ ＜ ，故A错误；对于B，若采用五局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为 × × ＝ ，甲以3∶1获胜的概率为 ×（ ）2× × ＝ ，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为 ＋ ＝ ，采用五局三胜制甲胜的概率为 ＋ ＋ ×（ ）2× × × ＝ ，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为 和 ，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为（ ）3＋ （ ）2× × ＝ ＞ ，所以D正确.故选B、D. 高中总复习·数学 规律方法 　　n局m胜制的规则特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若 比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜. 高中总复习·数学 连胜制 甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即 终止.已知甲每局获胜的概率为 ，甲在第5局终止比赛并获胜的概率 为 ⁠. 　 高中总复习·数学 解析：因为甲每局获胜的概率为 ，要使得甲在第5局终止比赛并获胜，可 分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局连胜，则甲在第5局终止比赛并获 胜的概率为P1＝（1－ ）·（1－ ）× × × ＝ ；②甲第1局胜， 第2局负，后3局连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为P2＝ ×（1 － ）× × × ＝ .所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为P＝P1＋ P2＝ ＋ ＝ . 高中总复习·数学 规律方法 　　连胜制的规则特点是规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结 束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有某方达到m场连胜. 高中总复习·数学 比分差距制 为了贯彻党的二十大提出的基础教育发展方针，全面落实“五育并 举”的战略目标，某市举办2025年秋季高中生乒乓球比赛活动，本次活动 乒乓球单打按国际比赛规则，即首先由发球员发球2次，再由接发球员发 球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方 （胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两 位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为 ，乙在一 次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛中，由乙同学先发球. 高中总复习·数学 （1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率； 解：甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一 次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ ×（ ）2×（ ）2＋ （ ）2× × ＝ . 高中总复习·数学 （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望. 解：设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ， P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ， P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝（ ）2× ＝ . 高中总复习·数学 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 高中总复习·数学 规律方法 　　比分差距制的规则特点是：规定某方比对方多m分即终止比赛，此 时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于 m. 高中总复习·数学 积分制 （2026·福建厦门模拟）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组 赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 高中总复习·数学 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分， 三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排 名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、 负、平的概率均为 ，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平 的概率都分别为 ， ， .每场比赛结果相互独立. （1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由； 高中总复习·数学 解：记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，2， 3），每场比赛结果相互独立. 丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件 为D， P（D）＝P（A1A2B3）＋P（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（ ）2× （ ）＝ . 丁总分7分一定出线. 理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分. 小组赛两队出线，所以丁一定出线. 高中总复习·数学 （2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3， 0，求丁以6分的成绩出线的概率. 解：第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都 获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分， ①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时 甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率P1＝［（ ＋ ） × ］× ＝ ， 高中总复习·数学 ②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此 时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率P2＝（ × ） ×［（ ＋ ）× ］＝ ， ③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6 分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为 ， 丁队出线的概率P3＝（ × ）×（ × ）× ＝ . 综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 规律方法 　　规定m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则. 高中总复习·数学 1. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的 赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比 赛的概率为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 解析：由题意可知甲、乙打满4局比赛的胜负情况如下：（甲，甲，甲，甲），（甲，甲，甲，乙），（甲，甲，乙，甲），（甲，甲，乙，乙），（甲，乙，甲，甲），（甲，乙，甲，乙），（甲，乙，乙，甲），（甲，乙，乙，乙），（乙，甲，甲，甲），（乙，甲，甲，乙），（乙，甲，乙，甲），（乙，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（乙，乙，甲，乙），（乙，乙，乙，甲），（乙，乙，乙，乙），共16种，其中甲赢得比赛的情况为（甲，甲，甲，甲），（甲，甲，甲，乙），（甲，甲，乙，甲），（甲，乙，甲，甲），（乙，甲，甲，甲）共5种，即胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种.故所求概率P＝ .故选C. 高中总复习·数学 2. 甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每 场小组赛结果相互独立.已知甲与乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为p1， p2，p3，且p1＞p2＞p3＞0.记甲连胜两场的概率为p，则（　　） A. 甲在第二场与乙比赛，p最大 B. 甲在第二场与丙比赛，p最大 C. 甲在第二场与丁比赛，p最大 D. p与甲和乙、丙、丁的比赛次序无关 √ 高中总复习·数学 解析：因为甲连胜两场，则第二场甲必胜，①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为P1，则P1＝2（1－p2）p1p3＋2（1－p3）p1p2＝2p1（p2＋p3）－4p1p2p3；②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为P2，则P2＝2（1－p1）p2p3＋2（1－p3）p1p2＝2p2（p1＋p3）－4p1p2p3；③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为P3，则P3＝2（1－p1）p2p3＋2（1－p2）p1p3＝2p3（p1＋p2）－4p1p2p3.所以P1－P2＝2p3（p1－p2）＞0，P1－P3＝2p2（p1－p3）＞0，P2－P3＝2p1（p2－p3）＞0，所以P1＞P2＞P3，因此甲在第二场与乙比赛，p最大，A正确，B、C、D错误.故 选A. 高中总复习·数学 3. 〔多选〕甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每 局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5.若某人获胜的局数大于k，则此 人赢得比赛.下列说法正确的是（　　） A. k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 B. k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 C. 在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k D. 随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 √ √ √ 高中总复习·数学 解析：k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为2× × ＝ ，故A错误；k＝2时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，其概率为（ ）3＋3×（ ）4＝ ，同理，乙赢得比赛的概率也为 ，B正确；在2k局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布B（2k， ），其期望值为2k× ＝k，C正确；随着k的增大，比赛平局的概率 ·（ ）2k趋近于0，所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近 ，故D正确.故选B、C、D. 高中总复习·数学 4. 〔一题多解〕甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得 四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场 安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜 的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率 是 ⁠. 解析：法一　前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概 率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时， 甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以 4∶1获胜的概率是p＝0.108＋0.072＝0.18. 0.18 高中总复习·数学 法二　甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4 场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛 中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝ 0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝ 0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场 全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获 胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18. 高中总复习·数学 5. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.现有两种赛制，一 种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜 者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者 进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属.另一种是“双败 淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜 区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后 决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着， “败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得 第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获 得第二名.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p（0＜p＜1），且不同 对阵的结果相互独立. 高中总复习·数学 （1）若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败 淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； 解：记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量X， 则X的所有可能取值为2，3，4. X＝2：甲连负两局得第四名，P（X＝2）＝（1－0.6）2＝0.16. X＝3：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名， P（X＝3）＝0.62＋（1－0.6）×0.6×（1－0.6）＋0.6×（1－0.6）× （1－0.6）＝0.552. X＝4：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛， 高中总复习·数学 P（X＝4）＝0.6×（1－0.6）×0.6＋（1－0.6）×0.6×0.6＝0.288. 故X的分布列为 X 2 3 4 P 0.16 0.552 0.288 E（X）＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128. 高中总复习·数学 （2）依据p的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 解：在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率P1＝p3＋p（1－p）p2＋（1－p）p3＝（3－2p）p3； 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率P2＝p2， P1－P2＝p2（3p－2p2－1）＝p2（2p－1）（1－p），0＜p＜1， 则当 ＜p＜1时，P1＞P2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当0＜p＜ 时，P1＜P2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当p＝ 时，P1＝P2，两种赛制下甲夺冠的概率一样. 高中总复习·数学 $